精品解析：山东省枣庄市滕州市2025年初中学业水平考试模拟试题（一）数学

2025年初中学业水平考试模拟试题（一） 数学 试卷类型：A 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案，填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴绝对值最小的数是； 故选：B． 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键． 2. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A.既是轴对称图形又是中心对称图形,故该选项符合题意； B.是轴对称图形，但不是中心对称图形,故该选项不符合题意； C.不是轴对称图形，但是中心对称图形,故该选项不符合题意； D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故该选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 3. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个长方形． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，去括号，单项式乘以多项式，完全平方公式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算正确； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算错误； 故选B． 6. 甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可． 【详解】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件， 由题意得， 故选：D． 7. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ） A. 众数是92 B. 中位数是 C. 平均数是84 D. 方差是13 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了方差，算术平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的计算方法是解本题的关键． 找出这组数据中出现次数最多的即为众数，这组数据排列后找出最中间的两个数求出平均数即为中位数，求出这组数据的平均数，利用方差公式求出方差，判断即可． 【详解】解：排列得：， 出现次数最多是82，即众数为82； 最中间的两个数为83和85，即中位数为84； ，即平均数为85； ，即方差为13． 故选：D． 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ∵， ∴， 则， 故正十二边形的面积为， 圆的面积为， 用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键． 9. 如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 10. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分，请将答案填在答题卡的相应位置． 11. 分解因式3x3-12x=________ 【答案】3x(x+2)(x-2) 【解析】 【详解】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解． 解答：解：3x3-12x =3x（x2-4）--（提取公因式） =3x（x-2）（x+2）． 12. 不等式组的所有整数解的和是_________． 【答案】7 【解析】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴， 解得：； 由②得：， 整理得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，，0，1，2，3，4； ∴， 故答案为：7 【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 14. 如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作，垂足为H，利用勾股定理求出的长，利用角的余弦值求出的长，再利用勾股定理求出，从而得出，利用三角形面积求出即可． 【详解】解：如图，过点F作，垂足为H， 四边形为矩形， ，， ，， ， ，即， 解得：， ，即， 解得：， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为． 由题意，在中，，， ． ． ． 又绕点顺时针旋转至的位置， ． ． 又点是的中点， ． 在中， ， ． ，． 又在上， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键． 16. 将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可． 【详解】数字可以化成： ，，，； ，，，； ∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数， ∵，28是第14个偶数，而 ∴的位置记为 故答案为： 【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键． 三、解答题：本大题共7小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）先化简，再从中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式= 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数，分式的化简求值，正确计算是解题的关键： （1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，进行化简运算即可； （2）先根据分式的加减乘除混合运算化简，再根据分式有意义的条件得出a的值，再代入计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 且， 当时，原式． 18. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 参加五个社团活动人数统计表 社团活动 舞蹈 篮球 象棋 足球 农艺 人数 40 80 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的学生共有______人，______； （2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高(单位：)如下： 190，172，180，184，168，188，174，184，则他们身高的中位数是______； （3）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 【答案】（1）200；40 （2）182 （3）400 【解析】 【分析】本题考查统计表，扇形统计图，求中位数，用样本估计总体等知识，将舞蹈和足球看出整体，并用它们的总数和占比求抽取的学生总数是解题的关键． （1）根据统计表得出舞蹈和足球的总人数，根据扇形统计图得出舞蹈和足球的总占比，再作除法即可得出总人数，继而求出m； （2）将数据按大小关系重新排序，再求中间两数的平均数即可； （1）用全校人数乘以样本中参加舞蹈社团活动的学生占比即可得解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为：， ∴参加足球社团活动的学生占比为：， ∴， 故答案为：200；40； 【小问2详解】 他们身高按从小到大排列得：168，172，174，180，184，184，188，190， 中间两数是：180，184， ∴他们身高的中位数是：， 故答案为：； 【小问3详解】 (人)， 答：估计全校参加舞蹈社团活动的学生有400人． 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形， 依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴同底等高， ． 21. 如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， 而是的直径， ， ， ， 是的切线； （2）14 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理求得，再利用等角的余角相等求得，据此即可证明是的切线； （2）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ， ， ， ， 在中，， ， ， 又， ， ， 设， ，， ， ，则， 解得： 经检验是所列方程的解， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．正确证明是解决本题的关键． 22. 综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 【答案】 操作发现： （1）4；4； （2）； 类比探究：证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 拓展延伸： 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，三角形的全等的判定及性质，三角函数的概念等知识点，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为（对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形是正方形，求解面积即可； （2）如图，过点作于点，于点．证明，从而证明，即可求得结论； 类比探究： 先证明，从而证明，即可证明结论； 拓展延伸：过点作于点，于点．先证明，即可证明，，从而证明，根据，即可求得，由重叠部分的面积，即可求得结果． 【详解】解：操作发现：（1）四边形是正方形， ， 当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为； 当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形的面积是4， 故答案为：4，4； （2）如图，过点作于点，于点． 是正方形的中心， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； 类比探究：略 拓展延伸： 过点作于点，于点． 同（2）可知四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， 重叠部分的面积 ． 23. 如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）的坐标为 （3）的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为； （3）过作轴交直线于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试模拟试题（一） 数学 试卷类型：A 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案，填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ） A. 众数是92 B. 中位数是 C. 平均数是84 D. 方差是13 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A. B. C. 3 D. 9. 如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 10. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分，请将答案填在答题卡的相应位置． 11. 分解因式3x3-12x=________ 12. 不等式组的所有整数解的和是_________． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 14. 如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为______． 15. 如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为________． 16. 将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________． 三、解答题：本大题共7小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）先化简，再从中选取一个适合的数代入求值． 18. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 参加五个社团活动人数统计表 社团活动 舞蹈 篮球 象棋 足球 农艺 人数 40 80 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的学生共有______人，______； （2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高(单位：)如下： 190，172，180，184，168，188，174，184，则他们身高的中位数是______； （3）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 21. 如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 22. 综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 23. 如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $