精品解析：山东省东营市东营区第一中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试题

2024－2025学年第二学期八年级第一次学情诊断 数学试题 分值（120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组二次根式，不是同类二次根式的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 下列方程是一元二次方程的是(　　) A. B. C. D. 4. 一元二次方程x2+4x＝﹣3用配方法变形正确的是（　　） A. （x﹣2）＝1 B. （x+2）＝1 C. （x﹣2）＝﹣1 D. （x+2）＝﹣1 5. 已知、是方程两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 6. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 7. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 10. 如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（11－14，每题3分，15－18，每题4分，共28分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则__． 12. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为____． 13. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是______． 14. 若方程是关于的一元二次方程，则______． 15. 为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是_________． 16. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是__________． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 18. 利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是长方形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则长方形的面积是______． 三、解答题（19题4*4分，20－21，每题8分，22－24，每题10分） 19. （）计算： ①； ②； （）用适当方法解方程： ①； ②． 20. 已知关于的方程 （）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一边长为，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长． 21. 已知菱形的两条对角线分别为和． （1）用含的代数式表示菱形的面积． （2）若关于x的方程有两个相等的实数根，求此时菱形的面积． 22. 如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成 中间隔有一道篱笆的长方形花圃． 如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ 能否围成面积为平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 23. 第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物正在热销中．某商场经销一种成本为每套元的吉祥物“滨滨和妮妮”，其中每套吉祥物的销售单价不低于元．据市场分析，若按每套元销售，一个月能售出套；销售单价每涨元，月销售量就减少套，针对这种商品的销售情况，解答下列问题： （1）当销售单价定为元时，该商品月销售量为 套，月销售利润为 元； （2）若该商场想在月销售成本不超过的情况下，使每月销售利润达到元，则该商品的销售单价应定为每套多少元？ 24. 阅读与思考： 下面是小涵同学数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务． 题目：如图，在中，，，，求的面积． 方法1：如果的三边长分别为，设为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 方法2：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积． （1）任务一：按“方法1”求的面积． （2）任务二：写出“方法2”的解答过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第二学期八年级第一次学情诊断 数学试题 分值（120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】A．是最简二次根式，该项符合题意； B．不是二次根式，故该项不符合题意； C．，故该项不符合题意； D．，故该项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不能是分数或分式；②被开方数不含能开的尽方的因数或因式． 2. 下列四组二次根式，不是同类二次根式的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，可得答案． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，故不符合题意； B、，，是同类二次根式，故不符合题意； C、，，不是同类二次根式，故符合题意； D、，与是同类二次根式，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 3. 下列方程是一元二次方程的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行判断即可． 【详解】解：A、，是二元一次方程，不符合题意； B、，整理，得：，是一元一次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选C． 4. 一元二次方程x2+4x＝﹣3用配方法变形正确的是（　　） A. （x﹣2）＝1 B. （x+2）＝1 C. （x﹣2）＝﹣1 D. （x+2）＝﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】解：∵x2+4x＝﹣3， ∴x2+4x+4＝1， ∴（x+2）2＝1， 故选B． 【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 5. 已知、是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 6. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个式子中含有二次根式，那么二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴＞0， 解得x＜3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中被开方数的取值范围的求法，即二次根式中的被开方数是非负数． 7. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 8. 已知关于一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， △且， 解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是能根据题意得出不等式组的解． 9. 如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．依据题意，直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为8和18， ∴大正方形边长为：． ∴大正方形面积． ∴留下的阴影部分面积和为：． 故选：C． 10. 如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了与实数运算相关的规律．先根据题意得到，，进而推出，则，再根据即可得到答案． 详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又； ∴． 故选：D． 二．填空题（11－14，每题3分，15－18，每题4分，共28分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则__． 【答案】 【解析】 【分析】由于给出的两个根式既是最简根式又是同类根式．那么它们就是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于x的方程，进而可求出x的值． 【详解】解：由题意可得： ， 解得， 当时，与都是最简二次根式． 因此． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类二次根式与最简二次根式的定义，掌握定义是解题的关键． 12. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质等知识，先根据数轴得出，则，然后根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 13. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，把代入方程得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若方程是关于的一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得且，解之即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 15. 为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为，根据“2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为． 故答案为：． 16. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是__________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2024． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解之即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 18. 利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是长方形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则长方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键． 三、解答题（19题4*4分，20－21，每题8分，22－24，每题10分） 19. （）计算： ①； ②； （）用适当的方法解方程： ①； ②． 【答案】（）①；②；（）①，；， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，实数的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （）①利用二次根式的运算法则计算即可；②利用绝对值的性质、零指数幂、二次根式的性质和负整数指数幂分别运算，再合并即可； （）①把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可；②把常数移到右边，再利用配方法解答即可； 【详解】解：（）①原式 ； ②原式 ； （）①∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； ②∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 20. 已知关于的方程 （）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一边长为，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长． 【答案】（1）见详解；（2）4和2 【解析】 【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=(m-3)2⩾0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根； (2)分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1）证明：∵△=[-（m+1）]2-4×2（m-1）=m2-6m+9=（m-3）2≥0， ∴无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）若腰长为4，将x=4代入原方程，得：16-4（m+1）+2（m-1）=0， 解得：m=5， ∴原方程为x2-6x+8=0， 解得：x1=2，x2=4． 组成三角形的三边长度为2、4、4； 若底边长为4，则此方程有两个相等实数根， ∴△=0，即m=3， 此时方程为x2-4x+4=0， 解得：x1=x2=2， 由于2+2=4，不能构成三角形，舍去； 所以三角形另外两边长度为4和2． 【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ⩾0时，方程有实数根”；(2) 分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解． 21. 已知菱形的两条对角线分别为和． （1）用含代数式表示菱形的面积． （2）若关于x的方程有两个相等的实数根，求此时菱形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积以及根据判别式判断一元二次方程根的情况，掌握相关结论即可． （1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解； （2）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【小问1详解】 解：菱形的面积 【小问2详解】 解：由题意得：， 即：， ∴， ∴菱形的面积 22. 如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成 中间隔有一道篱笆的长方形花圃． 如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ 能否围成面积为平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为米；不能围成面积为平方米的花圃． 【解析】 【分析】（1）设宽为x，再由总长度得出长的式子，面积为x（24-3x）=45，即可得出AD的长度； （2）设AD的长度，列出方程，运用判别式可得出式子是否成立. 【详解】解：设宽为x，根据题意列方程得，x（24-3x）=45， 解得， ，； 当的长为3米时，AB的长为24-9=15>11，（舍去）； 当的长为5米时，AB的长为24-15=9； 答：的长为米． 不能围成面积为平方米的花圃． 设的长为米， 于是有， 整理得， ∵， ∴这个方程无实数根， ∴不能围成面积为平方米的花圃． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，找出等量关系，列出方程． 23. 第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物正在热销中．某商场经销一种成本为每套元的吉祥物“滨滨和妮妮”，其中每套吉祥物的销售单价不低于元．据市场分析，若按每套元销售，一个月能售出套；销售单价每涨元，月销售量就减少套，针对这种商品的销售情况，解答下列问题： （1）当销售单价定为元时，该商品的月销售量为 套，月销售利润为 元； （2）若该商场想在月销售成本不超过的情况下，使每月销售利润达到元，则该商品的销售单价应定为每套多少元？ 【答案】（1）； （2）该商品的销售单价应定为每套元可使月销售利润达到元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的运用，根据题意，列出方差，即可． （1）设销售单价涨元，则月销售量就减少套，设月销售利润为，列出方程，当，解出方程，即可； （2）由（1）得，方程，解出方程，即可． 【小问1详解】 解：设销售单价涨元，则月销售量就减少套，设利润为， ∴， ∵当销售单价定为元，即， ∴月销售量就减少套， ∴该商品的月销售量为：（套）， ∴利润（元）． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：设销售单价涨元，则月销售量就减少套，设利润为， ∵， ∵每月销售利润达到元， ∴， 解得：，； ∴当，则销售单价为元， ∴成本为：，故不符合题意， ∴当，则销售单价为元， ∴成本为：，符合题意； 答：该商品的销售单价应定为元． 24. 阅读与思考： 下面是小涵同学的数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务． 题目：如图，在中，，，，求的面积． 方法1：如果的三边长分别为，设为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 方法2：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积． （1）任务一：按“方法1”求的面积． （2）任务二：写出“方法2”的解答过程． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据勾股定理列出关于的方程． （1）按照“方法1”的思路，先求出的值，然后再代入数据求出的面积即可； （2）按照“方法2”的思路，先求出的长，再利用三角形面积公式求出的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ， ； 【小问2详解】 解：过点作于点， 设，则， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$