精品解析：2025年黑龙江省大庆市第三十六中学中考一模数学试题

大庆市第三十六中学2024-2025学年第二学期 初四学年数学学科月考检测试题 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题：（每题3分，满分30分） 1. 在，1， ，0这四个实数中，最小的是（ ） A. B. 1 C. D. 0 2. “染色体”是人类“生命之书n中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有个碱基对，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（　　） A. 面积相等的两个三角形全等 B. 角平分线上的点到角的两边距离相等 C. 的平方根是2 D. 是分数 5. 为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是用12个大小相同的正方体搭成的长方体（正方体用胶水相互紧密粘连），分成两部分，其中一部分有7个正方体，则“？”一部分几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，点是的中点，则的长为（　　） A. 2 B. C. D. 3 9. 如图1，四边形是平行四边形，连接 ，动点从点 出发沿折线匀速运动，回到点 后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为42 D. 当 时， 的面积为24 10. 如图，在菱形中，，在边上有一线段 由向 运动，点 到达点 后停止运动，在 的左侧， ，连接，则周长的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 8 二、填空题（每题3分，满分24分） 11. 因式分解：______． 12. 若点关于轴的对称点坐标为，则 ______． 13. 若，则代数式的值是______． 14. 某校把学生的纸笔测试、实践能力两项成绩分别按 、 的比例计入学期总成绩，小明实践能力得分，若想学期总成绩不低于分，则纸笔测试的成绩至少是______． 15. 若不等式组无解，则的取值范围为___________． 16. 如图，在中，， ，，将绕点 顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段 绕点 顺时针旋转 后，点恰好落在 上的点 处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留 ） 17. 如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边 ，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为______． 18. 已知抛物线和直线，我们定义新函数M，若，则；若，则；若，则．下列结论：①无论k为何值，抛物线与直线总有交点；②若，则当 时，M有最小值3；③若当时，M的值随x的值增大而增大，则；④当时，方程有三个不等实根．其中正确的结论是______．（填写序号） 三、解答题（满分66分） 19. 计算：﹣3tan30°． 20. 先化简，再求值：，其中 ． 21. 2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送 物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求甲，乙两种机器人每小时分别运送多少物品？ 22. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部 的仰角为，在处测得电线塔顶部 的仰角为 ． （1）求点离水平地面的高度 ． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 23. 某中学在“世界读书日”知识竞赛活动中，七年级800名学生全部参赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（每名学生的得分为）： ． 并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，如图． 已知 组的全部数据为：71，72，70，75，74，78，76，77，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）___________，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是___________； （2） 组学生竞赛成绩的平均分是___________； （3）学校将对80分以上（含80分）的学生授予“读书新星”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“读书新星”称号的学生人数． 24. 如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线 分别交边，于点， ，垂足为 ． （1）求证：四边形 为菱形； （2）在的延长线上取一点 ，使 ，连接．若 为的中点，且 ，，求 的面积． 25. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 26. 为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2． （1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时． ①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ ②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围． 27. 如图， 为的直径， 是上一点，过点 的直线交 的延长线于点 ，作，垂足为 ，已知平分． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 28. 已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 图1 图2 （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图1，点P为直线下方抛物线上一点， 于点D，求的最大值； （3）如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线 必经过一个定点，并求该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第三十六中学2024-2025学年第二学期 初四学年数学学科月考检测试题 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题：（每题3分，满分30分） 1. 在，1， ，0这四个实数中，最小的是（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，根据负数小于0，小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴最小的是 ； 故选C． 2. “染色体”是人类“生命之书n中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有个碱基对，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：D． 3. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，根据定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称又是轴对称图形，故A选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A ． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 面积相等的两个三角形全等 B. 角平分线上的点到角的两边距离相等 C. 的平方根是2 D. 是分数 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，角平分线的性质，算术平方根和平方根的意义，无理数的分类逐项分析即可． 【详解】解：A．面积相等的两个三角形不一定全等，故不正确； B．角平分线上的点到角的两边距离相等，正确； C．的平方根是，故不正确； D．是无理数，故不正确； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，算术平方根和平方根的意义，无理数的分类，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 5. 为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率事件发生的次数所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到同一个阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为 ， 画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能， ∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是， 故选：D． 6. 如图是用12个大小相同的正方体搭成的长方体（正方体用胶水相互紧密粘连），分成两部分，其中一部分有7个正方体，则“？”一部分几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义． 左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可． 【详解】根据题意得，“？”一部分几何体的左视图是： 故选：C． 7. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先根据抛物线的位置确定的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置即可解答． 【解答】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限，因此； ∴双曲线的图象在第二、四象限； 由于抛物线开口向上，所以； 对称轴，所以； 抛物线与x轴有两个交点，故； ∴直线经过第一、二、四象限． 故选：D． 8. 如图，在四边形中，，点是的中点，则的长为（　　） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等三角形，依据勾股定理求出的长度．延长，交延长线于，可证，求出的长度，根据勾股定理求出的长度，从而求出的长． 【详解】解：如下图，延长，交延长线于， ∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为42 D. 当 时， 的面积为24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息．根据图象可直接判断A和B；由平行四边形的周长公式可判断C；由三线合一得，由勾股定理求出，求出，进而求出 的面积可判断D． 【详解】解：当点P运动到点B处时， ，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A不正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B不正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C不正确，不符合题意； 当 时，点P在中点处，如图， 此时 的面积是面积的一半， 作 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 的面积为，故D正确，符合题意． 故选：D． 10. 如图，在菱形中，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧， ，连接，则周长的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】过点作交于点，再作点关于的对称点，连接，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小． 【详解】解：如图，过点作交于点，则四边形 为平行四边形， ，，再作点关于的对称点，连接，则， 连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小． 过点作，过点作交于点， ， ， ，连接， ，， 四边形为矩形， ，， ， 周长的最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于移动线段中三角形周长最小值问题，添加合适的辅助线转化为两点间距离问题是解题关键． 二、填空题（每题3分，满分24分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若点关于轴的对称点坐标为，则 ______． 【答案】5 【解析】 【分析】两个点关于x轴对称，其横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得m的值． 【详解】由于点A(3,m)和点(3,-5)关于x轴对称，所以m与−5互为相反数，从而m=5． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的两点的坐标特征． 13. 若，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．设，，代入即可求解． 【详解】解：设，则，， 所以． 故答案为：． 14. 某校把学生的纸笔测试、实践能力两项成绩分别按 、 的比例计入学期总成绩，小明实践能力得分，若想学期总成绩不低于分，则纸笔测试的成绩至少是______． 【答案】分 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数、一元一次不等式的应用，设小明的纸笔测试的成绩是分，根据加权平均数列出不等式，求解即可，熟练掌握加权平均数、正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设小明的纸笔测试的成绩是分， 由题意得： 解得：， ∴纸笔测试的成绩至少是分， 故答案为：分． 15. 若不等式组无解，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由不等式组解集情况求参数，涉及不等式组的解法，先解不等式组，再由不等式组无解，分类讨论即可得到答案．掌握不等式组的解法，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得③； 不等式组无解， 当时，，解③得，则不等式组一定有解，不符合题意； 当 时，，解③得为任意实数，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得，则，解得； 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 16. 如图，在中，， ，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转 后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：∵旋转， ∴， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质、规律型问题．先求出正方形的边长，同理求出正方形的边长，正方形的边长，由此得到规律即可得到答案． 【详解】解：∵在，，， ∴ ，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理可以求出正方形的边长为， 正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 18. 已知抛物线和直线，我们定义新函数M，若，则；若，则；若，则．下列结论：①无论k为何值，抛物线与直线总有交点；②若，则当 时，M有最小值3；③若当时，M的值随x的值增大而增大，则；④当时，方程有三个不等实根．其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①令,再根据判别式进行判断即可．②在平面直角坐标系中画出与的图像，可确定时函数M的图像，根据图像可求出时，M的最小值．②在平面直角坐标系中画出与的图像，根据图像可确定k不同取值的情况下M的图像，根据图像可判断M的增减性，以此反过来确定k的取值即可．④在平面直角坐标系中画出与的图像，可确定函数M的图像，M的图像与 这条直线交点的个数即为的实数根的个数． 【详解】解：①令，则有：．整理得：． ∵， ∴无论k为何值，抛物线与直线总有交点．故①正确． ②当时，， 在平面直角坐标系中画出与的图像如下： 由题中M的定义可知，当时，，当时，， 当时，，当时，， 根据图像可知，当时，M最小值为3．故②正确． ③在平面直角坐标系中画出与的图像如下： 由图可知，当时，若，M的值随x的值增大而增大， 若，M的值随x的增大先增大再减小再增大， 若，M的值随x的值增大而增大， ∴当时，M的值随x的值增大而增大，则．故③正确． ④在平面直角坐标系中画出与的图像如下： 由图像可以发现，M的图像与 这条直线只要两个交点， ∴当时，方程有两个不等的实根，故④不正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用，在平面直角坐标系中画出图像确定新函数M的图像是解决此题的关键． 三、解答题（满分66分） 19. 计算：﹣3tan30°． 【答案】2. 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质和负整数指数幂的性质及特殊角三角函数值分别化简得出答案． 【详解】﹣3tan30° =4+﹣1﹣1﹣3× =2． 【点睛】此题主要考查了实数运算及特殊角三角函数值，正确化简各数是解题关键． 20. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可先对括号内的式子进行化简，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，最后将的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解以及分式的乘除法运算．熟练掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： 当时，原式． 21. 2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送 物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求甲，乙两种机器人每小时分别运送多少物品？ 【答案】甲种机器人每小时运送物品，乙种机器人每小时运送物品 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品，根据每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲种机器人每小时运送物品，乙种机器人每小时运送物品． 22. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为 ． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）； （2）电线塔的高度． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设 ，先解得到 ，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：作于点，则四边形 是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 23. 某中学在“世界读书日”知识竞赛活动中，七年级800名学生全部参赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（每名学生的得分为）： ． 并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，如图． 已知组的全部数据为：71，72，70，75，74，78，76，77，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）___________，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是___________； （2）组学生竞赛成绩的平均分是___________； （3）学校将对80分以上（含80分）的学生授予“读书新星”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“读书新星”称号的学生人数． 【答案】（1）， （2） （3）该校七年级被授予“读书新星”称号的学生人数为人 【解析】 【分析】（1）由七年级竞赛成绩频数直方图中的数据即可得到，再由中位数的求法即可得到抽取的名学生竞赛成绩的中位数； （2）由组的成绩全部数据，利用平均数的求法代值求解即可得到答案； （3）利用80分以上（含80分）的学生人数占比即可估算出总体被授予“读书新星”称号的学生人数． 【小问1详解】 解：如图所示， ； 抽取的名学生竞赛成绩的中位数是第名与第名成绩的平均值，由直方图可知第名与第名成绩在组， 组的全部数据为：71，72，70，75，74，78，76，77，76，77，79， 按照从小到大的顺序排列：70，71，72，74，75，76，76，77，77，78，79， 则第名的成绩是77，第名的成绩是78， 抽取的名学生竞赛成绩的中位数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：组学生竞赛成绩的平均分是：（分）， 故答案为：75； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校七年级被授予“读书新星”称号的学生人数为368人． 【点睛】本题考查统计综合，涉及频数直方图、样本容量、中位数、平均数、由样本估算总体等知识，理解频数直方图，利用直方图中的数据，灵活运用统计量的定义和求法计算是解决问题的关键． 24. 如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． （1）求证：四边形 为菱形； （2）在的延长线上取一点，使 ，连接．若为的中点，且 ，，求 的面积． 【答案】（1） 证明： 垂直平分， ， ， 四边形是平行四边形 ， ， 在 与 中， ， ， ， 又 ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 平行四边形 为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直平分，可得 ， ，根据平行四边形的性质可得，推出 ，证明 ，得到 ，得到四边形 是平行四边形，结合 ，即可得证； （2）由 可得 ，推出 ，根据题意可推出是的中位线，得到 ，根据三角函数求出， ，进而得到，作 ，垂足为，进而求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， ， 四边形 为菱形， 为的中点， ∵为线段的中点， 是三角形的中位线． ， ， ， ， ，， 如图，作 ，垂足为，则 ， ， 则 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角函数，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 25. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解. 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则 ，令，则， ∴的面积 ； ； 【小问3详解】 解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键． 26. 为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2． （1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时． ①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ ②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围． 【答案】（1）； （2）①种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元； ②或． 【解析】 【分析】（1）根据函数图像分两种情况，时y为常数，时y为一次函数，设出函数解析式，将两端点值代入求出解析式，将两种情况汇总即可； （2）先求出x的范围； ①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案案； ②分两段利用，建立不等式求解，即可求出答案． 【小问1详解】 由图像可知，当甲种花卉种植面积m2时，费用y保持不变，为30（元/m2）， 所以此区间的函数关系式为：， 当甲种花卉种植面积m2时，函数图像为直线， 设函数关系式为：， ∵当x=40时，y=30，当x=100时，y=15，代入函数关系式得： ， 解得：， ∴ ∴当时，y与x的函数关系式应为： ； 【小问2详解】 ∵甲种花卉种植面积不少于30m2， ∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍， ， 即， ①当时， 由（1）知，， ∵乙种花卉种植费用为15元/m2． ， ∴当x=90时，， ， ∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元； ②当时， 由①知，， ∵种植总费用不超过6000元，， ， 即满足条件的x的范围为， 当时， 由①知，， ∵种植总费用不超过6000元， ， （不符合题意，舍去）或， 即满足条件的x的范围为 综上，满足条件的x的范围为或. 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题关键是根据函数图像获取自变量的取值范围，仔细分情况讨论，掌握二次函数在自变量取值范围内求最小值的方法． 27. 如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∴， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义得到，由等腰三角形性质、角平分线定义，等量代换得到，由平行线的判定确定，从而得到，即可得证； （2）由直径所对的圆周角是直角，由互余定义得到，从而确定，利用相似比求解即可得证； （3）结合勾股定理、相似三角形的判定与性质求出相关线段长度，最后解直角三角形即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂直定义、圆的基本性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理及其推论、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性强，熟练掌握圆的性质及相关几何判定与性质，灵活运用是解决问题的关键． 28. 已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 图1 图2 （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图1，点P为直线下方抛物线上一点， 于点D，求的最大值； （3）如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线 必经过一个定点，并求该定点坐标． 【答案】（1），点，点； （2）的最大值为； （3）直线 恒过定点． 【解析】 【分析】（1）令和，解方程可求解； （2）过点P作轴于E，交于点F，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，则，再证得，可得，得出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）设点，直线，直线，直线，将点C、B的坐标代入可得：，联立直线 与抛物线的解析式可得出，，同理：，，进而可得：，，根据直线与直线的交点始终在直线上，可得，，即直线，故直线 恒过定点． 【小问1详解】 对于，令，则， ∴， ∴点，点， 令，则， ∴点； 【小问2详解】 过点P作轴于E，交于点F，如图1： 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大为； 【小问3详解】 证明：如图2，设点， 直线，直线，直线， 整理得：， 则，， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ， 联立直线与直线的解析式得：， 解得：， ∵直线与直线的交点始终在直线上， ∴， 化简得：， ∴， ∴直线， ∴不论为何值，均有时，， 即：直线 恒过定点． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，相似三角形的判定与性质等知识，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $