精品解析：北京市第八十中学2024 2025学年高一下学期4月月考数学试卷

北京市第八十中学2024～2025学年第二学期4月练习 高一学科：数学 2025年4月 姓名_____ 班级_____ 考号_____ （考试时间90分钟满分100分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知复数满足，则对应的点位于复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知中，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知复数（），则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设D为所在平面内一点，则（ ） A. B. C D. 5. 在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 120° 6. 要得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 在中，若，则为（ ） A 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 无法确定 8. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“向量同向”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如图，在倾斜角15°（）山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（），塔与水平地面垂直，在A处测得塔顶B的仰角为45°（），则塔顶到水平面的距离（）是（ ）米. A. B. C. 40 D. 10. 在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知向量，若，则x的值为___________. 12. 复数的共轭复数为________. 13. 若复数为纯虚数，则实数a的值为_______________. 14. 已知向量与的夹角为60°，，，则_______，_______. 15. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若的面积为，则角C等于_________，的最小值为_______. 16. 已知函数在上单调，且，则的取值可能为________. ① ② ③ ④12 ⑤ 三、解答题：本大题有3小题.共46分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. 已知向量，，且与的夹角为. （1）求，； （2）当实数取何值时，向量与方向相反? （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 设函数. （1）求的最小正周期，单调增区间，对称中心； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围. 19. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，有三个条件：①；②；③.从三个条件中选取两个条件，完成下面两个问题，并说明所有不能选取的条件组合的理由. （1）求； （2）设D为BC边上一点，且，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市第八十中学2024～2025学年第二学期4月练习 高一学科：数学 2025年4月 姓名_____ 班级_____ 考号_____ （考试时间90分钟满分100分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知复数满足，则对应的点位于复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】化简求出即可判断. 【详解】，， 则对应的点位于复平面内的第四象限. 故选：D. 2. 已知中，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求出的值，结合的范围得出结果. 【详解】因为中，，，， 所以，， 因为，可得，即， 所以或. 故选：D. 3. 已知复数（），则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式及充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：因为，所以，当时，故充分性成立，当，即，解得，故必要性不成立， 故是的充分不必要条件； 故选：A 4. 设D为所在平面内一点，则（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理，把作为基底，再利用向量的加减法法则把向量用基底表示出来即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 5. 在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据大边对大角判断最大角，利用余弦定理求解. 【详解】由，令， ， 又，则， 所以这个三角形的最大角的弧度数为. 故选：B. 6. 要得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移的左加右减的规则即可得到. 【详解】因为目标函数，所以将函数的图象向左平移个单位即可. 故选：C 7. 在中，若，则为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得 ，从而可得答案． 【详解】解：在中， ， ， 为等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 8. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“向量同向”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】判断当时，，不能得同向，当同向时，可得，从而得出答案. 【详解】当时，， 但此时向量不一定同向；反之，当向量同向时， 成立，所以“”是 “向量同向”的必要不充分条件. 故选：B 9. 如图，在倾斜角15°（）的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（），塔与水平地面垂直，在A处测得塔顶B的仰角为45°（），则塔顶到水平面的距离（）是（ ）米. A. B. C. 40 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求出，然后在中利用锐角三角函数的定义可求出，从而可求出. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得，， 所以，得， ， 在中，因为， 所以， 所以. 故选：A 10. 在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（ ） A 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】建系，用坐标表示出向量数量积，将其理解为点P到定点(0,1)的距离，再根据P点轨迹是以A为圆心的圆，由几何关系确定该距离的最大值即可. 【详解】如图，以B为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则，，． 设，则． 因为，所以P是圆A：上的点． 又点P与点距离的最大值为，即， 所以． 故的最大值为17． 故选：B. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知向量，若，则x的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量， 因为，可得，解得， 所以x的值为. 故答案为：. 12. 复数的共轭复数为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简复数，再求其共轭复数即可. 【详解】，则其共轭复数为. 故答案为： 13. 若复数为纯虚数，则实数a的值为_______________. 【答案】-2 【解析】 【分析】解不等式组得解. 【详解】因为复数为纯虚数 所以，所以 故答案为： 14. 已知向量与的夹角为60°，，，则_______，_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意，求得，再根据向量的数量积的运算和模的公式，即可求解. 【详解】由题意，，所以， 因为与的夹角为60°，， 所以， 所以. 故答案为：，. 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若的面积为，则角C等于_________，的最小值为_______. 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】第一空利用正弦定理将已知条件中的式子角化边，再利用余弦定理即可求出角；第二空利用三角形的面积公式可求出，再利用余弦定理和基本不等式即可求出的最小值. 详解】第一空： 因为， 所以由正弦定理得，，即， 所以由余弦定理得，， 因为，所以； 第二空： 因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理得，， 当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为6. 故答案为：；6. 16. 已知函数在上单调，且，则的取值可能为________. ① ② ③ ④12 ⑤ 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据三角函数的单调性先得，再由，得的一个零点为，即可分周期的情况求得的值. 【详解】设的最小正周期为T，则由在上单调， 可得，即， 由且， 得的一个零点为. 因为， 所以有以下三种情况：①，则； ②，得，则； ③，得，则. 故选：①③. 【点睛】关键点点睛：根据三角函数的单调性先得，再由，得的一个零点为，即可分周期的情况求得的值. 三、解答题：本大题有3小题.共46分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. 已知向量，，且与的夹角为. （1）求，； （2）当实数取何值时，向量与方向相反? （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的夹角公式结合已知条件列方程可求出，然后求出的坐标，从而可求出； （2）由题意得，且，然后列方程组可求得结果； （3）由题意得，且与的不共线，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为向量，，且与的夹角为， 所以，解得， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为向量与方向相反， 所以存在，使， 因为与不共线，所以， 解得（舍去），或， 所以； 【小问3详解】 因为，， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以，且与的不共线， 由，得，解得， 由与的不共线，得，得， 所以且， 即实数的取值范围为. 18. 设函数. （1）求的最小正周期，单调增区间，对称中心； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围. 【答案】（1）；单调递增区间为；对称中心为 （2）最小值；最大值. （3） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式和二倍角公式化简，再利用周期公式求周期，令求单调增区间，令求对称中心； （2）求的取值范围，再结合正弦函数图象可求其值域； （3）求的取值范围，再结合正弦函数图象可求其零点. 【小问1详解】 ， 则最小正周期， 令，得， 则的单调递增区间为， 令，得， 则的对称中心为. 【小问2详解】 ，则，则， 则， 故当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值. 【小问3详解】 函数在上有两个零点，则在上有两个根， 又，则， 结合正弦函数图象可得，，得， 则取值范围为 19. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，有三个条件：①；②；③.从三个条件中选取两个条件，完成下面两个问题，并说明所有不能选取的条件组合的理由. （1）求； （2）设D为BC边上一点，且，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，先计算得，由为钝角，与矛盾，所以判断得①②中仅有一个正确，③一定正确，再由面积公式得，分类讨论求解；（2）利用得，从而求解得答案. 【小问1详解】 ∵，即， 又，∴，∵为钝角，与矛盾， ∴①②中仅有一个正确，③一定正确，∴， 当①③正确时，由， 得，无解； 当②③正确时，∵，，得， 经检验成立，∴. 【小问2详解】 如图所示，∵，∴， ∴， ∴. 【点睛】解三角形的基本策略：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$