10.1 二元一次方程 导学案　2024-2025学年 苏科版七年级 数学下册

苏科版七年级数学下册 第10章 二元一次方程组 10.1 二元一次方程 导学案 【学习目标】 1. 理解二元一次方程的定义，能准确判断方程类型并验证解的正确性。 1. 掌握用代数式表示未知数的方法，能灵活变形方程并列举所有自然数解。 1. 通过实际问题建模，体会二元一次方程在生活中的应用价值，提升逻辑推理能力。 【学习重点】 · 二元一次方程的定义及解的判定 · 方程变形与解的列举 【学习难点】 · 用列表法求所有自然数解 · 方程变形时符号与步骤的规范性 一、课程导入——从生活问题到数学建模 情境1：水果店购物问题 小明用50元购买了苹果和香蕉，苹果单价6元/斤，香蕉单价4元/斤，恰好花完所有钱。设苹果买了斤，香蕉买了斤，请列出方程并思考以下问题： 1. 如何用和表示总花费？ 1. 若小明买了3斤苹果，香蕉需要买多少斤？ 1. 是否存在其他购买方式？ 方程： 分析： · 方程中和均为未知数，且次数均为1，符合二元一次方程特征。 · 当时，代入方程得，即需购买8斤香蕉。 · 通过列举的可能值（如0,1,2,...），可找到所有自然数解。 情境2：运动会奖品分配 学校为运动会准备了笔记本和钢笔作为奖品，共35份。若笔记本数量比钢笔多5份，设钢笔有支，笔记本有本，列出方程并思考： 1. 如何用方程描述数量关系？ 1. 若钢笔有10支，笔记本有多少本？是否合理？ 方程： 且 分析： · 两个方程共同构成方程组，但单独看也是二元一次方程。 · 当时，，但，说明需同时满足两个方程才合理。 二、知识点详解 1. 二元一次方程的定义 定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的方程称为二元一次方程。 标准形式：（）。 判断方法： · 两个未知数：方程中必须包含两个不同的变量（如和）。 · 次数为1：未知数的指数只能是1，不能出现乘积项（如）或高次项（如）。 示例分析： · ✔️ 符合定义 · ❌ 的次数为2 · ❌ 含乘积项 2. 二元一次方程的解 定义：使方程左右两边值相等的未知数的值称为方程的解，通常表示为有序数对。 验证方法： 将数值代入方程，若等式成立则为解。 示例：判断是否为方程的解。 解：，等式成立，是解。 3. 用代数式表示未知数 方法：将方程变形为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数。 步骤： 1. 选定需要表示的未知数（如）。 1. 通过移项、系数化为1等步骤，将方程变形为。 示例：将方程变形为用表示。 解： 4. 列表法求自然数解 步骤： 1. 将方程变形为。 1. 依次取的自然数值，计算对应的是否为自然数。 示例：求方程的所有自然数解。 解：变形为 · 当时， ✔️ · 当时， ✔️ · 当时， ❌（舍去） 自然数解为和。 三、例题讲解 例1：方程变形与解的代入 题目：将方程变形为用表示，并求当时的解。 解析： 1. 变形方程： 1. 代入求值：当时， · 解：当时，，即解为。 知识点分析： · 方程变形：移项与系数化为1（基本代数操作）。 · 解的代入：验证特定值是否满足方程。 例2：列表法求自然数解 题目：某班级用30元购买单价2元的彩纸和单价5元的颜料，列出方程并求所有可能的购买方案。 解析： 1. 列方程：设彩纸张，颜料盒，则。 1. 变形方程：。 1. 列表求解： 0 1 2 3 4 5 6 15 12.5 10 7.5 5 2.5 0 1. 筛选自然数解： · 时， ✔️ · 时， ✔️ · 时， ✔️ · 时， ✔️ 实际解：。 知识点分析： · 实际问题的数学建模。 · 自然数解的筛选与验证。 例3：实际应用——行程问题 题目：小明从家到学校有两条路，一条是平路，另一条包含1km的上坡路和1km的下坡路。平路速度为5km/h，上坡速度为3km/h，下坡速度为6km/h。若两条路线用时相同，求平路的长度 km和总时间小时的关系方程。 解析： 1. 平路时间：小时。 1. 坡路时间：小时。 1. 方程建立： · 矛盾，说明题目需修正。实际应比较两种路线时间： 知识点分析： · 时间、速度与距离的关系（）。 · 通过方程解决实际问题的逻辑严谨性。 四、巩固练习 1. 判断下列方程是否为二元一次方程： · ✔️ · ❌ · ❌ 1. 将方程变形为用表示，并求当时的解。 答案：，解为。 1. 用列表法求方程的所有自然数解。 答案：。 【课后习题】 1. 动物园门票成人票20元，儿童票10元。某班名成人、名儿童共花费150元，列出方程。 答案：。 1. 方程有多少个自然数解？列举所有解。 答案：6个，。 1. 将方程变形为用表示，并写出一个非负整数解。 答案：，解如。 【学习小结】 1. 核心概念：二元一次方程的定义、解的形式。 1. 关键技能：方程变形、列表法求自然数解。 1. 应用价值：通过实际问题建模，提升数学抽象与逻辑推理能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$