10.1 二元一次方程 导学案 2024-2025学年 苏科版七年级 数学下册
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普通
- 理解二元一次方程的定义，能准确判断方程类型并验证解的正确性。
- 掌握用代数式表示未知数的方法，能灵活变形方程并列举所有自然数解。
- 通过实际问题建模，体会二元一次方程在生活中的应用价值，提升逻辑推理能力。
- 二元一次方程的定义及解的判定
- 方程变形与解的列举
- 用列表法求所有自然数解
- 方程变形时符号与步骤的规范性
情境1：水果店购物问题
小明用50元购买了苹果和香蕉，苹果单价6元/斤，香蕉单价4元/斤，恰好花完所有钱。设苹果买了
斤，香蕉买了
斤，请列出方程并思考以下问题：
- 如何用和表示总花费？
- 若小明买了3斤苹果，香蕉需要买多少斤？
- 是否存在其他购买方式？
方程：
分析：
- 方程中和均为未知数，且次数均为1，符合二元一次方程特征。
- 当
时，代入方程得
，即需购买8斤香蕉。 - 通过列举的可能值（如0,1,2,...），可找到所有自然数解。
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情境2：运动会奖品分配
学校为运动会准备了笔记本和钢笔作为奖品，共35份。若笔记本数量比钢笔多5份，设钢笔有支，笔记本有本，列出方程并思考：
- 如何用方程描述数量关系？
- 若钢笔有10支，笔记本有多少本？是否合理？
方程：
且 
分析：
- 两个方程共同构成方程组，但单独看也是二元一次方程。
- 当
时，
，但
，说明需同时满足两个方程才合理。
定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的方程称为二元一次方程。
标准形式：
（
）。
判断方法：
- 两个未知数：方程中必须包含两个不同的变量（如和）。
- 次数为1：未知数的指数只能是1，不能出现乘积项（如
）或高次项（如
）。
示例分析：
✔️ 符合定义
❌ 的次数为2
❌ 含乘积项
定义：使方程左右两边值相等的未知数的值称为方程的解，通常表示为有序数对
。
验证方法：
将数值代入方程，若等式成立则为解。
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示例：判断
是否为方程
的解。
解：
，等式成立，是解。
方法：将方程变形为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数。
步骤：
- 选定需要表示的未知数（如）。
- 通过移项、系数化为1等步骤，将方程变形为
。
示例：将方程
变形为用表示。
解：
步骤：
- 将方程变形为。
- 依次取的自然数值，计算对应的是否为自然数。
示例：求方程的所有自然数解。
解：变形为
- 当
时，
✔️ - 当
时，
✔️ - 当
时，
❌（舍去）
自然数解为
和
。
题目：将方程
变形为用表示，并求当
时的解。
解析：
- 变形方程：
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