精品解析：河南省周口市郸城县2024-2025学年九年级数学下学期第一次月考数学卷

河南省郸城县2024-2025第二学期第一次月考卷 九年级数学 注意事项：1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个有理数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 最小的数是． 故选：C． 2. 英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 详解】解：， 故选：C． 3. 已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线m、n上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先求出，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，， ∵， ∴， 故选：C． 4. 下列四个几何体中，主视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用从正面看到的图叫做主视图判断即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键． 【详解】解：A、主视图为矩形，故本选项不符合题意； B、主视图为矩形，故本选项不符合题意； C、主视图为三角形，故本选项符合题意； D、主视图为矩形且内部有条虚线，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 不等式组的整数解的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解答本题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 故不等式组的解集是， 其整数解有1，2，3，4共4个， 故答案为：B． 6. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，根据相关概念，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，所以A项错误，不符合题意． B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，所以B项错误，不符合题意． C、菱形的四个角不一定相等，所以C项错误，不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，符合题意． 故选：D． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据幂的乘方和积的乘方逐一计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 8. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 9. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 10. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分当时，点在上和当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于，当时，点在上， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 当时，点在上，过点作于点， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， 综上所述，当时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出m的同类项______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此写出一个只含有字母m，且m的次数为1的单项式即可． 【详解】解：m的同类项可以为， 故答案为；（答案不唯一）． 12. 某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示： 项目 题目分析 解法讲解 题目拓展 成绩 若按照题目分析占，解法讲解占，题目拓展占来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．利用加权平均数的计算方法解题即可． 【详解】解：选手的综合成绩为：， 故答案为：． 13. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞行航线安全运行了架次，第三季度低空飞行航线安全运行了架次，据此列出方程即可． 【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 14. 如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，求正切值，等边对等角，结合题意，由正方形的性质可知，则，，再根据即可求解，熟练理解相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， 由题意可知，则， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点D是边上的动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为______，最大值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、垂线段最短，勾股定理，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，发现点P的运动轨迹．延长至点F，使，证明，得到点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当点D在点B时，点P在点F，当点D在点C时，点P在点G，即点P在线段上运动，在点P从点F运动到G的过程中，的长先减小后增大（当时线段的值最小），，再根据三角形的性质求解即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，延长至点F，使，连接， ∵， ∴，， ∵，（旋转的性质）， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点P在直线上运动， 如图所示，当点D在点B时，点P在点F，当点D在点C时，点P在点G，即点P在线段上运动，在点P从点F运动到G的过程中，的长先减小后增大（当时线段的值最小）， 当时线段的最小， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴； 当点P在点G处时，，则是等边三角形， ∴， ∵， ∴的最大值即为4； 故答案为：2；4． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）利用零指数幂、特殊角三角函数值、负整数指数幂进行计算即可； （2）先计算括号内分式的减法，再计算除法即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ． 17. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 【答案】（1）见解析； （2），，； （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键． 根据乙学校测试班级有人的成绩是级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得、、等于级的人数，可得获得级的人数，根据获得级的人数补全统计图； 根据平均数、中位数、众数的定义分别求出、、的值即可； 利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可． 【小问1详解】 解：乙学校测试班级有人的成绩是级， 从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是级的占总人数的， 乙校参加测试的学生的总人数为(人)， 甲校参加测试的学生总数也是人， 甲校成绩为级的人数为(人)， 补全甲校测试班级成绩统计图如下： ： 【小问2详解】 解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级， 甲校测试班级的中位数是分， 即， 乙校测试成绩获得组的人数为(人)，获得级的有(人)， 获得级的有(人)，获得级的有(人)， 乙校测试成绩平均数为：， 乙校测试成绩中获得级的人数最多， 乙校测试成绩的众数是， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级及以上的人数占测试总人数的， 利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到级及以上的人数为(人)， 答：估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有人． 18. 如图，在中，，点D在延长线上． （1）利用尺规作图，作的平分线，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）． （2）由（1）得：与边的位置关系是什么．并证明 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，等边对等角，平行线的判定，角平分线的定义： （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，则由三角形外角的性质得到，再由角平分线的定义得到，则，即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 19. 如图， 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）______，______，______； （2）观察图像，直接写出不等式的解集为______； （3）连接，求的面积． 【答案】（1）3；； （2）或 （3）4 【解析】 【分析】（1）将，代入解析式，求得的值，再将求得点的坐标代入反比例函数，即可求得； （2）根据图像，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时候的x的取值范围即可； （3）求得点的坐标，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入解析式， 可得， 解得，， ， 将代入反比例函数， 可得，解得， 故答案为：3；；1； 【小问2详解】 解：由图可得当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方时候的x的取值范围， 的解集为或； 【小问3详解】 解：当时，可得， 解得， ， ，， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，用待定系数法求反比例函数，一次函数与反比例函数的交点问题，求得正确的函数解析式，利用图形中函数的交点解不等式是解题的关键． 20. 如图，是的直径，点是的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由圆的性质得到，再由圆周角定理确定，判定，最后结合切线性质即可得证； （2）连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角得到，利用圆周角定理得到，从而得到，由三角函数定义列式解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ， ∴， ∵点是的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ， ， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、切线性质、垂直判定、直径所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用相关几何知识求解是解决问题的关键． 21. 某公司决定从厂家购买甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙两型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台． （1）求该公司至少购买甲型显示器多少台； （2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，有哪些购买方案？ 【答案】（1）该公司至少购进甲型显示器23台 （2）购买方案有三种：①甲型显示器23台，乙型显示器27台；②甲型显示器24台，乙型显示器26台；③甲型显示器25台，乙型显示器25台． 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，方案设计的运用，解答时根据条件的不相等关系建立不等式是关键． （1）设该公司购进甲型显示器台，则购进乙型显示器台，根据两种显示器的总价不超过77000元建立不等式，求出其解即可； （2）由甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数可以建立不等式与（1）的结论构成不等式组，求出其解即可． 【小问1详解】 解：设该公司购买甲型显示器x台，则购买乙型显示器台， 由题意得：， 解得，， 答：该公司至少购进甲型显示器23台． 【小问2详解】 解：依题意得，，解得，， ， 为整数， ，24或25，则，26或25， 购买方案有三种：①甲型显示器23台，乙型显示器27台；②甲型显示器24台，乙型显示器26台；③甲型显示器25台，乙型显示器25台． 22. 纸飞机是同学们喜欢的娱乐项目之一．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看成是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段．如图所示，以O为原点，地面所在直线为x轴，竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．若小明玩纸飞机，其起抛点A的高度为1.9m，当纸飞机的最大飞行高度达到2.8m时，它的水平飞行距离为3m． （1）求这段抛物线的解析式； （2）小明的前方有一堵2.5m高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？（不考虑墙壁的厚度） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． （1）根据题意得抛物线经过，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）将代入解析式求解即可 【小问1详解】 解：根据题意得抛物线经过，顶点坐标， ∴设抛物线的解析式为，将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 【小问2详解】 ∵高的墙壁， ∴将代入解析式得：， 解得：，， ∴小明至少距离墙壁米 23. 综合与实践 问题背景： 在数学课上，老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．将图1中的菱形纸片沿对角线前开，得到两个全等的三角形纸片，分别表示为和，其中，． 探索发现： 勤学小组将与重合，使点与点重合，点与点重合，点与点重合，并进行平移探究．如图2，将沿射线平移一定距离，连接，，当恰好为的中点时． 拓展延伸： 创思小组受到勤学小组的启发，将的边与的边重合，使点与点重合，点与点重合，点A，E分别位于边的两侧，将沿射线平移． （1）如图2，①请直接写出四边形的形状； ②此时平移的距离为___________． （2）如图3，当点F位于边上，且不与点B，D重合时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由． （3）当F是BD边的三等分点时，连接，求的长． 【答案】（1）①矩形；② （2）平行四边形，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据菱形的性质结合平移的性质，易得四边形是平行四边形，在根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；②解直角三角形即可得出结果； （2）根据菱形的性质结合平移的性质即可得出结论； （3）根据题意，得，， 分以下两种情况讨论：①当时，②当时，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：①，点为的中点， ， 由平移的性质得：，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； ②由平移的性质得：平移的距离为的长， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：是平行四边形，理由： ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图，过点A作于点M， 根据题意，得， ， ， ， 分以下两种情况讨论： ①当时， 由平移的性质，得， ； 在中，； ②当时， 由平移的性质，得， 在中，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，灵活运用平移的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省郸城县2024-2025第二学期第一次月考卷 九年级数学 注意事项：1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个有理数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线m、n上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个几何体中，主视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组整数解的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 7. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 8. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A. B. C. D. 9. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出m的同类项______（写出一个即可）． 12. 某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示： 项目 题目分析 解法讲解 题目拓展 成绩 若按照题目分析占，解法讲解占，题目拓展占来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______________. 13. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 14. 如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则_________． 15. 如图，在中，，，，点D是边上的动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为______，最大值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上学生有多少人？ 18. 如图，在中，，点D在的延长线上． （1）利用尺规作图，作的平分线，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）． （2）由（1）得：与边位置关系是什么．并证明 19. 如图， 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）______，______，______； （2）观察图像，直接写出不等式的解集为______； （3）连接，求的面积． 20. 如图，是的直径，点是的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 某公司决定从厂家购买甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙两型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台． （1）求该公司至少购买甲型显示器多少台； （2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，有哪些购买方案？ 22. 纸飞机是同学们喜欢的娱乐项目之一．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看成是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段．如图所示，以O为原点，地面所在直线为x轴，竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．若小明玩纸飞机，其起抛点A的高度为1.9m，当纸飞机的最大飞行高度达到2.8m时，它的水平飞行距离为3m． （1）求这段抛物线的解析式； （2）小明的前方有一堵2.5m高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？（不考虑墙壁的厚度） 23. 综合与实践 问题背景： 在数学课上，老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．将图1中的菱形纸片沿对角线前开，得到两个全等的三角形纸片，分别表示为和，其中，． 探索发现： 勤学小组将与重合，使点与点重合，点与点重合，点与点重合，并进行平移探究．如图2，将沿射线平移一定距离，连接，，当恰好为的中点时． 拓展延伸： 创思小组受到勤学小组的启发，将的边与的边重合，使点与点重合，点与点重合，点A，E分别位于边的两侧，将沿射线平移． （1）如图2，①请直接写出四边形的形状； ②此时平移的距离为___________． （2）如图3，当点F位于边上，且不与点B，D重合时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由． （3）当F是BD边的三等分点时，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$