精品解析：2025年河北省石家庄市行唐县第一中学中考数学模拟试卷

2025年河北省初中学业水平考试 数学试卷（结课二） 本试卷分卷I和卷II两部分；卷I为选择题，卷II为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷I(选择题，共36分) 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 用配方法解方程时，左右两边需同时加上的常数是（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 有最小值2 D. 顶点坐标是 3. 如图是由4个大小相同的小正方体拼成的立体图形，观察该立体图形，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图形状相同 B. 主视图与俯视图形状相同 C. 左视图与俯视图形状相同 D. 主视图、左视图、俯视图形状都不相同 4. 如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 6. 如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（ ）米． A. 9.6 B. 10 C. 7.2 D. 8 9. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 3 10. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数表达式是 C. 当时， D. 当时，则 11. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 12. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为（ ）．（参考数据：，，） A. 189.5 B. 147 C. 167 D. 158 卷Ⅱ（非选题，共84分） 注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是__________．（用“”号连接） 14. 如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为________． 15. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，该门洞的半径为_____． 16. 如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为__________． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题 例题：求代数式的最小值 解： ∵ ∴不代数式的最小值为4． （1）代数式的最小值为 （2）已知实数a，b满足，求代数式的最小值． 18. 某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：） 与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积S的取值范围． 19. 为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： （1）方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ （2）如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 20. 材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求的正弦值； （2）求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 21. 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度． 22. 已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）若抛物线的对称轴和轴的交点为，直线与轴的交点在线段之间（不与点重合），求的取值范围． 23. 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． （1）如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； （2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 24. 已知所在圆的直径为，圆心为为上一点，相交于为的切线，与的延长线交于． （1）求的度数． （2）如图1，若点为的中点． ①当时，的长为_________； ②求证：． （3）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平考试 数学试卷（结课二） 本试卷分卷I和卷II两部分；卷I为选择题，卷II为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷I(选择题，共36分) 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 用配方法解方程时，左右两边需同时加上的常数是（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， ， 用配方法解方程时，左右两边需同时加上常数是4， 故选：B． 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 有最小值2 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点式的图象与性质，由的符号确定抛物线开口方向、由顶点式性质确定对称轴、最值及定点坐标即可得到答案，熟记抛物线顶点式的图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数， A、由可知，抛物线开口向下，选项错误，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，选项错误，不符合题意； C、由可知，抛物线开口向下，有最大值，当时，，选项错误，不符合题意； D、由抛物线顶点式性质，的顶点坐标是，选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图是由4个大小相同的小正方体拼成的立体图形，观察该立体图形，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图形状相同 B. 主视图与俯视图形状相同 C. 左视图与俯视图形状相同 D. 主视图、左视图、俯视图形状都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．根据三视图的意义，可得答案． 【详解】解：由题意得，此立体图形的主视图为，左视图为，俯视图为， 所以主视图与左视图形状相同． 故选：A． 4. 如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．利用指针落在阴影区域内的概率阴影部分面积总面积，分别求出概率比较即可． 【详解】解：A、指针落在阴影区域内的概率为； B、指针落在阴影区域内的概率是； C、指针落在阴影区域内的概率为； D、指针落在阴影区域内的概率为， ， 指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D选项． 故选：D． 5. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解． 【详解】解：矩形的面积为6， ． 过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限， ． ． 故选：B． 6. 如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和以及扇形的面积公式．解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和． 首先求得五边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：五边形的内角和是：， 则阴影部分面积之和是：， 故选：B． 7. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 8. 如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（ ）米． A. 9.6 B. 10 C. 7.2 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即塔高为米， 故选：D． 9. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 根据点是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即， ， ， 米， 故选：A． 10. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数表达式是 C. 当时， D. 当时，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求反比例函数的表达式是解决问题的关键，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象逐个分析选项即可完成求解． 【详解】设反比例函数的解析式为， 把点坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：，故B不正确； 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，， 由图象知，当时，，故C不正确； 当时，，当时，， 图象表明当时，则，故D正确； 故选：D． 11. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 12. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为（ ）．（参考数据：，，） A. 189.5 B. 147 C. 167 D. 158 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，分别解，，求出的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，则：四边形为矩形，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的高度为， ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 故选：A． 卷Ⅱ（非选题，共84分） 注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是__________．（用“”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例反比例函数的函数值的大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵点在反比例函数的图象上，且：， ∴； 故答案为：． 14. 如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为________． 【答案】12.5 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据两个位似图形一定相似，且相似比等于位似比，再根据两个相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，且， ∴，， ∴与的相似比为：， ∴与的周长比为：， ∵的周长为5， ∴的周长为12.5； 故答案为：12.5． 15. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，该门洞的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，，， 中，，即， 解得． 则该门洞的半径为． 故答案为：． 16. 如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用． 建立坐标系，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，又知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题． 【详解】解：如图，根据题意抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴， 把代入， 解得， 两壁灯之间的距离为， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题 例题：求代数式的最小值 解： ∵ ∴不代数式的最小值为4． （1）代数式的最小值为 （2）已知实数a，b满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）2 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法． （1）先将原式变形，进行配方后即可得答案； （2）由可得，再代入后，进行配方，利用配方法即可得答案． 【小问1详解】 ， ， ， 的最小值是2， 故答案为：2； 【小问2详解】 ， ， ， ， 代数式的最小值是5． 18. 某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：） 与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积S的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数的性质和概念； （1）设底面积与深度的反比例函数解析式为，把点代入解析式求出的值； （2）由的范围和的性质求出的范围． 【小问1详解】 解：（1）设底面积与深度的反比例函数解析式为， 把点代入解析式得， ∴． 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 当时，， 随的增大而减小， 当时，． 19. 为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： （1）方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ （2）如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 【答案】（1）顾客获得10元和50元赠券的概率分别是，； （2）方案一，见解析 【解析】 【分析】本题考查游戏的公平性；根据乘法法则得到相应的概率是解决本题的关键． （1）第一次转得是黑色的概率为，第二次转得是白色的概率为，相乘即为获得10元的概率，同法可得获得50元的概率； （2）算出方案一中可能的概率，可获得资金为相应的钱数与概率的积的和，和10比较即可． 【小问1详解】 解：设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 出现（黑，白）的概率， 获得10元奖券的概率为， 出现（白，白）的概率为， 获得50元奖券的概率为； 【小问2详解】 解：应选方案一 设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 中奖券金额与其概率的对应关系为： 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 概率 中奖额的预期为 元， ． 应该选择方案一． 20. 材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求的正弦值； （2）求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ∴在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 21. 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． 【小问2详解】 解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 22. 已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）若抛物线的对称轴和轴的交点为，直线与轴的交点在线段之间（不与点重合），求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）将点和代入，通过待定系数法求解； （2）由图象中抛物线在轴下方时x的取值范围求解； （3）由抛物线解析式求出抛物线对称轴，把、分别代入得出k的值，再根据一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：将点和代入， 得解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， ，， 根据函数图象可知，当时，； 【小问3详解】 解：由题意可得对称轴是直线， ， 把代入直线，得，即， 把代入直线，得，即， ∴的取值范围是． 23. 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． （1）如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； （2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】（1） （2）12.5米 （3） ①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥； 理由：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【小问1详解】 解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； 【小问2详解】 解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 24. 已知所在圆的直径为，圆心为为上一点，相交于为的切线，与的延长线交于． （1）求的度数． （2）如图1，若点为的中点． ①当时，的长为_________； ②求证：． （3）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）①； ②证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， 若点为的中点，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 连接并延长，交于点，如图所示： ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，结合题中条件及圆的性质得到是等边三角形，即可得到答案； （2）①连接，如图所示，由（1）中是等边三角形，得到；再由点为的中点，根据圆周角定理可得，求出所对的圆周角，结合题意，根据弧长公式代值求解即可得到答案；②根据切线性质及（1）中是等边三角形，得到，再由等腰直角三角形性质等量代换得到，最后由等腰三角形的判定与性质即可得到答案； （3）连接并延长，交于点，如图所示，由切线性质得到，再由垂径定理得到，结合圆周角定理及对顶角，求出，从而由平行线的判定即可得证． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵为直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①连接，如图所示： ∵为直径， ， 由（1）知是等边三角形，即， 为直径，点为的中点， ， 的长为， 故答案为：； ②略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、等边三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、弧长公式、切线性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握相关几何判定与性质，灵活运用，根据题意作出恰当辅助线是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $