精品解析：黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题

哈三中2025年高三学年第二次模拟考试 数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分． 考试时间为120分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以，所以或， 又，所以. 故选：C 2. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 5 B. C. 37 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示及模长公式即可求解. 【详解】， 因为， 可得：，即，所以， 所以， 故选：B 3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则与平行或相交，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，则与平行或相交，故C错误； 对于D：若，，根据面面垂直的判定定理可得，故D正确. 故选：D 4. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算计算可得. 【详解】因为在复平面内对应的点为， 又点关于直线对称的点为，所以， 所以. 故选：A 5. 对于锐角，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的二倍角公式化简已知条件可得，再利用同角三角函数的关系以及角范围，即可求解的值. 【详解】 根据二倍角公式可得：， 化简得. 因为是锐角，所以，则， 等式两边同时除以可得： ①， 又因为②， 联立方程组①②可得：，解得 因为，所以， 则， 故选：B. 6. 正项等差数列中，，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设公差为，由求出，则，由及乘“1”法计算可得. 【详解】正项等差数列中，设公差为， 因为，所以，因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B 7. 已知函数（，）．若存在使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意化简整理，将问题转化成讨论一元二次方程有正根，利用根的判别式以及韦达定理讨论根的情况即可求出的取值范围. 【详解】由题意，，即， 则，整理可得. 根据函数定义域可知，，且，所以一元二次方程至少有一个正根. 因为，所以方程有两个不相等的实数根，设为， 则 当时，则一正一负，满足题意； 当时，则都是负数，不满足题意. 所以. 故选：C. 8. 已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式将方程转化成，再结合正弦函数图像及对称性求解即可. 【详解】， 则，即， 即 ∵，∴     令，则, 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，与共有5个交点， 所以： 其中， 即，， 解得， 所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某高中为了解该校学生的体质情况，对全校同学进行了身体素质测试，现随机抽取所有测试同学中的100名，经统计这一部分同学的体测分数均介于40至100之间；为进一步分析该校学生体质情况，现将数据整理得到如下所示频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. B. 样本中得分不低于80分的同学有15名 C. 估计样本的40%分位数为66分 D. 该组数据的平均数大于众数 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合频率分布直方图逐项判断即可. 【详解】对于A：由， 可得：，正确； 对于B：样本中得分不低于80分的频率， 故样本中得分不低于80分的同学有，正确； 对于C：第一个矩形面积为，第二个矩形面积为，第三个矩形面积为， ，， 所以样本的40%分位数：，正确； 对于D：平均数为：， 众数为：75，故D错误； 故选：ABC 10. 已知为双曲线上一点，、为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为的重心和内心．若轴，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 内切圆的半径 【答案】AD 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，，根据已知条件，由内切圆的性质以及双曲线的定义，求出，，从而可得，的值，由面积公式可解得，再用等面积法化简即得内切圆的半径.从而判断各个选项. 【详解】不妨设点在第一象限，，，分别为与三边的切点． 由切线长定理以及双曲线的定义，得 ， ∴，∴． 设，由为的重心知，，故A正确. 把代入双曲线：可得． ∴， ∴． 所以，故B错误； 若点在第二象限，则，同理可求得，，故C错误. 设内切圆的半径为， 则． 又， ∴，∴．故D正确； 故选：AD. 11. 如图，已知侧棱长为的直三棱柱中，，，为的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，异面直线与成角的余弦值是 B. 当时，直线与平面成角的余弦值是 C. 的最大值是 D. 三棱锥体积的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】连接，利用余弦定理即可判断A；证明平面，即可得到为直线与平面成角，即可判断B；取的中点，连接、，求出的最大值，即可判断C；过点作交于点，即可证明平面，再由锥体体积公式及C选项判断D. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，所以，又，，所以； 对于A：当时，又，所以为等边三角形， 所以，连接，则，又， 所以为异面直线与成角，所以， 即异面直线与成角的余弦值是，故A正确； 对于B：当时，由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 所以，即，又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为直线与平面成角，又，所以， 则，所以直线与平面成角的余弦值是，故B错误； 对于C：取的中点，连接、，则且， 又平面，所以平面，因为平面，所以， 由余弦定理，即， 所以，则，当且仅当时取等号， 因为，所以 ， 所以，又，所以， 所以的最大值是，故C正确； 对于D：过点作交于点，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又， 所以， 由C可知，所以，当且仅当时取最大值，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 若在的展开式中，含项的系数为80，则________．（用数字作答） 【答案】2 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式求出第 项，令的指数为3得的系数，列出方程解得． 【详解】展开式的通项为， 令 的展开式中的系数为 ， ∵展开式中x3的系数为80， ∴ . ∴. 故答案为：2. 13. 已知随机事件 ． 若 ，则 _____ 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，以及和事件得概率公式，即可求解. 【详解】，则，即，解得， 故. 故答案为： 14. 在中，的面积为，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理计算可得，由辅助角公式和正弦函数的图象与性质可得，解不等式即可. 【详解】设，则， 由，得， 由余弦定理得， 令，则， 即（其中）， 所以，即， 得，解得或，即或（舍去）， 解得或（舍去），所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数，． （1）若在处切线为，求实数的值； （2）是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由求出，结合，得到，求出的值； （2）求定义域，求导，分，和三种情况，得到函数单调性和最小值，从而得到方程，求出答案. 【小问1详解】 ， 在处切线为，故，解得， 故，所以，所以， 所以； 【小问2详解】 存在，理由如下： 的定义域为，， 当时，在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，解得，舍去. 当时，令得，，令得，， 若，则，故在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，满足要求， 若，则，故在上单调递减， 故，解得，舍去. 综上，. 16. 为研究某篮球运动员对球队的贡献情况，现统计某赛季该球员出场情况与比赛结果的数据如下表： 球队赢球 球队输球 总计 参加 30 12 42 未参加 20 20 40 总计 50 32 82 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与该球员参赛有关联？ （2）为进一步研究该球员对球队的影响作用，现从他参赛的10场比赛（其中赢球场次3场，输球场次7场）中随机抽取2场，用随机变量表示赢球的场数．求随机变量的分布列，数学期望与方差． 参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）该球队赢球与该球员参赛有关联； （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望方差 【解析】 【分析】（1）设零假设，求出的观测值，再与临界值表比对作答； （2）利用古典概型结合组合数计算，求出对应的概率，写出分布列，再根据数学期望和方差公式计算求解. 【小问1详解】 设零假设为该球队胜利与甲球员参赛无关. 则. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该球队赢球与该球员参赛有关联. 【小问2详解】 由题意，随机变量所有可能取值为 则 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 数学期望 方差 17. 已知数列满足，（），记． （1）求证：是等比数列； （2）设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 由已知，， ，，， 又， ， 数列中任意一项不为0， ， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）证明为常数即可证明为等比数列，根据等比数列通项公式即可求通项公式，从而得证； （2）先求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，题设化简为，通过讨论为奇数或偶数，即可求λ的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由第（1）问知， ， 则，所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 18. 已知等腰中，，，D是线段上一点，现将沿折起至的位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为（）． （1）若D为中点，求证：． （2）若， ①求平面和平面所成角的正弦值； ②设E为的中点，过E作平面截三棱锥的外接球，求截面面积的最小值． 【答案】（1）证明：如图（1）所示，在等腰中， 因为，且D为中点，可得，即， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由D为中点，得到，根据线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）①在由，得到得到长，由余弦定理求得，得到所以为等腰三角形，且，再由，证得平面，得到，过点作，证得，得到为平面和平面所成的平面角，在直角中，求得，即可得到答案；②以为原点，建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球的球心为，求得球心的坐标为，半径为，再由为的中点，得到，当与过点的截面垂直时，此时截得面积最小，结合圆的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在等腰中，，，可得， 因为，可得，即， 在中，由余弦定理得，所以， 所以为等腰三角形，所以， 所以，即， 又因为平面和平面所成的二面角为，即平面平面， 因为平面，且平面平面，所以平面， 又因为平面，所以， 如图所示，过点作，因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为平面和平面所成角的平面角， 在直角中，可得， 在直角中，可得，所以， 所以平面和平面所成角的正弦值为 ②以为原点，以分别为轴，轴，以在平面内，过点垂直的所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图(3)所示， 则， 设三棱锥的外接球的球心为， 则球心在底面上的投影为的外心，其坐标为， 球心在上的投影点为直角的外心，即的中点，坐标为， 所以球心的坐标为，半径为， 又由为的中点，可得,则， 当与过点的截面垂直时，此时截得的小圆的半径最小，其面积最小， 设所截小圆的半径为，则， 所以过E作平面截三棱锥的外接球，截面面积的最小值. 19. 椭圆与圆和圆都外切． （1）求椭圆E的方程； （2）设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上； （3）在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R， ①求证：． ②求面积取最小值时K点的横坐标． 【答案】（1） （2） 由椭圆E的方程为可知， 由题意知，不垂直于轴，故可设直线， 由焦点在椭圆内，则直线与椭圆恒有两个交点， 设， 联立直线与椭圆方程得， 由韦达定理得， 则（）， 又直线方程为，方程为， 设两直线交点， 则联立方程，解得， 将（）式代入化简得， 故点P在定直线上. （3） ①由题意知椭圆E在点处的切线斜率存在， 可设切线的方程为， 联立直线与椭圆E方程消得， ， 由直线与椭圆相切， 则， 化简得， 由，得代入上式得， 解得，故， 令，得 直线，令得； 直线，令得； 由， 故为线段的中点， ，得证. ② 【解析】 【分析】（1）结合图形可得，进而得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得关系式，再由直线联立解得点坐标，将关系式代入化简可得点在直线上； （3）①求出切线方程，依次求出坐标，得为中点，进而由向量极化恒等式可证；②利用点的横坐标表达出面积函数关系，利用导数求最值即可得. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 由题意椭圆E与两圆都外切，结合图形可知，， 故椭圆E的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②由， 则 则 ， 则的面积 . 令，， 则， 由解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，函数取最小值. 即面积S取最小值时K点的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2025年高三学年第二次模拟考试 数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分． 考试时间为120分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 5 B. C. 37 D. 3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ） A. B. 1 C. D. 5. 对于锐角，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 正项等差数列中，，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 7. 已知函数（，）．若存在使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某高中为了解该校学生的体质情况，对全校同学进行了身体素质测试，现随机抽取所有测试同学中的100名，经统计这一部分同学的体测分数均介于40至100之间；为进一步分析该校学生体质情况，现将数据整理得到如下所示频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. B. 样本中得分不低于80分的同学有15名 C. 估计样本的40%分位数为66分 D. 该组数据的平均数大于众数 10. 已知为双曲线上一点，、为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为的重心和内心．若轴，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 内切圆的半径 11. 如图，已知侧棱长为的直三棱柱中，，，为的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，异面直线与成角的余弦值是 B. 当时，直线与平面成角的余弦值是 C. 的最大值是 D. 三棱锥体积的最大值是 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 若在的展开式中，含项的系数为80，则________．（用数字作答） 13. 已知随机事件 ． 若 ，则 _____ 14. 在中，的面积为，且，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数，． （1）若在处切线为，求实数的值； （2）是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 16. 为研究某篮球运动员对球队的贡献情况，现统计某赛季该球员出场情况与比赛结果的数据如下表： 球队赢球 球队输球 总计 参加 30 12 42 未参加 20 20 40 总计 50 32 82 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与该球员参赛有关联？ （2）为进一步研究该球员对球队的影响作用，现从他参赛的10场比赛（其中赢球场次3场，输球场次7场）中随机抽取2场，用随机变量表示赢球的场数．求随机变量的分布列，数学期望与方差． 参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 17. 已知数列满足，（），记． （1）求证：是等比数列； （2）设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知等腰中，，，D是线段上一点，现将沿折起至的位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为（）． （1）若D为中点，求证：． （2）若， ①求平面和平面所成角的正弦值； ②设E为的中点，过E作平面截三棱锥的外接球，求截面面积的最小值． 19. 椭圆与圆和圆都外切． （1）求椭圆E的方程； （2）设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上； （3）在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R， ①求证：． ②求面积取最小值时K点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $