精品解析：江苏省/徐州市树人初级中学2025年九年级中考一模数学试卷

2025年中考模拟质量检测一 九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：140分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 锄禾日当午 C. 手可摘星辰 D. 林深见鹿踪 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类：必然事件、随机事件及不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据不可能事件的概念进行判断即可． 【详解】解：A、黄河入海流是必然事件，故不符合题意； B、锄禾日当午是必然事件，故不符合题意； C、手可摘星辰是不可能事件，故符合题意； D、林深见鹿踪是随机事件，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C．不轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意； D．既不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3. 有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. a+b＞0 B. a﹣b＞0 C. ab＞0 D. ＜0 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，且，由此对各选项逐一判断即可． 【详解】由数轴可知，且， ∴a+b<0，故A错误，不符合题意； a﹣b<0，故B错误，不符合题意； ab<0，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】此题主要考查了数轴，根据数在数轴上的位置判断数的符号和式子的符号是解题的关键． 4. 下列计算中，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方及合并同类项等知识，熟悉这些基础知识是解题的关键．运用这些知识逐项计算即可作出判断． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 若一组数据1，2，3，x，5，6的众数为5，则这组数据的中位数为( ) A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：∵数据1、2、3、x、5、6的众数为5， ∴， 则数据重新排列为1、2、3、5、5、6， ∴中位数为，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6. 若整数满足，则的值为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算方法是解题的关键；，则可得整数a的值； 【详解】解：∵， ∴； 故选：A． 7. 将函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，平移法则：左加右减，上加下减，掌握此法则是解题的关键；按照平移法则进行求解即可． 【详解】解：函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为； 故选：C． 8. 如图，在正方形中，点E是上一点，连接，以为腰向右侧作等腰直角，连接，已知，下列结论错误的是（ ） A. 当平分时， B. 当和的面积相等时， C. 当时， D. 当取最小值时， 【答案】C 【解析】 【分析】如图1，在上截取，连接，则，，当平分∠ECF时，得出，，得出．设，则，得出等式，解出，即可判断选项A；如图2，过点F作，交的延长线于点H，根据，．证明，则得出，，再根据，列出，即，即可解出（负值已舍去），即可判定选项B；当时，，证出，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出．即可判定选项C； 如图3，以为边向右侧作正方形，连接，证明，得出，，故得出当时，有最小值，此时是等腰直角三角形，即可解出，再根据相似三角形的性质即可解出．即可判断选项D． 【详解】根据题意可得，， A．如图1，在上截取，连接，则， ∵，平分∠ECF， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， 解得， 即．故选项A结论正确； B．如图2，过点F作，交的延长线于点H， ， ， ∴， 则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去），故选项B结论正确； C．当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 则．故选项C结论错误； D．如图3，以为边向右侧作正方形，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，此时是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴．故选项D结论正确． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（本大题有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程．） 9. 已知等腰三角形一边长为3，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】17 【解析】 【分析】分腰长为3和腰长为7两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解． 【详解】解：当腰长为时，三边分别为、、，，能构成三角形，周长为； 当腰长为时，三边分别为、、，，无法构成三角形，不合题意． 故答案为：17 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键． 10. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 11. 要使有意义，x的取值应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，根据二次根式有意义的条件得出，然后解不等式即可． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 故答案为：． 12. 已知正n边形的一个内角是，则边数n的值是________ 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，正n边形的内角和为，再根据每个内角的度数为建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 13. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 14. 如图，已知平面镜平行于平面镜，光线由水平方向射来，传播路线为，，若，则____________°． 【答案】45 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，掌握平面镜光的反射规律、熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．根据光的反射规律可知得到，，根据平行线的性质得到，即可得解． 【详解】解：如图，根据光的反射规律可知，， ∵平面镜平行于平面镜， ∴由平行线的性质可得， ． 故答案为：45． 15. 如图，在中，，，的内切圆与边、、分别相切于点、、，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，等边对等角，根据切线长定理得出，，再根据等边对等角得出，，进而可得出答案． 【详解】解：∵的内切圆与边、、分别相切于点、、， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是__________．  【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，列式解答即可． 本题考查了弧长公式，扇形与圆锥的关系，熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键． 【详解】解：设扇形的半径是r，则， 解得， ∴扇形的半径是4． 故答案为：4． 17. 如图，已知点A、B在双曲线y=（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k=______． 【答案】12 【解析】 【分析】由△ABP的面积为3，知BP•AP=6．根据反比例函数y=中k的几何意义，知本题k=OC•AC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC=BP，AC=2AP，进而求出k的值． 【详解】∵△ABP的面积为•BP•AP=3， ∴BP•AP=6， ∵P是AC的中点， ∴A点的纵坐标是B点纵坐标的2倍， 又点A、B都在双曲线y=（x＞0）上， ∴B点的横坐标是A点横坐标的2倍， ∴OC=DP=BP， ∴k=OC•AC=BP•2AP=12． 故答案为：12． 【点睛】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，解答此类题一定要正确理解k的几何意义． 18. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时， 过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点， ∴2MD=AD=CD=4，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°， ∴FD=MD=1， ∴FM=DM×cos30°=， ∴， ∴A′C=MC﹣MA′=． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据绝对值意义，零指数幂、负指数幂运算法则进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 20. 解方程组或不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组与一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则及加减消元法解方程组是解答此题的关键． （1）利用加减消元法求解可得； （2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， ②①得：， 把代入②得：， 方程组的解为； 【小问2详解】 解：化解可得 解①得：， 解②得：， 所以不等式组的解集为 21. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分．规定：为级，为级，为级，为级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了 名学生，图中等级为的扇形的圆心角等于 ； （2）补全条形统计图； （3）根据调查结果可知，综合评定成绩中位数落在 组． （4）若该校共有名学生，请你估计该校等级为的学生有多少名？ 【答案】（1）50； （2）见解析 （3）B （4）240名 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、中位数，画条形统计图，样本所占百分比估计总体，熟练掌握样本所占百分比估计总体是解题的关键． （1）用级的学生数除以其所占百分比即可求得抽样的学生数，进而求得级所对应圆心角的度数； （2）用抽样人数减去其余各部分人数，得级学生数，从而不全条形统计图即可； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）用级所占百分比乘以即可得解． 【小问1详解】 解：在这次调查中，一共抽取的学生数是：（人）， ∵， ∴扇形统计图中级对应的圆心角为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：等级人数为， 补全条形图如下： 【小问3详解】 解：在这组数据中，从小到大排列，第位、第位都在级，所以这组数据的中位数落在组, 故答案为：B． 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计该校等级为的学生有名． 22. 小明和小张与另外两名同学一起参加桌面游戏．四个人通过抽签决定座位、、． （1）小明抽中座位的概率为___________． （2）若面对面感位上的两人为游戏中的盟友，用“列表”或“画树状图”的方法求小明和小张成为盟友的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小张成为盟友的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：、、座位中抽中A的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 结果小张小明 （A，B） （A，C） （A，D） （B，A） （B，C） （B，D） （C，A） （C，B） （C，D） （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中小明和小张成为盟友的结果有：，共4种结果， 小明和小张成为盟友的概率为 23. 当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．“买新能源车到底划不划算？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积50升 电池容量80千瓦时 油价8元/升 电价0.6元/千瓦时 续航里程千米 续航里程千米 据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． （1）这两款车每千米的行驶费用分别为多少元？ （2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1）燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元． （2）当每年的行驶里程超过千米时，新能源车的年费用更低． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找出题中所蕴含的等量关系和不等关系列出分式方程和不等式是解题关键． （1）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元可列出方程，求得，再回答即可； （2）设每年行驶的里程为m千米，根据题意可得一元一次不等式，求解即可． 【小问1详解】 依题意，得， 解得． 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ． 答：燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元． 【小问2详解】 设每年行驶的里程为m千米． 依题意，得， 解得． 答：当每年的行驶里程超过千米时，新能源车的年费用更低． 24. 如图，矩形中，经过点A，且与边相切于M点，过边上的点N，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，，，根据等腰三角形的性质得出，，根据切线的性质可得，进而可证明，最后根据切线的判定即可证明； （2）过点O作于G，连接，根据垂径定理求出，，然后证明四边形、是矩形，则可求，，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，，， ∵，， ∴，， ∵与相切于M， ∴， ∴， ∴， ∴， 又是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：过点O作于G，连接， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形矩形， ∴， ∴． 25. 某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，） （1）若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米） （2）若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明． 【答案】（1）点距离地面的高度约为米 （2）宽为3米，高为米的货车能安全通过此拦道闸 【解析】 【分析】本题考查三角函数解直角三角形，特殊角三角函数值． （1）根据题意过点作于点，过点作于点，再列式求出长，后即可得到本题答案； （2）根据题意分别计算出，列式并计算即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中， （米）， ∴（米）， 答：点距离地面的高度约为2.5米； 【小问2详解】 解：根据题意四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中， （米），（米）， ∴（米），， （米）， （米）， ， ∴宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸， 答：宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸． 26. 如图，抛物线经过原点和点，它的对称轴交抛物线于点．两点在对称轴上（点在的上方），且关于点对称，直线交抛物线于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（1），若的面积为，求点的坐标； （3）如图（2），若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）设出直线的解析式，联立方程组，求出点坐标，再由三角形面积即可求点坐标； （3）过点作的垂线，垂足为，直线交轴于点，设的解析式为，由(2)得，，通过证明来求点坐标即可． 【小问1详解】 将，分别代入， 可得， 解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ， ∴抛物线的对称轴为，顶点的坐标是． 设的解析式为， 联立 解得（舍） 或 ． 而 ， ， 解得， ∵点在的下方， ． 【小问3详解】 过点作的垂线，垂足为，直线交轴于点． 设的解析式为，由（2）得． ， ， ， ， ， 又， ． ， 解得． ∵点在的下方， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的三角函数是解题的关键． 27. 如图，已知，其中，请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． （1）在图1中求作点，使得：点在边上，且； （2）在图2中求作Rt，使得：点、在上，且的周长等于的长． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，作一线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，掌握这些基本作图是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线即可； （2）在上取点，过点作的垂线，在垂线上取点使，连接，作的垂直平分线交于点，则即为所求； 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 作法说明：作的垂直平分线，交于点，则点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求 作法说明：在上取点，过点作的垂线，在垂线上取点使，连接，作的垂直平分线交于点；则即为所求． 28. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c． 特例探索 （1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝ ，b＝ ； 如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ ； 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式； 拓展应用 （3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长． 【答案】（1）2，2；2，2；（2）+=5；（3）AF=4． 【解析】 【详解】（1）【思路分析】由题可知AF、BE是的中线，因此EF即为的中位线，由此可得，且EF的长是AB的一半，题中已知的度数和边AB的长，利用相似三角形的性质和勾股定理即可得解； 解：（1），；，． 解法提示：由题可得EF即为的中位线， ，且， ， ， ①当时， ， ， ， 则在中，， ， ，即， ； ②当时， ， ， 则在和中， ， ． （2）【思路分析】连接EF，由（1）中相似三角形可知PE与PB、PF与PA的比例关系，设，由此可得AP、PB的长，依次将线段长代入和中，即可求解； 解：猜想三者之间的关系是：． 证明如下：如解图①，连接EF， ∵AF，BE是的中线， ∴EF是的中位线． ，且． ， ． 方法一：设，则， 在中，①； 在中，②； 在中，③； 由①，得． 由②+③，得． ． 方法二：在和中， ， ． ． ，即． （3）【思路分析】求AF的长，则首先想到构造“中垂三角形”，由题可知，，设AF、BE交于点P，取AB的中点H，连接FH、AC，结合平行四边形的性质可证得为“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系即可求解． 解：设AF，BE交于点P． 如解图②，取AB的中点H，连接FH，AC． ∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点， ． 又， ． ∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， 是“中垂三角形”， ，即， ． 一题多解：如解图③，连接AC，CE，延长CE交BA延长线于点H． ∵在中，E，G分别是AD、CD的中点， ． ， ． 又中，， ． ． ∴BE，CA是的中线， 是“中垂三角形”， ． ， ，即． ∵AF是的中位线， ． 难点突破：本题的难点在于第（2）问中求得PE与PB、PF与PA的比例关系后，利用勾股定理将其转换为三者之间的关系；第（3）问中在平行四边形中利用平行四边形的性质构造“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟质量检测一 九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：140分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 锄禾日当午 C. 手可摘星辰 D. 林深见鹿踪 2. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3 有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. a+b＞0 B. a﹣b＞0 C. ab＞0 D. ＜0 4. 下列计算中，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若一组数据1，2，3，x，5，6的众数为5，则这组数据的中位数为( ) A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5 6. 若整数满足，则的值为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 7. 将函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为（　　） A B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点E是上一点，连接，以为腰向右侧作等腰直角，连接，已知，下列结论错误的是（ ） A. 当平分时， B. 当和的面积相等时， C. 当时， D. 当取最小值时， 二、填空题（本大题有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程．） 9. 已知等腰三角形一边长为3，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为_____． 10. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 11. 要使有意义，x的取值应满足的条件是______． 12. 已知正n边形的一个内角是，则边数n的值是________ 13. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 14. 如图，已知平面镜平行于平面镜，光线由水平方向射来，传播路线为，，若，则____________°． 15. 如图，在中，，，的内切圆与边、、分别相切于点、、，则的度数为__________． 16. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是__________．  17. 如图，已知点A、B在双曲线y=（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k=______． 18. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程组或不等式组： （1） （2） 21. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分．规定：为级，为级，为级，为级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了 名学生，图中等级为的扇形的圆心角等于 ； （2）补全条形统计图； （3）根据调查结果可知，综合评定成绩中位数落在 组． （4）若该校共有名学生，请你估计该校等级为的学生有多少名？ 22. 小明和小张与另外两名同学一起参加桌面游戏．四个人通过抽签决定座位、、． （1）小明抽中座位的概率为___________． （2）若面对面感位上的两人为游戏中的盟友，用“列表”或“画树状图”的方法求小明和小张成为盟友的概率． 23. 当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展新阶段．“买新能源车到底划不划算？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积50升 电池容量80千瓦时 油价8元/升 电价0.6元/千瓦时 续航里程千米 续航里程千米 据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． （1）这两款车每千米的行驶费用分别为多少元？ （2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 24. 如图，矩形中，经过点A，且与边相切于M点，过边上的点N，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 25. 某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，） （1）若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米） （2）若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明． 26. 如图，抛物线经过原点和点，它的对称轴交抛物线于点．两点在对称轴上（点在的上方），且关于点对称，直线交抛物线于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（1），若的面积为，求点的坐标； （3）如图（2），若，求点的坐标． 27. 如图，已知，其中，请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． （1）图1中求作点，使得：点在边上，且； （2）在图2中求作Rt，使得：点、在上，且周长等于的长． 28. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c． 特例探索 （1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝ ，b＝ ； 如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ ； 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式； 拓展应用 （3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $