精品解析：山东省济南市章丘区第四中学,第一中学初中部直升班2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

直升班第一次月考试题 一．选择题（每小题4分，10小题共40分） 1. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从上面看：共有3列，从左往右分别有1，2，1个小正方形，据此可画出图形． 【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是： ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 2. 已知在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值，根据正切的定义计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：D． 3. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴是y随x的增大而增大， 是y随x的增大而减小， 又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键． 4. 如图，在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识．过点A作，垂足为D．在中和中，分别用表示出、，根据的长求出，再求三角形的面积． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为D． 在中，， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：A． 5. 若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为， 故选：A． 6. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ） A. B. 2m C. 4m D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坡度，根据坡度“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离． 【详解】解：由题意得：， 即， 由勾股定理得：， 故选：C． 7. 一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ） A. ﹣2＜x＜0或x＞1 B. ﹣2＜x＜1 C. x＜﹣2或x＞1 D. x＜﹣2或0＜x＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可知，当y1＞y2，的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关系是根据函数图象的位置关系确定x的取值范围． 8. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，先证明为直角三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ∴，即为直角三角形， ， 故选：A． 9. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数图象经过的象限和与y轴交点的位置判断出一次函数解析式中a、b的符号，根据二次函数图象的开口方向和对称轴的位置判断出二次函数解析式中a、b的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数图象经过第一、二、三象限，则，二次函数图象开口向下，则，二者不一致，不符合题意； B、一次函数图象经过第二、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向下且对称轴y轴右侧，则，，即，二者不一致，不符合题意； C、一次函数图象经过第一、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向上且对称轴在y轴右侧，则，，即，二者一致，符合题意； D、一次函数图象经过第一、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向上且对称轴在y轴左侧，则，，即，二者不一致，不符合题意； 故选：C． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③ ；④；⑤．其中正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图象可得：a＜0，b＜0，c=1＞0，对称轴x=-1，则再结合图象判断各结论． 【详解】解：①由图象可得：a＜0，b＜0，c=1＞0， ∴abc＞0，故正确； ②∵x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，故正确； ③∵x=-1时，y＞1， ∴a-b+c＞1，故正确； ④∵对称轴为直线x=-1，当x=0时，y=1， ∴x=-2时，y＞0， ∴4a-2b+c＞0；故错误 ⑤∵- =-1， ∴b=2a， ∵a-b+c＞1， ∴a-2a+c＞1， ∴a+1＜c，故正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． 二．填空题（每小题4分，5小题共20分） 11. 如果锐角满足，则的大小是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解：∵锐角满足， ∴的大小是， 故答案为：． 12. 若抛物线与轴只有一个交点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， 则， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解求二次函数与x轴的交点就是求一元二次方程的解． 13. 如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 _______m．（结果保留根号） 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，分别在和中利用锐角三角函数关系得出，的长，进而求出该旗杆的高度． 【详解】解：在，米，， ∴， 解得：米， 在，米，， ∴， 解得：米， 故该校的旗杆高约为：（米）， 故答案为：． 14. 已知关于二次函数有最小值，则当时，的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式得出对称轴直线是解题的关键．首先确定二次函数的对称轴为直线，然后得出时，或，再根据二次函数有最小值得出时x的取值范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵当时，， 时，， ∵关于x二次函数有最小值， ∴或时，． 故答案为：或． 15. 对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质．先化为顶点式，求得、，然后根据题中定义解方程求得值，进而可求解． 【详解】解：由得， 设，则， ∵， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴抛物线的“开口大小”为， 故答案为：2． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂与零指数幂、含特殊角的三角函数值的运算．先化简二次根式和绝对值、计算负整数指数幂与零指数幂、含特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得． 【详解】解： ． 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】 解：整理得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 18. 在菱形中，，垂足为，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据，，得到，根据菱形的性质得到，可可证明，得到，得出，即可得到结论． 【详解】证明：，， ， 在菱形中， ， ， ， ， ． 19. 如图，一次函数的图象经过，两点，与反比例函数的图象在第二象限内的交点为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数和反比例函数几何问题． （1）先利用待定系数法求一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式； （2）过M点作轴于C，则，根据三角形面积公式求得即可； 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， 所以一次函数解析式为； 把代入得， 解得， 则M点坐标为， 把代入得， 所以反比例函数解析式为； 【小问2详解】 如图，过M点作轴于C，则， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼距离为57米，则教学楼的高度为多少米？（） 【答案】教学楼的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，过点作于点，由题意得米，米，，，再由矩形的性质米，然后证是等腰直角三角形，得米，即可解决问题． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形矩形， 由题意得：米，米，，． 在中，， ， （米， （米， 四边形是矩形， 米， 在中，，， 是等腰直角三角形， 米， （米， 答：教学楼的高度为米． 21. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 【答案】（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 【解析】 【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长； （2）设AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根据a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a 【详解】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450， 解得x1=5，x2=45， 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10， 答：AD的长为10m； （2）设AD=xm， ∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250， 当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250； 当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2， 综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用．解决第（2）问时，要注意根据二次函数的性质并结合a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点． 22. 【项目式学习】 项目主题：合理设计 智慧泉源 项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一 测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二 设计方案 （2）喷水池俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？ 【答案】（1）；（2）要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征 （1）设抛物线解析式为，把代入求出的值，即可得抛物线解析式； （2）把代入解析式求出的值，即可求解． 【详解】（1）设，过点 ∴代入，解得， ∴抛物线（第一象限部分）的函数表达式为； （2）当时， 解得： ∴第一象限部分的抛物线与轴的交点为， ∴要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米． 23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， 【小问2详解】 解：如图，设点，那么点， 由可得， 所以， 解得（舍）， ; 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 24. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积； （3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）3；（3）点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE＝2ED可得PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用含m的式子表示出PD和DE，根据PD＝3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可； （3）分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 若PE＝2ED，则PD＝3ED， 设P（m，﹣m2+2m+3）， ∵PD上x轴于点D， ∴E（m，﹣m+3）， ∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3）， ∴m2﹣5m+6＝0， 解得m1＝2，m2＝3（舍）， ∴m＝2，此时P（2，3），E（2，1）， ∴PE＝2， ∴S△PBC＝×2×3＝3． ∴△PBC的面积为3； （3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形， ∴有两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点． 过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D； 过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示： ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°． ∵P1C⊥BC， ∴∠DCB＝90°， ∴∠DCO＝45°， 又∵∠DOC＝90°， ∴∠ODC＝45°＝∠DCO， ∴OD＝OC＝3， ∴D（﹣3，0）， ∴直线P1C的解析式为y＝x+3， 联立， 解得或（舍）； ∴P1（1，4）； ∵P1C⊥BC，BP2⊥BC， ∴P1CBP2， ∴设直线BP2的解析式为y＝x+b， 将B（3，0）代入，得0＝3+b， ∴b＝﹣3， ∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3， 联立， 解得或（舍）， ∴P2（﹣2，﹣5）． 综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线与三角形有关的综合问题，解题的关键是能熟练运用数形结合的思想、分类讨论的思想熟练进行转化并求解． 25. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直升班第一次月考试题 一．选择题（每小题4分，10小题共40分） 1. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则面积为（ ） A B. C. D. 5. 若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ） A. B. 2m C. 4m D. 7. 一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ） A. ﹣2＜x＜0或x＞1 B. ﹣2＜x＜1 C. x＜﹣2或x＞1 D. x＜﹣2或0＜x＜1 8. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③ ；④；⑤．其中正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（每小题4分，5小题共20分） 11. 如果锐角满足，则的大小是________． 12. 若抛物线与轴只有一个交点，则的值是______． 13. 如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 _______m．（结果保留根号） 14. 已知关于二次函数有最小值，则当时，取值范围是_____． 15. 对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为_____________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解方程： 18. 在菱形中，，垂足为，，垂足为．求证：． 19. 如图，一次函数图象经过，两点，与反比例函数的图象在第二象限内的交点为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； 20. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼距离为57米，则教学楼的高度为多少米？（） 21. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 22. 【项目式学习】 项目主题：合理设计 智慧泉源 项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一 测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二 设计方案 （2）喷水池的俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？ 23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 24. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积； （3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边直角三角形，求点P的坐标． 25. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$