第七章 培优专训(四) 与平行线有关的计算与证明-【名师学案】2024-2025学年七年级下册数学分层进阶学习法（人教版2024）

培优专训（二）折叠中的平行线与角度问题 1.(1)30°(2)73°2.解：(1)设∠AEF=x°，则∠NEF=x°+20°，由折叠可知 ∠NEF=∠DEF=x°+20°，∠AEF+∠DEF=180°，∴.x°+20+x°=180°，解得x =80.∴.∠AEF的度数是80°；(2)设∠BFM=y°，则∠EFM=2y°=∠CFE. ∠BFM+∠EFM+∠CFE=180°，∴.y°+2y°+2y°=180°，解得y=36..∴.∠EFC= 2y°=72°.AD∥BC,∴.∠DEF=180°-∠CFE=108°.3.72°4.150°5.72°或56 培优专训（三）探究平行线在摆放一副三角尺中的运用 1.解：任务1：75任务2：∠DEM-∠DPB=30°，理由如下：过点D作DH∥MN, AB∥MN,∴.DH∥AB∥MN.∴.∠HDE=∠DEM,∠HDP=∠DPB,:∠HDE 一∠HDP=∠EDF,且∠EDF=30°，∴.∠DEM-∠DPB=30°：任务3：∠ACE角度 所有可能的值是135或150°或60°或45°或15°，理由如下：依题意由以下5种情况：① 当AB∥EC时，如图4①所示： 公人学以 图4 图4② 图4③ 图4④ 图45 则∠ECB=∠B=45°，∴.∠ACE=∠ACB+∠ECB=90°+45°=135°，②当BC∥DE 时，如图4②所示：则∠ECB=∠E=60°，∴.∠ACE=∠ACB+∠ECB=90°+60° 150°；③当AC∥DE时，如图4③所示：则∠ACE=∠E=60°：④当AB∥CD时，如图 4④所示，则∠BCD=∠B=45°，∠BCE=90°-∠BCD=45°.∴.∠ACE=∠ACB- ∠ECB=90°-45°=45°；⑤当AB∥DE时，设BC与DE交于点T,如图4⑤所示：则 ∠ETC=∠B=45°，.∠ECT=180°-（∠ETC+∠E)=180°-(45°+60）=75°，. ∠ACE=∠ACB-∠ECT=90°-75°=15°.综上所述：∠ACE角度所有可能的值是 135或150或60或45°或15°. 培优专训（四）与平行线有关的计算与证明 1.解：1105°(2)：0D平分∠M0N.∴∠D0N=2∠M0N=2×90°=45. ∠DON=∠D=45°.∴.CD∥AB.∴.∠CEN=180°-∠MNO=180°-30°=150°.2. (1)证明：：BC∥EF,∴∠BCD=∠CDF=40°，：∠ABC=140°，∴.∠ABC+∠BCD =180°.∴.AB∥CD:(2)解：：BD∥AE,∠BAE=110°，∴.∠BAE+∠ABD=180°， ∠ABD=70°，∠DBC=∠ABC-∠ABD=140°-70°=70°.由(1)知AB∥CD,∴. ∠ABD=∠BDC=70°..∠CDF=40°，∴.∠BDF=110°..∠BDE=70°.：BD∥ AE,∴.∠BDE=∠AEG=70°.由上可得，与∠BAE互补的角是∠ABD、∠DBC、 ∠BDC、∠BDE和∠AEG.3.(1)解：EF∥CD,理由如下：：∠1=∠2，.AB∥EF. ∴.∠AEF=∠MAE..∠MAE=45°，∠FEG=15°，.∠AEG=60°..EG平分 ∠AEC,.∠CEG=∠AEG=60°.∴.∠CEF=∠CEG+∠FEG=75°，∠NCE=75. ∴∠NCE=∠CEF..EF∥CD:(2)解：：'∠1=∠2，∴.AB∥EF.∴.∠FEA+∠MAE =180°，∠MAE=140°..∠FEA=40°，∠FEG=30°..∠AEG= 70°..EG平分∠AEC,∴.∠CEG=∠AEG=70°...∠FEC=100°. AB∥CD,AB∥EF,EF∥CD..∠NCE+∠FEC=180°. ∠VCE=80°.4.解：(1)∠3+∠1=∠2，理由如下：过点P作PM ∥a,∴.∠1=∠APM,a∥b,∴PM∥b,∴.∠3=∠BPM,∴.∠3+b ∠1=∠2：(2)①∠1+∠2=∠3②画图如图所示.∠1=∠2+ ∠3(3)∠2-∠1=∠3-∠4 培优专训（五）实数的概念及运算的易错题 1.B2.C3.C4.35.±46.C7.D8.A9.C10.-1或7 1.512.0.1或213.1)解：原式=4X4+(-8)×(-)=16十4=20. (2)解：原式=√3-(-2)+(2-3)+1=√5+2+2-√5+1=5.14.解：(1)2-√2 (2):实数m的值为2-√2，∴.m十1=3-√2>0，.m-1=2-√2-1=1-√2<0， m+1+m-1|=3-√2+√2-1=2.(3)±√14 培优专训（六）实数运算中的阅读理解题 1.解：(1)26(2)1,2,3(3)第四次之后结果为1，理由如下： ∵第一次：[√400]=20，第二次：[√20]=4，第三次：[V4]=2,第 四次：[√2]=1，.第四次之后结果为1.(4)152.(1)2√7-28 64 &x (2)-33-√7(3)7一√7(4)33.解：(1)8(2)：面积为76的 正方形的边长是√76，且8<√76<9，.设√/76=8+x,其中0<x< 1.如图所示.图中S方形=82十2×8·x十x2,S方形=76，.82+2×8 &x ·x十x2=76.当x较小时，省略x,得16.x+64≈76，得到x≈0.75，即√/76≈8.75. 214-跨单元整合 培优专训（四） 与平行线有关的计算与证明 类型一与平行线的性质有关的计算与 2.如图，BC∥EF,E是直线FD上的一点， 证明 ∠ABC=140°，∠CDF=40°. 1.如图1，将一副直角三角板放在同一条 (1)求证：AB∥CD: 直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD (2)连接BD,若BD∥AE,∠BAE= =45°. 110°，请写出所有与∠BAE互补 的角。 1( ( )( 图1 2 图3 (1)【观察猜想】 将图1中的三角尺OCD沿AB的方 向平移至图2的位置，使得点O与点 N重合，CD与MN相交于点E,则 ∠CEN= (2)【操作探究】 将图1中的三角尺OCD绕点O按顺 时针方向旋转，使一边OD在 ∠MON的内部，如图3，且OD恰好 平分∠MON,CD与NM相交于点 E,求∠CEN的度数 3.【问题情境】已知，∠1=∠2，EG平分 ∠AEC交BD于点G. 【问题探究】(1)如图1，∠MAE=45°， ∠FEG=15°，∠NCE=75°，试判断EF 与CD的位置关系，并说明理由： 【问题解决】(2)如图2，∠MAE=140°， ∠FEG=30°，当AB∥CD时，求∠NCE 的度数 B4 【解决问题】(1)问题一：如图1，当点P 在线段EF上运动时，试探索∠1，∠2， ∠3之间数量的关系，并给出证明.睿睿 回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作 的2 PM∥a…”请你用直尺和铅笔在图1中 作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明： 【类比探究】(2)问题二：当点P在线段 EF外运动时，(1)中的结论是否还成立 呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情 况进行讨论，请你结合图形帮助他们探 究这三个角的数量关系 ①如图2，当动点P在线段EF之外且在 直线a的上方运动（不与E点重合）时， 类型二巧作平行线解决几何问题 ∠1，∠2，∠3的数量关系是 4.【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本 模型—猪蹄模型后，想继续研究相关 ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P 模型的特点，于是他组织数学兴趣小组 在线段EF之外且在直线b的下方运动 进行了以下探究： (不与F点重合)时的图形，并仿照图1， 图2，标出图3中的∠1，∠2，∠3，此时 ∠1，∠2，∠3之间的数量关系是 【应用拓展】(3)问题三：如图4所示AB ∥CD,图4中∠1，∠2，∠3，∠4之间的 数量关系是 3 1 【分析问题】如图，已知直线a∥b,直线 分别与直线a,b相交于点E,F,点A,B 分别在直线a,b上，且在直线c的左侧， 点P是直线c上一动点（不与点E,F重 合)，设∠PAE=∠1，∠APB=∠2， ∠PBF=∠3， B5