第七章 培优专训(二) 折叠中的平行线与角度问题-【名师学案】2024-2025学年七年级下册数学分层进阶学习法（人教版2024）

跨单元整合 培优专训（二） 折叠中的平行线与角度问题 类型一折叠长方形纸片求角度 (二)两次折叠 (一)一次折叠 3.如图a,已知长方形纸带ABCD,将纸带 1.(1)如图，有一张长方形纸片ABCD,把 沿EF折叠后，点C,D分别落在H,G的 纸片沿对角线AC折叠，点B落在点E 位置，再沿BC折叠成图b,若∠DEF= 处，AE交DC于点F,若∠DAF=30°， 72°，则∠GMN= 则∠ACD= 图a 图b C 4.如图1是长方形纸带，∠DEF=15°，将纸 第1(1)题图 第1(2)题图 (2)如图，长方形纸片ABCD按如图的 带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3， 则图3中∠CFB的度数是 方式折叠，使点B与点D重合，折痕为 EF,若∠AED=34°，则∠EFD= 2.如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF 图1 图2 翻折，使点C,D分别落在点M,V的 位置 (1)若∠AEN=20°，求∠AEF的度数： (②)若∠BFM=?∠EFM,求∠DEF的 图3 类型二折叠与动点结合 度数」 5.如图，直线AB∥CD,M,N分别为直线 AB,CD上一点，且满足∠BMN=54°，P 是射线MB上的一个动点（不包括端点 M),将三角形PMN沿PV折叠，使顶点 M落在点Q处.若∠DNQ=∠PND. 则∠PND的度数为 \M B2 培优专训（三） 探究平行线在摆放一副三角尺中的运用 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用 数学的眼光观察现实世界”.一副三角 教材 背景 尺为我们观察世界提供一个小小的窗 口，学完平行线性质，可探究三角尺摆 放位置不同涉及的数学问题， 如图1是一副三角尺，∠C=∠F 90°，∠A=∠B=45°，∠D=30°，∠E =60°. 素材 D 图1 任务图 C(F) KF) D MEC 图2 图3 图4 如图2，将两个三角尺如图摆放，使点 任务1 A与点F重合，点E在AC上，AB与 DE相交于点G,则∠BGD= 度.（提示：过点G作GH∥DF) 如图3，将三角尺ABC的直角顶点放 在直线MN上，使AB∥MN,三角尺 任务2DEF的顶点E在直线MN上，DF与 AB相交于P,则∠DEM与∠DPB有 怎样的数量关系？说明理由， 将三角尺DEF固定不动，改变三角尺 ABC的摆放位置，但始终保持两个三 角尺的顶点C,F重合，当点A在直线 任务3EC的下方时，探究这两块三角尺一组 边互相平行的情况，请写出∠ACE角 度所有可能的值（如图4提供了其中 种情况). B3培优专训（二）折叠中的平行线与角度问题 1.(1)30°(2)73°2.解：(1)设∠AEF=x°，则∠NEF=x°+20°，由折叠可知 ∠NEF=∠DEF=x°+20°，∠AEF+∠DEF=180°，∴.x°+20+x°=180°，解得x =80.∴.∠AEF的度数是80°；(2)设∠BFM=y°，则∠EFM=2y°=∠CFE. ∠BFM+∠EFM+∠CFE=180°，∴.y°+2y°+2y°=180°，解得y=36..∴.∠EFC= 2y°=72°.AD∥BC,∴.∠DEF=180°-∠CFE=108°.3.72°4.150°5.72°或56 培优专训（三）探究平行线在摆放一副三角尺中的运用 1.解：任务1：75任务2：∠DEM-∠DPB=30°，理由如下：过点D作DH∥MN, AB∥MN,∴.DH∥AB∥MN.∴.∠HDE=∠DEM,∠HDP=∠DPB,:∠HDE 一∠HDP=∠EDF,且∠EDF=30°，∴.∠DEM-∠DPB=30°：任务3：∠ACE角度 所有可能的值是135或150°或60°或45°或15°，理由如下：依题意由以下5种情况：① 当AB∥EC时，如图4①所示： 公人学以 图4 图4② 图4③ 图4④ 图45 则∠ECB=∠B=45°，∴.∠ACE=∠ACB+∠ECB=90°+45°=135°，②当BC∥DE 时，如图4②所示：则∠ECB=∠E=60°，∴.∠ACE=∠ACB+∠ECB=90°+60° 150°；③当AC∥DE时，如图4③所示：则∠ACE=∠E=60°：④当AB∥CD时，如图 4④所示，则∠BCD=∠B=45°，∠BCE=90°-∠BCD=45°.∴.∠ACE=∠ACB- ∠ECB=90°-45°=45°；⑤当AB∥DE时，设BC与DE交于点T,如图4⑤所示：则 ∠ETC=∠B=45°，.∠ECT=180°-（∠ETC+∠E)=180°-(45°+60）=75°，. ∠ACE=∠ACB-∠ECT=90°-75°=15°.综上所述：∠ACE角度所有可能的值是 135或150或60或45°或15°. 培优专训（四）与平行线有关的计算与证明 1.解：1105°(2)：0D平分∠M0N.∴∠D0N=2∠M0N=2×90°=45. ∠DON=∠D=45°.∴.CD∥AB.∴.∠CEN=180°-∠MNO=180°-30°=150°.2. (1)证明：：BC∥EF,∴∠BCD=∠CDF=40°，：∠ABC=140°，∴.∠ABC+∠BCD =180°.∴.AB∥CD:(2)解：：BD∥AE,∠BAE=110°，∴.∠BAE+∠ABD=180°， ∠ABD=70°，∠DBC=∠ABC-∠ABD=140°-70°=70°.由(1)知AB∥CD,∴. ∠ABD=∠BDC=70°..∠CDF=40°，∴.∠BDF=110°..∠BDE=70°.：BD∥ AE,∴.∠BDE=∠AEG=70°.由上可得，与∠BAE互补的角是∠ABD、∠DBC、 ∠BDC、∠BDE和∠AEG.3.(1)解：EF∥CD,理由如下：：∠1=∠2，.AB∥EF. ∴.∠AEF=∠MAE..∠MAE=45°，∠FEG=15°，.∠AEG=60°..EG平分 ∠AEC,.∠CEG=∠AEG=60°.∴.∠CEF=∠CEG+∠FEG=75°，∠NCE=75. ∴∠NCE=∠CEF..EF∥CD:(2)解：：'∠1=∠2，∴.AB∥EF.∴.∠FEA+∠MAE =180°，∠MAE=140°..∠FEA=40°，∠FEG=30°..∠AEG= 70°..EG平分∠AEC,∴.∠CEG=∠AEG=70°...∠FEC=100°. AB∥CD,AB∥EF,EF∥CD..∠NCE+∠FEC=180°. ∠VCE=80°.4.解：(1)∠3+∠1=∠2，理由如下：过点P作PM ∥a,∴.∠1=∠APM,a∥b,∴PM∥b,∴.∠3=∠BPM,∴.∠3+b ∠1=∠2：(2)①∠1+∠2=∠3②画图如图所示.∠1=∠2+ ∠3(3)∠2-∠1=∠3-∠4 培优专训（五）实数的概念及运算的易错题 1.B2.C3.C4.35.±46.C7.D8.A9.C10.-1或7 1.512.0.1或213.1)解：原式=4X4+(-8)×(-)=16十4=20. (2)解：原式=√3-(-2)+(2-3)+1=√5+2+2-√5+1=5.14.解：(1)2-√2 (2):实数m的值为2-√2，∴.m十1=3-√2>0，.m-1=2-√2-1=1-√2<0， m+1+m-1|=3-√2+√2-1=2.(3)±√14 培优专训（六）实数运算中的阅读理解题 1.解：(1)26(2)1,2,3(3)第四次之后结果为1，理由如下： ∵第一次：[√400]=20，第二次：[√20]=4，第三次：[V4]=2,第 四次：[√2]=1，.第四次之后结果为1.(4)152.(1)2√7-28 64 &x (2)-33-√7(3)7一√7(4)33.解：(1)8(2)：面积为76的 正方形的边长是√76，且8<√76<9，.设√/76=8+x,其中0<x< 1.如图所示.图中S方形=82十2×8·x十x2,S方形=76，.82+2×8 &x ·x十x2=76.当x较小时，省略x,得16.x+64≈76，得到x≈0.75，即√/76≈8.75. 214-