2025年湖南中考数学一轮复习专题18：图形的相似

专题18：图形的相似 一、选择题： 1.观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是(    ) A. B. C. D. 2.下列各组图形中，一定相似的是(    ) A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个等腰三角形 D. 两个正方形 3.如图所示，小正方形的边长均为，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是(    ) A. B. C. D. 4.下列命题中，正确的是(    ) A. 两个等腰三角形一定相似 B. 两个等腰梯形一定相似 C. 两个菱形一定相似 D. 两个正方形一定相似 5.在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.若，则(    ) A. B. C. D. 7.是的斜边上异于、的一点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，满足这样条件的直线共有(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 8.如图，在中，，，四边形的面积为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 9.如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，于点，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 11.的三边长分别为，，，另有一个与它相似的三角形，其最长边为，则的周长是  (    ) A. B. C. D. 12.我国古代教育家墨子发现了小孔成像：用一个带有小孔的板遮挡在墙体与物之间，墙体上就会形成物的倒影，这种现象叫小孔成像如图，根据小孔成像原理，已知蜡烛的火焰高，当物距，像距时，火焰的像高为(    ) A. B. C. D. 13.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 14.如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是(    ) A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 15.若∽，相似比为，则与的周长比为(    ) A. B. C. D. 16.如图，∽，若，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 17.如图，在中，，于点，下列结论中错误的是(    ) A. B. C. D. 18.如图，在中，，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 19.已知点是线段的黄金分割点，，，则______． 20.两相似三角形的面积之比为，若小三角形的周长为厘米，则大三角形的周长为          厘米． 21.如图，在中，，点是边上的一点，于，，，则边的长为          ． 22.在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，在第一象限内得到，已知，则点的坐标是______． 23.如图，正方形中，，，点在上运动不与、重合，过点作，交于点，则的最大值为          ． 24.如图，在平面直角坐标系中，已知，点，作，使与相似，以、点必须要格点上______不写作法 三、解答题： 25.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． 向左平移个单位，向上平移个单位，请画出平移后的； 以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为：； 若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 26.如图，在中，． 用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线，分别交、于点，不写作法，保留作图痕迹，可描黑； 证明：∽． 27.如图，已知在平行四边形中，点在延长线上，． 尺规作图：在上找一点，使得∽保留作图痕迹，不写作法，不必证明； 在条件下，若点为中点，，，求的长． 28. 如图，已知∽，，，，，，求： 和的度数； 的长． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】解：、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意， B、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； C、任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意； 故选：． 根据相似图形的概念进行判断即可． 本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 3.【答案】  4.【答案】  【解析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意； 故选： 5.【答案】  【解析】考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高． 【详解】解：设影长为米的旗杆的高是米， 根据题意可得：， 解得：， 即影长为米的旗杆的高是米． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了比例的性质；熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由已知得出，由比例的性质即可得出答案． 【解答】 解：， ， ， 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法有两组角对应相等的两个三角形相似来判定两个三角形相似． 过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以． 【解答】 解： 由于是直角三角形， 过点作直线截，则截得的三角形与有一公共角， 所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似， 过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共条直线． 故答案选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出是解题的关键． 由可得出∽，利用相似三角形的性质可得出，结合即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】 解：， ∽， ， ． ，即， ． 故选：． 9.【答案】  10.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了相似三角形的判定和性质，属于基础题． 根据相似三角形的判定得到∽，从而可根据其相似比求得的长． 【解答】 解：，于点， ，，， ， ∽， ：：， ，， ． 故选：． 11.【答案】  12.【答案】  【解析】解：由题意可知，∽， ， ， 解得，， 故选：． 根据相似三角形的对应边成比例得出方程求解即可． 本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 13.【答案】  【解析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：与是位似图形，点的对应点为， 与的位似比为， 点的对应点的坐标为，即， 故选：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，取格点、、、，连接、、、，设的正方形网格中，设每个小正方形的边长都是，再根据平行线分线段成比例定理分别求得，即可得到问题的答案． 【解答】 解：如图， ，， ． 故选C． 15.【答案】  【解析】解：∽，与的相似比为：， 与的周长比为：． 故选：． 根据相似三角形的周长的比等于相似比得出． 本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形多边形的周长的比等于相似比． 16.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键． 直接利用相似三角形的性质，得出   ，进而得出答案． 【解答】 解：因为 ∽，所以    ，即   ，解得． 所以的长是． 17.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ，A正确，不符合题意； ，， ，B正确，不符合题意； 由三角形的面积公式得，， ，C正确，不符合题意； ，， ，D错误，符合题意； 故选：． 根据同角的余角相等判断；根据射影定理判断、；根据三角形的面积公式判断． 本题考查的是直角三角形的性质、射影定理、三角形的面积计算，掌握射影定理、三角形的面积公式是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：， ， 即， 解得：， 故选：． 根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解：点是线段的黄金分割点，， ． 故答案为． 根据黄金分割的定义得到，然后把代入计算即可． 本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 20.【答案】  【解析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求出相似比，得到两个三角形的周长之比，根据题意列方程解答即可． 【详解】两相似三角形的面积之比为， 两相似三角形的相似比为， 两相似三角形的周长之比为， 设较小的三角形的周长是，则较大的三角形的周长是， 由题意得，， 解得，则． 故答案为． 21.【答案】  【解析】【分析】 根据射影定理列式计算即可． 本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 【解答】 解：由射影定理得，， 解得，， 故答案为：． 22.【答案】  【解析】解：将以点为位似中心，为位似比作位似变换，在第一象限内得到，， 点的坐标是：， 即． 故答案为：． 直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可． 此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 24.【解析】解： 根据相似三角形的性质，利用平行，连接作，且，同理作，连接三角形就画成了． 本题主要根据平行的性质，利用三角形的相似来完成此图． 25.【答案】解：如图所示，即为所求． 如图所示，即为所求． 如图所示，点即为所求，其坐标为．  【解析】本题主要考查作图平移变换、位似变换作图，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义与性质． 将三个顶点分别向左平移个单位，向上平移个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； 延长、到、，使，，与点首尾顺次连接即可； 直线、、的交点即为所求． 26. 【解析】解：如图所示，作边的垂直平分线，分别交、于点，，直线即为所求； 垂直平分， ， ， ∽． 根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； 由垂直平分线的性质可得，即可得结论． 本题考查了相似三角形的判定，垂直平分线的性质，作图基本作图，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 27.【答案】解：如图所示，点即为所求； 四边形是平行四边形， ，， 点为中点， ， ∽， ， ， ， ．  【解析】过点作的垂线交于，于是得到结论； 根据平行四边形到现在得到，，由点为中点，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题考查了作图相似变换，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 28.【答案】解：∽， ． 在中，． ∽， ，即． ．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$