2025年湖南中考数学一轮复习专题16：反比例函数及其图像与性质

专题16：反比例函数及其图像与性质 一、选择题： 1.下列关系式中的两个量成反比例的是(    ) A. 圆的面积与它的半径； B. 正方形的周长与它的边长； C. 路程一定时，速度与时间； D. 长方形一条边确定时，周长与另一边． 2.下列关系式中，是的反比例函数的是(    ) A. B. C. D. 3.反比例函数的图象在(    ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 4.下列函数中，函数值随的增大而减小的是(    ) A. B. C. D. 5.已知点在反比例函数的图象上，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知点，在反比例函数的图象上，若，则有(    ) A. B. C. D. 7.若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为(    ) A. B. C. D. 8.若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 9.已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：当为定值时，如图中大致表示压强与受力面积之间函数关系的是(    ) A. B. C. D. 10.已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，、两点在该图象上，下列命题：过点作轴，为垂足，连接若的面积为，则；若，则；若，则，其中真命题个数是(    ) A. B. C. D. 11.在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积改变时，气体的密度也随之改变，与之间在一定范围内满足，如图所示当为时，的值是(    ) A. B. C. D. 12.如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接若的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 13.在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为          ． 14.二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率单位：赫兹与长度单位：米近似成反比例关系，即为常数，若某一振动弦的共振频率为赫兹，长度为米，则的值为______． 15.某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为，另一边长为的矩形如图所示，依题意可得关于的函数关系式为          不必写明自变量的取值范围． 16.若点，在反比例函数的图象上，则           填“”或“”或“” 17.如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，已知点的坐标为，那么点的坐标为          ． 18.如图，射线与函数图象相交于点，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线，交函数图象于点，连接，则的面积是______． 19.如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，若点，在同一个反比例函数的图像上，则这个反比例函数的表达式是          ． 三、解答题： 20.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，且的面积为． 求和的值； 当时，求函数值的取值范围． 21.近视眼镜镜片的度数度与镜片焦距成反比例．已知度近视眼镜镜片的焦距为． 求与的函数表达式； 已知王老师的近视眼镜镜片度数为度，求该镜片的焦距． 22.小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： 反比例函数表达式； 点坐标． 23.如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点． 求反比例函数的解析式； 若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 24.小明在课余时间，找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片到光斑的距离，得到如下数据： 镜片度数度 镜片到光斑的距离 表示镜片到光斑的距离，表示镜片的度数 为了进一步研究镜片度数与镜片到光斑的距离间的关系，小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图象，并给出了它们的关系式，如图：     的值是______； 小亮的眼镜是近视度，用小亮的眼镜做实验的话，请写出其镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得出这一结论的； 根据图表中的信息，发现随着的逐渐变大，的变化趋势是________； 你来预测一下，如果是一副平光镜近视度数为，会不会有光斑存在？直接写结论，无需解释 25.综合与实践： 【问题情景】某生物小组探究“洒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白洒毫升后，血液中酒精含量毫克百毫升与时间时的关系可近似的用如图所示的图象表示国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于毫克百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】求部分双曲线的函数表达式； 【问题解决】参照上述数学模型，假设某人晚上：喝完毫升低度白酒，则此人第二天早上：能否驾车出行？请说明理由． 26.小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热重复上述程序，根据图中提供的信息，解答问题． 当时，求水温关于开机时间的函数解析式． 求图中的值． 若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 27.在实验课上，小明做了一个试验如图，在仪器左边托盘固定中放置一个物体，在右边托盘可左右移动中放置一个可以装水的容器，容器的质量为在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 加入的水的质量 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象． 请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； 观察函数图象，并结合表中的数据： 猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； 求关于的函数表达式； 当时，随的增大而______填“增大”或“减小”，随的增大而______填“增大”或“减小”，的图象可以由的图象向______以“上”或“下”或“左”或“右”平移得到． 若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围． 28.为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法． 列表： 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： 如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； 已知点，在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若，则______；若，则______； 若，则______填“”，“”或“”． 某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元平方米，侧面造价为千元平方米．设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元． 请写出与的函数关系式； 若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】根据反比例的定义判断即可． 【详解】解：、设圆的半径为，则圆的面积为，不是反比例关系，故本选项错误； B、正方形的周长边长，不是反比例关系，故本选项错误； C、路程一定时，则，即速度与时间成反比例，故本选项正确； D、设长方形的一条边为，另一条边为，周长为，则，不是反比例关系，故本选项错误； 故选：． 2.【答案】  【解析】解：、是一次函数，故此选项不符合题意； B、是反比例函数，故此选项符合题意； C、是正比例函数，故此选项不符合题意； D、是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：． 形如的函数叫做反比例函数，据此即可求解． 此题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是反比例函数的图象和性质，熟知反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限是解答此题的关键．直接根据反比例函数的性质进行解答即可． 【解答】 解：反比例函数是中，， 此函数图象的两个分支分别位于一、三象限． 故选：． 4.【答案】  5.【答案】  【解析】解：点在反比例函数的图象上， ． 故选：． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的纵横坐标之积是定值是解答本题的关键． 6.【答案】  【解析】解：， 反比例函数的图象在一、三象限， ， ， 故选：． 根据反比例函数所在的象限即可判断． 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据值判断反比例函数图象所在的象限是解题的关键． 7.【答案】  8.【答案】  【解析】【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质即可解答． 【解答】解：反比例函数中，， 此函数的图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小． ，． 故选B． 9.【答案】  【解析】解：压力、压强与受力面积之间有如下关系式：． 当为定值时，压强与受力面积之间函数关系是反比例函数， 故选：． 根据函数的解析式判断函数的图形即可． 此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象． 10.【答案】  【解析】解：过点作轴，为垂足，连接． 的面积为， ， 反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， ， ，正确，是真命题； 反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， 若，则，正确，是真命题； 当、两点关于原点对称时，，则，正确，是真命题， 真命题有个， 故选：． 利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可． 本题考查了反比例函数的性质及命题与定理的知识，解题的关键是了解反比例函数的比例系数的几何意义等知识，难度不大． 11.【答案】  【解析】解：将代入， 得，， 解得， ， 当时，， 解得， 故选A． 本题考查反比例函数的应用，反比例函数图象上点的坐标特征待观察图象可知，此反比例函数图象经过点，把点代入中，解即可得值，可得解析式，并把代入解析式求解即可． 12.【答案】  13.【答案】  【解析】解：反比例函数的图象经过点和点， ，解得， 即的值为． 故答案为． 利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于的方程即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 14.【答案】  【解析】解：当，时，， ． 故答案为：． 把，，代入解析式，即可求出的值． 本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 15.【答案】  【解析】 根据变形计算即可，本题考查了反比例函数的解析式确定，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数的性质得到反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小即可得到答案． 【解答】 解：， 反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 点，同在第三象限，且， ． 17.【答案】   【解析】解：由题意可知点与点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 18.【答案】  【解析】解：把点代入，得， ， ， 设点， 如图，过点作轴于，过点作轴于，于， ， ，，， ， ， 由作图方法可知，是的平分线， ， ， ， 点在第一象限， ， ， ， 轴于，于，是的平分线， ， ， 故答案为：． 把点代入，求得，则，设点的坐标为，过点作轴于，于，过点作轴于，求出，再根据作图方法可知，是的平分线，得，解直角三角形求出，得到，再由角平分线的性质得出，即可由三角形的面积求解． 本题考查尺规基本作图作角平分线，用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象性质，角平分线的性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象性质，角平分线的性质是解题的关键． 19.【答案】  【解析】【分析】 设，根据题意得点坐标，，再把、点坐标代入可求得的值，从而得出的坐标，代入可 得答案． 此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点． 【解答】 解：，设，， 正方形的边长为， ， B、在反比例函数的图象上， ， 解得，舍 ， 反比例函数解析式为． 故答案为． 20.【答案】解：， ，， ， ， 点的坐标为， 把代入，得； 当时，， 又反比例函数在时，随的增大而减小， 当时，的取值范围为．  【解析】根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； 求出时，的值，再根据反比例函数的性质求解． 本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力． 21.【答案】【小题】 解：设与的函数表达式为， 度近视眼镜镜片的焦距为， ， 即； 【小题】 将代入可得： 该镜片的焦距为．   【解析】  利用待定系数法，求解即可；   将代入解析式，求解即可． 22.【答案】解：根据图象信息，点的坐标为， 反比例函数图象上过点，设反比例函数关系式为， ， 反比例函数解析式为； 直线的解析式为， 由图象可知，直线向上平移三个单位得到直线的解析式为， 联立方程组，解得，舍去， ．  【解析】根据图象信息可知，待定系数法求出反比例函数解析式即可； 由图象可知，的解析式为，与反比例函数解析式联立方程组求出点坐标即可． 本题考查了反比例函数图象与性质，熟练掌握联立方程组求出交点坐标是关键． 23.【答案】解：把点代入， 解得， 点坐标为 把代入反比例函数， ， 反比例函数的解析式为； 一次函数的图象与轴交于点， 点坐标为， 设点坐标为， ， ， 或， 的坐标为或．  【解析】本题考查反比例函数与一次函数综合，待定系数法求反比例函数的解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征． 利用点在上求，进而代入反比例函数求即可； 设，求得点的坐标，则，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可． 24.【答案】解：将代入中，得； 故答案为：； 其镜片到光斑的距离为，理由如下： 当时，， 解得：， 其镜片到光斑的距离为； 根据图表中的信息，发现随着的逐渐变大，的变化趋势是逐渐变小； 故答案为：逐渐变小； 光斑不会存在，理由如下： 由函数图象可知，当趋近于时，趋近于无穷大，但不会等于， 所以当时，光斑不会存在．  【解析】将点代入函数解析式中求解即可； 将代入函数解析式求出与之对应的的值即可得到结论； 观察图表中的信息即可得到答案； 根据所给图象分析即可得到结论． 本题主要考函数的图象． 25.【答案】解：设的函数表达式为，则： ， ， 的函数表达式为， 当时，， 可设部分双曲线的函数表达式为， 由图象可知，当时，， ， 部分双曲线的函数表达式为； 在中，令， 可得：， 解之可得：， 晚上：到第二天早上：的时间间隔为，， 某人晚上：喝完毫升低度白酒，则此人第二天早上：时体内的酒精含量高于毫克百毫升， 此人第二天早上：不能驾车出行．  【解析】【分析】 由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式； 在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解． 本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键． 26.【答案】解：设， 则：， 解得：， ； 设当时，， ， ， 当时，， 即； 由题意得：饮水机分钟一个循环， ， 当时，， 小丽散步回到家时，饮水机中水的温度为．  【解析】根据待定系数法求解； 先根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再由的值求出的值； 根据居饮水机的反复工作的特点求解． 本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 27.【答案】解：作出关于的函数图象如下： 观察表格可知，是的反比例函数， 设，把代入得：， ， 关于的函数表达式是； ， ； ； 减小，减小，下； ，， ， ， ．  【解析】【分析】 描点作出图象即可； 用待定系数法可得关于的函数表达式； 由与关系，结合可得答案； 观察图象可得答案； 根据可得关于的不等式，可解得的范围． 本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【解答】 见答案； 见答案； 观察图象可得，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移得到； 故答案为：减小，减小，下； 见答案． 28.【答案】解：函数图象如图所示： ，，． 由题意，． 由题意， ， 可得， 令，解得或， 由的图象开口向上，两根之间的图象在轴下方， 故得时， 长应控制在的范围内．  【解析】【分析】 用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可． 利用图象法解决问题即可． 总造价底面的造价侧面的造价，构建函数关系式即可． 二次函数图象解决问题即可． 本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【解答】 解：见答案； 若，则；若，则， 若，则． 故答案为，，． 见答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$