6.4 三元一次方程组课件2024-2025学年冀教版七年级数学下册

6.4 三元一次方程组的解法 1.会识别三元一次方程组. 2.能通过设未知数列出三元一次方程组表示较简单的实际问题中的等量关系. 3.能验证给定的一组未知数的值是否是三元一次方程组的解. 4.可以用适当的消元方法解简单的三元一次方程组. 学习目标 二元一次方程组的概念是什么？ 二元一次方程组所具有的三个特征： （1）含有两个未知数； （2）含有每个未知数的项的次数都是1； （3）并且一共有两个方程. 方程中含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是１，像这样的方程叫做二元一次方程． 旧知回顾 解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们的实质是什么？ 解二元一次方程组的基本方法有两种：代入消元法和加减消元法，它们的实质是消元. 在实际中需要解决的问题往往涉及3个或更多的未知数，这时我们要如何解决呢？ 旧知回顾 纸币问题 小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元和5元的纸币各多少张？ 题目中有几个未知量？如何设未知数呢？ 有三个未知量，可以设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张. 题目中有哪些等量关系？ 请你用列表的方式分析问题中的数量关系. 探究活动1 1元币 2元币 5元币 合计 张数 x y z 12 钱数 x 2y 5z 22 关系 x=4y 三种面额纸币总张数=12；三种面额纸币总面值=22；1元纸币的张数是2元的4倍. 探究活动1 三种面额纸币总张数=12；三种面额纸币总面值=22；1元纸币的张数是2元的4倍. 如何用方程表示这些等量关系？ 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此可以把三个方程合在一起， 得到一个方程组： 探究活动1 这个方程组是二元一次方程组吗？它与二元一次方程组有什么不同？ 探究活动1 含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 探究活动1 如何解这个三元一次方程组呢？ 二元一次方程组是如何求解的？ 用消元法消去一个未知数，把它化为一元一次方程来求解. 探究活动1 如何解这个三元一次方程组呢？ 这个三元一次方程组可不可以用类似解二元一次方程组的方法求解？ 通过观察，你认为先消去哪一个未知数？你的理由是什么？ 这是用的什么消元方法？还有其他消元方法吗？ “代入消元法”，还可以用“加减消元法”. 探究活动1 通过观察，你认为应先消去哪一个未知数？理由是什么？ 如何解这个三元一次方程组呢？ 先消去z会比较方便. 探究活动1 如何解这个三元一次方程组呢？ 解：①×5②，得4x+3y =38. ④ ③与④组成方程组 解这个方程组，得 把x = 8，y = 2代入①，得：8+2+ z =12， 所以z =2. 所以原方程组的解为 探究活动1 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 消元 消元 解三元一次方程组的基本思路是： 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 基本思路的框图，表示如下： 探究活动1 如何解这个三元一次方程组. 答案： 由于该三元一次方程组的各未知数的系数的绝对值较大，用代入消元法比较麻烦. 遇到这样的问题时，用加减消元法将两个三元一次方程消去二元一次方程中不含的未知数y比较简便. 跟踪训练 根据已知条件，你能得到什么？ 在等式y = ax2 + bx + c中，当x =1时，y = 0；当x =2时，y = 3；当x =5时，y = 60，求a，b，c的值. 根据这个条件，你会得到什么？ ab+c=0. 探究活动2 在等式y = ax2 + bx + c中，当x =1时，y = 0；当x =2时，y = 3；当x =5时，y = 60，求a，b，c的值. 根据这两个条件，你又会得到什么？ 4a+2b+c=3； 25a+5b+c=60. 得到三元一次方程组： ① ② ③ 探究活动2 你会解这个方程组吗？ 如何将这个三元一次方程组转化为二元一次方程组？ ① ② ③ 在等式y = ax2 + bx + c中，当x =1时，y = 0；当x =2时，y = 3；当x =5时，y = 60，求a，b，c的值. 用消元的方法将三元一次方程组转化为二元一次方程组. 先消去哪个未知数？为什么？ 先消去c，选择系数的绝对值最小的消元. 探究活动2 在等式y = ax2 + bx + c中，当x =1时，y = 0；当x =2时，y = 3；当x =5时，y = 60，求a，b，c的值. 如何消去c？ ②①，得a + b = 1. ④ ① ② ③ 现在得到二元一次方程组了吗？如何得到？ ③①，得24a + 6b=60，即4a+b=10. ⑤ 方程④和⑤可组成一个二元一次方程组. 探究活动2 在等式y = ax2 + bx + c中，当x =1时，y = 0；当x =2时，y = 3；当x =5时，y = 60，求a，b，c的值. 现在你能解出这个二元一次方程组的解吗？能解出三元一次方程组吗？ 二元一次方程组的解为 ① ② ③ 三元一次方程组的解为 探究活动2 在等式y = ax2 + bx + c中，当x =1时，y = 0；当x =2时，y = 3；当x =5时，y = 60，求a，b，c的值. 这个三元一次方程组还有其它的解法吗？ ① ② ③ 如果还是选择消去c，你有其他的方法吗？ ③②可得21a + 3b =57，即7a + b =19. ⑥ 方程④与⑥也可以组成一个二元一次方程组，也可以求出这个三元一次方程组的解. ②①，得a + b = 1. ④ 探究活动2 在等式y = ax2 + bx + c中，当x =1时，y = 0；当x =2时，y = 3；当x =5时，y = 60，求a，b，c的值. 消去a或b可以吗？如何操作？ ① ② ③ 可以. 若要消去a，可将②①×4，得6b3c=3，即2bc=1. 再将③①×25，得30b 24c=60，即5b4c=10. 若要消去b，可将①×2+②，得6a + 3c =3，即2a + c =1. 再将①×5+③，得30a + 6c =60，即5a + c =10. 探究活动2 解三元一次方程组. 解：①+②得5x+2y=16. ④ ①③得2x2y=2，即xy=1. ⑤ ④与⑤组成方程组解这个方程组， 得把代入③，得z=1. 因此， ① ② ③ 消去系数的绝对值最小的未知数会比较简单. 跟踪训练 1.本节课你有哪些收获？ 知识内容：三元一次方程组的概念及解法；先根据已知条件列出方程组，再解出方程组．由于这个方程组每一个方程均含有三个未知数，要两两组合消去同一个未知数．消元时要选择绝对值最小的未知数，以简化运算． 思想方法：消元思想，即将三元一次方程组消去一个未知数，转化为二元一次方程组． 课堂小结 2.如何解三元一次方程组？它的基本思路是什么？ 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”， 使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组． 课堂小结 1.下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. D 随堂检测 2.解方程组把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（ ） A. B. C. D. A 随堂检测 3.购买铅笔7支、作业本3本、圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支、作业本4本、圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本、圆珠笔2支共需__________元. 5 随堂检测 请认真观察，动脑子想一想，下图中的“？”表示的数是（ ） A.420 B.240 C.160 D.70 B 思维拓展 解析：设题图中一个篮球表示的数是x，一顶帽子表示的数是y，一双鞋表示的数是z， 依题意得. ①+②得2x+3z=140，④ ③+④得4x=160，解得x=40，把x=40代入③得2×403z=20，解得z=20， 把x=40，z=20代入①得40+3y+2×20=110，解得y=10， 则方程组的解为故x+yz=40+10×20=240. 思维拓展 $$