2025年湖南中考数学一轮复习专题15：直角三角形的性质

专题15：直角三角形的性质 1、 选择题： 1.中，作边上的高，以下作法正确的是 A. B. C. D. 2.满足下列条件的，不是直角三角形的是(    ) A. ：：：： B. C. D. ：：：： 3.如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.在和中，，，已知，则  (    ) A. B. C. 或 D. 或 5.如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知直线，平分，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图所示的的正方形网格中，(    ) A. B. C. D. 8.在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是(    ) 的面积的面积；；；． A. B. C. D. 二、填空题： 10.已知，，是的三边长，且满足关系式，则的形状为          ． 11.如图，在中，是斜边上的中线，，则______ 12.如图，在中，，平分，于，若，，则的长为______． 13.如图，已知，是的平分线，若，则 ______． 14.如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，得到，则的长是________． 15.如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的度数是______． 16.如图，在中，，点是的中点，，则 ______． 17.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是______结果用含的式子表示． 18.如图，在中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点；作射线交于点，过点作，垂足为若，则的周长等于______． 19.如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则______． 三、解答题： 20.如图，在中，，点是边的中点，点是边上一点，，连接，，延长与交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形； 若，，点是中点，求四边形的面积． 21.如图，小芳在山下发现正前方山上有个电视塔，测得塔尖的仰角为，小芳朝正前方笔直行走，此时测得塔尖的仰角为，若小芳的眼睛离地面，你能算出这个电视塔塔尖离地面的高度吗？ 22.如图，已知在四边形中，点在上，，，． 求证：； 若，求的度数． 23.如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线分别交，于点，，连接，． 求的长； 求的周长． 24.如图，在中，平分，于点，于点，求证：． 25.如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，． 求证：； 连接，请判断的形状，并说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由各选项图可知，选项为作边上的高． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：， 是直角三角形，故本选项错误； B.， ， ， 是直角三角形，故本选项错误； C. 是直角三角形，故本选项错误； D.：：：：， 最大的角， 是锐角三角形，故本选项正确． 故选D 3.【答案】  【解析】解：在中，，点为边的中点，， ， ， ， ， 故选：． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和含角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论． 本题考查了直角三角形斜边中线，含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 过作于点，过作于点，，求得，分两种情况讨论， 利用全等三角形的判定和性质即可求解． 本题考查了含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 【解答】 解：过作于点，过作于点， ，， ， 当、在点的两侧，、在点的两侧时，如图， ，， ， 当、在点的两侧，、在点的同侧时，如图， ，， ， ，即 综上，的值为或． 故选C． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了对三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出和的度数是解此题的关键．根据直角三角形斜边上中线定理得出，求出，根据三角形的外角性质求出的度数即可． 【解答】 解：，是斜边上的中线， ， ， ． 故选D． 6.【答案】  【解析】解：， ， 平分， ， ． 故选：． 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理即可求出的度数． 本题考查平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质，利用可知≌，得到，同理可知，，进而解出此题． 【解答】 解：如图， ，，， ≌ ， ， ， 同理得，，， 又， ． 故选C． 8.【答案】  【解析】解：， ， 又平分，， 由角平分线的性质得， 故选：． 根据角平分线的性质即可求得． 本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 9.【答案】  【解析】根据是中线，得到的面积的面积，可判断正确；根据，是高，得，，结合是角平分线，可证，继而得到，，结合可得，继而判定正确；根据，，可判定，故正确；过点作于点，结合，，得到，根据直角三角形斜边大于直角边，得到，可判断错误，解答即可，本题考查了三角形的高线、中线、角的平分线，直角三角形的特征，熟练掌握相应知识是解题的关键． 【详解】是中线， 的面积的面积， 正确； ，是高， ，， 是角平分线， ， ，， ， 正确； ，， ， 故正确； 过点作于点， ，， ， 根据直角三角形斜边大于直角边， ， 错误， 故选C． 10.【答案】等腰直角三角形  11.【答案】  【解析】解：在中，是斜边上的中线，，则， ，是斜边上的中线， ， ， 故答案为． 根据直角三角形两锐角互余求得，然后根据直角三角形斜边上中线定理得出，求出即可． 本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出和的度数是解此题的关键． 12.【答案】  【解析】解：平分， 又，， ， ， ， 故答案为． 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得，再由勾股定理求得的长即可． 本题考查了角平分线的性质．角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．比较简单，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：如图， ，， ， ， ， 是的平分线， ， 故答案为：． 根据“两直线平行，同位角性质”得到，根据平角的定义得到，再根据角平分线的定义求解即可． 此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：如图，连接， 由题意得：，， 为等边三角形， ，； ，， ， ，， 垂直平分， ，， ， 故答案为． 如图，连接，由题意得：，，得到为等边三角形根据，，得出垂直平分，于是求出，，最终得到答案AE． 本题考查了图形的变换旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：在中，，， 则， 是的垂直平分线， ， ， ， 故答案为：． 根据直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，计算即可． 本题考查的是三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：，是的中点， ． 故答案为：． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：以为圆心作圆弧，如图所示，在中，， ， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ， ， 是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ， 点的运动路径长为． 故答案为：． 根据旋转的性质得到点的运动路径是圆弧的长度，根据弧长公式计算即可． 解：本题考查了轨迹，含角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算，解题的关键是明确点的运动轨迹． 18.【答案】  【解析】解：在中， ， ， ， 由作图方法可得：平分， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， 的周长． 故答案为：． 直接利用尺规作图作一个角的平分线结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案． 此题主要考查了尺规作图作一个角的平分线以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键． 19.【答案】  【解析】解：，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ． 故答案为． 可判定≌，从而得出，则． 本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识比较简单． 20.【答案】证明见解答过程；   ．  【解析】证明：， ， 点是边的中点， ， 又， ≌， ， 又， 四边形是平行四边形． 解：在中，， ， ， ， 点是中点， ， 四边形是平行四边形， 四边形的面积， 四边形的面积． 根据平行线的性质求出，利用证明≌，根据全等三角形的性质求出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得证； 解直角三角形求出，根据三角形面积公式、平行四边形的性质求出四边形的面积，再根据三角形面积公式求解即可． 本题考查平行四边形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21.【答案】解：在中，， 则， 可得，， 在中，米． 塔尖高度为米． 答：这个电视塔塔尖离地面的高度为米．  【解析】判断出为等腰三角形，求出的长，然后在中，求出的长． 本题考查了解等腰三角形的性质，直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半等问题。 22.【答案】证明：因为， 所以， 所以， 在和中， 所以≌， 所以； 解：因为，， 所以， 因为， 所以， 所以．  【解析】根据同角的余角相等可得到，结合已知条件，再加上，可证得结论； 根据，，得到，根据等腰三角形的性质得到，由平角的定义得到． 本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和． 23.【答案】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， 点为的中点， ． 在中，由勾股定理得，． 直线为线段的垂直平分线， ． 的周长为．  【解析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，点为的中点，根据直角三角形斜边中线定理可得，． 由勾股定理得，由线段垂直平分线的性质得，则的周长可转化为，进而可得答案． 本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理是解答本题的关键． 24.【答案】证明：平分，，， ，， 在≌中，， ≌， ， ．  【解析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由平分，，，得出，，由证得≌，得出，即可得出结论． 25.【答案】证明：连结，如图． 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ． 解：是等边三角形． 理由如下：连接， 垂直平分， 为的中点． ， ， 又， 是等边三角形．   【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质、角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握角的直角三角形的性质是解的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解的关键， 连接，根据线段垂直平分线的性质可得，利用等边对等角的性质可得，进而求出，再在中结合含角的直角三角形的性质，即可证明第问的结论； 连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，再利用直角三角形锐角互余的性质可得到，至此不难判断的形状 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$