2025年湖南中考数学一轮复习专题14 ：二次根式及其加减乘除

专题14 ：二次根式及其加减乘除 一、选择题： 1.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为  (    ) A. B. C. D. 2.(    ) A. B. C. D. 3.化简的结果是(    ) A. B. C. D. 4.已知，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 5.已知，为实数，，则的值等于(    ) A. B. C. D. 6.下列运算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 7.下列所给的二次根式中，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 8.下列二次根式中能与合并的是(    ) A. B. C. D. 9.对于二次根式的乘法运算，一般地，有该运算法则成立的条件是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 10.估计的值应该在(    ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 11.若，，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 12.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 13.如果，，那么下列各式：，，中，正确的有    ． A. B. C. D. 14.观察下列等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 按照上述规律，计算：(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 15.若，则______． 16.已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则           ． 17.计算：          ． 18.若，，则的值为          ． 19.已知，那么的值是__________． 三、解答题： 20.已知，，求下列各式的值： ． 21.已知长方形的长，宽． 求长方形的周长； 求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系． 22.某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． 长方形的周长是多少？结果化为最简二次根式 除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖假设地砖没有损耗，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 23.先化简，再求值：已知，求的值 24.阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】 按照上面的解法，试化简结果保留． 【类比迁移】 实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 已知，，为的三边长化简：． 25.阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现： 当，时，， ，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：，， 又，，即时取等号． 的最小值为． 请利用上述结论解决以下问题： 当时，当且仅当______时，有最小值______． 当时，求的最小值． 请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙墙足够长，另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为米．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义，被开方数为非负数，得，即可． 【解答】 解：在实数范围内有意义， ． 2.【答案】  【解析】解：． 故选：． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 3.【答案】  4.【答案】  【解析】解：，， ， ， 故选B． 根据二次根式的减法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案． 本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、完全平方公式是解题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次根式的意义和性质及代数式的求值．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式的性质和意义，被开方数大于等于，求得、的值，然后代入所求求值即可． 【解答】 解：，即， ，即， 由知，； ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次根式的性质与除法运算，根据同类二次根式的概念解答；根据二次根式的性质进行化简判断；根据二次根式的除法法则计算；根据二次根式的性质判断，最后作出选择即可． 【解答】 解：与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B.，故错误； C.，故正确； D.，故错误； 故选C． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念逐一判断． 【解答】 解：．，此选项不符合题意； B.是最简二次根式，符合题意； C.，此选项不符合题意； D.，此选项不符合题意； 故选：． 8.【答案】  【解析】解：、，不能与合并，错误； B、能与合并，正确； C、不能与合并，错误； D、不能与合并，错误； 故选：． 先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可． 本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 9.【答案】  10.【答案】  【解析】解：原式 ， ， ， ， 估计的值应该在和之间， 故选：． 先根据二次根式混合运算的法则进行计算，再运用估算无理数大小的方法进行求解即可． 本题考查的是估算无理数的大小和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 11.【答案】  12.【答案】  【解析】解：式子在实数范围内有意义，则， 解得：． 故选：． 直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于，进而得出答案． 此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 13.【答案】  【解析】【分析】此题考查二次根式的乘除和商的算术平方根，根据，，逐个判断求解． 【解答】解：，，，． 被开方数应大于或等于， ，不能为被开方数， 是错误的 ，正确 ，正确． 14.【答案】  【解析】【解答】 解：第个等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 按照上述规律， ． 故选：． 【分析】 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用已知运算规律得出，进而利用二次根式的加减运算法则得出答案． 15.【答案】  【解析】解：， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 根据二次根式中的被开方数是非负数可得、的值，再代入所求式子计算即可． 此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 16.【答案】  17.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 本题直接化简二次根式进而合并得出答案． 【解答】 解：原式 ． 故答案为：． 18.【答案】  19.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次根式的化简求值、二次根式的混合运算的应用，关键是能根据已知化成最简二次根式．根据已知得出、为正数或，、为负数，化成最简二次根式，代入求出即可． 【解答】 解：， 、同号， 当、为正数时， ， ， ， ， 当、为负数时， ， ， ， ． 故答案为． 20.【答案】解：，， ， ． ．  ．   21.【答案】解：，， 长方形的周长； 长方形的面积， 正方形的面积为， 正方形的边长为， 正方形的周长为； ，， ， 长方形的周长大于正方形的周长．   【解析】此题考查二次根式的实际运用，掌握二次根式的化简方法以及长方形、正方形的周长与面积计算方法是解决问题的关键．首先化简、． 代入周长计算公式解决问题； 求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 22.【答案】【小题】 解：长方形的周长 答：长方形的周长是． 【小题】 铺地砖的面积 故购买地砖的花费为元 答：购买地砖需要花费元．   【解析】  本题考查二次根式的应用； 根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可；   先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 23.【答案】解：， ， 则原式 ．  【解析】本题主要考查分式的化简求值以及二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质． 先将的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案． 24.【答案】解：隐含条件， 解得：， ， 则原式； 由数轴得隐含条件：，，， ，； ； 由三角形的三边关系可得隐含条件：，，，， ，，， ．  【解析】根据二次根式有意义的条件、二次根式的性质计算； 根据数轴确定、的符号，再根据二次根式的性质计算； 根据三角形的三边关系得到，，，，再根据二次根式的性质、合并同类项计算． 本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键． 25.【答案】解：，； ， ， ， 又， ，即，当时取等号， 的最小值为； 设所需的篱笆长为米，由题意得， 由题意可知：， 又， ，当时取等号， 需要用的篱笆最少是米．  【解析】解：当时，， ， 当，即时，的最小值为． 故答案为：，； 根据阅读中的公式计算即可； 先化简，再运用公式计算即可； 设所需的篱笆长为米，由题意得，再利用阅读材料中的公式计算即可． 本题考查了二次根式的应用，偶次方的非负性，掌握阅读材料中的解题方法是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$