2025年湖南中考数学一轮复习专题12：三角形

专题12：三角形 一、选择题： 1.下列命题的逆命题是假命题的是(    ) A. 等腰三角形两底角相等 B. 全等三角形面积相等 C. 角平分线上的点到角两边的距离相等 D. 如果，则或 2.我国建造的港珠澳大桥全长公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是(    ) A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的不稳定性 D. 四边形的稳定性 3.如图，直线，被直线所截，下列说法正确的是(    ) A. 当时，一定有 B. 当时，一定有 C. 当时，一定有 D. 当时，一定有 4.下面作三角形最长边上的高正确的是(    ) A. B. C. D. 5.下列说法正确的是(    ) A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若且，则为锐角三角形 6.已知等腰三角形两边的长分别为和，则此等腰三角形的周长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 7.如图，有、、三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在(    ) A. 三边高线的交点处 B. 三边中线的交点处 C. 三内角平分线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 8.如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带去最省事． A. B. C. D. 10.下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是(    ) A. B. C. D. 11.如图，已知线段，，作等腰，使，且，边上的高张红的作法是：作线段；作线段的垂直平分线，与相交于点；在直线上截取线段；连接，，则为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是(    ) A. B. C. D. 12.如图，，点、在边上，已知，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 13.如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 14.如图，在等腰中，为的平分线，，，，则(    ) A. B. C. D. 15.如图，已知三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与全等的图形是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是 二、填空题： 16.如图，的一边为平面镜，，一束光线与水平线平行从点射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点处，则的度数是______度． 17.如图，直线，点在上，若，，的面积为，则的面积为          ． 18.的周长是，边长分别为，，，且，，则           ． 19.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则          ． 20.如图，在和中，，，， 则______ 21.若的三边长分别为、、，且关于的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数的和为          ． 22.新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是          ． 23.若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了和两部分，则它的腰长为          ． 24.如图，等边中，，是上一点，且，点为边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则周长的最小值为______． 25.阅读后填空： 已知：如图，，，、相交于点． 求证：． 分析：要证，可先证； 要证，可先证≌； 而用______可证≌填或或． 三、解答题： 26.如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交延长线于点． 证明：是等腰三角形； 若，，，求的长． 27.如图，已知：平分，． 求证：是等腰三角形． 当等于多少度时是等边三角形？证明你的结论． 28.尺规作图只保留作图痕迹，不要求写出作法如图，已知和线段，求作，使，，． 29.动手操作： 如图，已知，点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． 问题解决： 若，求的度数； 若，垂足为点，求证：≌． 实验探究： 直接写出当的度数为多少时？分别为等边三角形和等腰直角三角形． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是真假命题的判断、逆命题的概念，掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的性质是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的性质，等式的性质判断即可． 【解答】 解：等腰三角形的两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题； B.全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的三角形全等，逆命题是假命题； C.角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，逆命题是真命题； D.如果，则或的逆命题为若或，则，逆命题是真命题． 2.【答案】  【解析】【分析】 根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性． 本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，正确把握其性质是解题的关键． 【解答】 解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性． 故选：． 3.【答案】  4.【答案】  【解析】解：三角形为钝角三角形， 最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：． 钝角三角形最长边上的高在三角形内部，根据三角形的高的定义，可知过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．依此判断即可． 本题考查了三角形的高的定义及画法．从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 5.【答案】  【解析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案． 【详解】解：、当，，时，满足，但不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； B、，，，，则为直角三角形，故原说法错误，不符合题意； C、若，则为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意； D、若，，满足且，则，故不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； 故选：． 6.【答案】  7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查线段的垂直平分线的判定：到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．  【解答】 解：根据线段的垂直平分线的判定：到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 则超市应建在三边垂直平分线的交点处． 故选D． 8.【答案】  【解析】根据三角形内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 解：在中， ，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故选：． 本题主要考查作图基本作图，线段垂直平分线的概念及其性质，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：由图形可知，有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带去． 故选：． 根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带去． 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 10.【答案】  11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了学生用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤的能力．在直线上截取线段，不具备准确性，应该是：在直线上截取线段． 【解答】 解：在直线上截取线段，带有随意性，与作图语言的准确性不相符． 故选C． 12.【答案】  【解析】解：， ， 又  ， ， ， ， 故选：． 本题主要考查平行线的性质和三角形的内角和，这两个知识点中考基本都是放在一起考的，平行线的性质与判定要熟记于心．先由平行线的性质得出，再由三角形的内角和为，将和的内角和加起来即可得的度数． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据旋转的性质判断，C错误，得到，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和分析可得，故D正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故B错误． 【解答】 解：将绕点顺时针旋转得到， ，，，故A错误，C错误； ， ，， ，故D正确； 不一定等于， 不一定等于，故B错误． 故选：． 14.【答案】  【解析】解：在等腰中，为的平分线，， ， ， ， ， ， ，， ， 故选：． 根据等腰三角形的性质和判定得出，进而解答即可． 此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出解答． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的判定有关知识，全等三角形的判定定理有，，，，，根据定理逐个判断即可． 【解答】 解：图甲符合定理，即图甲和全等； 图乙符合定理，即图乙和全等． 故选C． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角反射角是解题的关键． 根据平行线的性质可得的度数，由光线的反射定理可得的度数，再根据三角形外角性质即可求解． 【解答】 解：， ， 由光线的反射定理，得： ， ， 故答案为：． 17.【答案】  18.【答案】  【解析】解：的周长是，边长分别为，，， ， ，， ， ， 解得：． 故答案为：． 根据三角形周长得出，再利用已知将，分别用表示，进而得出答案． 此题主要考查了三角形的周长，将，用表示是解题关键． 19.【答案】  20.【答案】  【解析】证明：在和中 ， ≌， ， ， ， 故答案为：． 21.【答案】  【解析】根据三角形三边关系可得，再解一元一次方程求得，可得，从而可得，即可确定的取值范围，再根据为整数，可得的值，再进行求和即可． 【详解】解：的三边长分别为、、， ， ， 解得， 方程的解为非正数， ， 解得， 综上所述，， 又为整数， 的值为、、， ， 故答案为：． 22.【答案】    【解析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可． 【详解】解：延长与交于点，如图所示：    点关于直线的对称点是点， ，，， 是等高底三角形，是等底， ， 点是的重心， ， 设，则， ，   故答案为：． 23.【答案】或  【解析】解：设腰长为，底边长为， 则，或， 解得，，或， 经检验符合题意． 等腰三角形的腰长为或． 24.【答案】  【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，则， 为等边三角形， ，， ， 根据题意得：，， ， ， ≌， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的左侧，与的距离是， 作点关于该直线的对称点，连接交该直线于， 即当点，，三点共线时，的周长最小，连接交该直线于，则，， ， 的周长的最小值为， 故答案为：． 过点作于点，过点作于点，则，证明≌，可得，从而得到点的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的左侧，与的距离是，作点关于该直线的对称点，连接交该直线于，即当点，，三点共线时，的周长最小，连接交该直线于，则，，求出，即可求解． 本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 25.【答案】  【解析】解：定理， 理由是：， 在和中 ≌， ， ， 故答案为：． 根据定理推出≌，求出，再根据等角等边求出即可． 本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：，，，，直角三角形全等还有定理． 26.【答案】证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； 解：， ， ，，       ， ， 是等边三角形， ， ．  【解析】由，可知，再由，可知，，然后由余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； 根据含角的直角三角形和等边三角形的判定与性质即可得到结论． 本题主要考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出，即可推出结论． 27.【答案】证明：平分， ， ， ，， ， ． 故是等腰三角形． 解：当时是等边三角形． ，平分， ， ， ，， ， 是等边三角形．  【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定，等边三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟记这些性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，，然后求出，再根据等角对等边即可得证． 根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，，然后求出，即可证得是等边三角形． 28.【答案】解：如图所示，即为所求．   【解析】本题考查了作图复杂作图根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可得到． 29.【答案】解：， ， 又， ． 由作法知，是的平分线， ； 证明：由作法知，平分， ． ， ， ， ， ． 又， ≌． 当为时，为等边三角形． 当为时，为等腰直角三角形．  【解析】利用平行线的性质求出，再根据角平分线的定义即可解决问题； 根据即可判断； 根据等边三角形、等腰直角三角形的定义即可判定； 本题考查作图复杂作图、平行线的性质、角平分线的定义，等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$