第九章 因式分解（13大易错题型）（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

第九章 因式分解（13大易错题型） 【易错必刷一 判断是否是因式分解】 1．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行求解即可． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C、，等式右边不是整式，不是因式分解，故不符合题意； D、，属于因式分解，故符合题意； 故选D． 2．（2024七年级·全国·专题练习）下列由左边到右边的变形，是因式分解的有 （填序号） ①a（x＋y）＝ax＋ay； ②10x2－5x＝5x（2x－1）； ③y2－4y＋4＝（y－2）2； ④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t． 【答案】②③． 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①a（x+y）=ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意； ②10x2-5x=5x（2x-1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意； ③y2-4y+4=（y-2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意； ④t2-16+3t=（t-4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意； 即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 3．（23-24八年级下·北京·课后作业）下列由左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?请说出理由. （1）a（x+y）=ax+ay； （2）x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）； （3）ax2-9a＝a（x+3）（x-3）； （4）x2+2+= （5）2a3＝2a·a·a. 【答案】见解析 【详解】试题分析：根据因式分解的定义判断即可. 试题解析： 因为(1) (2)的右边都不是整式的积的形式.所以它们不是分解因式；(4)中，都不是整式，(5)中的2a3不是多项式，所以它们也不是分解因式．只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以(3)是分解因式. 【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】 4．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，先得出，结合多项式可因式分解为，列式，即可作答． 【详解】解：， ∵多项式可因式分解为， ∴， ∴， 故选：B 5．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的意义．由题意可得式，则，，根据m、p，q都为整数确定m的值即可． 【详解】解：由题意可得， 则，， ∵m、p，q都为整数， ∴，或，， 则或， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【分析】设另一个因式为（x＋p），则，可得p−5＝3，−5p＝−k，求出p和k的值即可． 【详解】解：设另一个因式为x＋p， 由题意得：， 即， 则有， 解得， 所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 【易错必刷三 公因式】 7．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求多项式的公因式，根据多项式的公因式是指各项都含有的相同的因式即可得解，熟练掌握多项式的公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式的公因式是， 故选：D． 8．（24-25八年级上·山东淄博·期中）多项式和的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查公因式，熟练掌握提公因式的方法是解题的关键． 分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【详解】， ， ∴多项式与多项式的公因式是． 故答案为：． 9．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）分解因式： 【答案】 【分析】运用平方差公式分解因式即可. 【详解】原式= = = = 【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，解题需要注意的是每个因式都要分解到不能再分解为止. 【易错必刷四 提公因式法分解因式】 10．（24-25七年级上·上海·期末）把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式．直接提取公因式即可分解． 【详解】解：， 故选：D． 11．（24-25八年级上·河南南阳·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，直接提取公因式即可得解，熟练掌握提公因式法分解因式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法和公式法进行因式分解． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式； （2）把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； B. ，能用平方差公式进行分解因式，本选项符合题意； C. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； D. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意． 故选：B． 14．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 15．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 【易错必刷六 平方差公式分解因式】 16．（24-25八年级上·山东烟台·期末）下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式结构是解题的关键．根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各项分析判断后即可得到答案． 【详解】解：A、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，可写成，9可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，可写成，可写成，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 17．（2025·海南三亚·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）直接运用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再平方差公式分解因式即可； （3）运用公十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 【易错必刷七 完全平方公式分解因式】 19．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．利用完全平方公式逐项分析即可． 【详解】解：A．，故能用完全平方公式分解因式； B．不能用完全平方公式分解因式； C．，故能用完全平方公式分解因式； D．，故能用完全平方公式分解因式； 故选B． 20．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题考查了完全平方公式法分解因式，选择适当方法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学对多项式进行因式分解的过程如下： 设，原式． (1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请仿照以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不正确，最后结果应为 (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是要注意完全平方公式的应用和换元法的应用． （1）根据完全平方公式可知可继续分解，从而可得答案； （2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可． 【详解】（1）解：不正确，正确解答如下： 设， 原式 ； （2）解：设， 则 ． 【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】 22．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 23．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）在实数范围内因式分解 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键． （1）运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）运用平方差，完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【易错必刷九 十字相乘法】 25．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．原式利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故选：C． 26．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察与尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 【详解】解：． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·全国·周测）根据整式乘法法则分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握整式乘法法则分解因式的方法． （1）逆用乘法法则的方法解答即可； （2）先提取公因式，再逆用乘法法则的方法解答即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 【易错必刷十 分组分解法】 28．（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项式． 通过对多项式进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式． 【详解】 由此可知是的因式，而都不是它的因式． 故选：C． 29．（24-25八年级上·重庆合川·期末）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键．利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 30．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．用分组分解法分解即可． 【详解】解： ． 【易错必刷十一 因式分解的应用】 31．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知为正整数，某学习小组在用代入法求代数式的值时，出现四个答案，请问以下哪个答案可能正确的是（   ） A．1713 B．1714 C．1715 D．1716 【答案】D 【分析】本题综合考查因式分解的应用，三个连续自然数的积为偶数等相关知识点，重点掌握因式分解的应用．代数式因式分解可得，则代数式表示三个连续正整数的积．据此分析即可． 【详解】解：由题意可知： ， ∴为三个连续的正整数的积， ∴可写成三个连续自然数的积，其中一个因数必为偶数， ∴是一个偶数． ∵这三个选项都是奇数，且，， ∴1716是符合题意． 故选：D． 32．（24-25七年级下·全国·周测）若三角形的三边长满足，则 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先将变形为，再根据三角形边长不能为0，得出，即可得出答案． 【详解】解∶ ， ∵为三角形的三边，边长不能为0， ∴， ∴， 即， 故答案为：16． 33．（2025七年级下·全国·专题练习）一个长方形的长与宽分别为．若该长方形的周长为14，面积为5，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，涉及完全平方和公式，利用长方形面积公式得到，由长方形周长公式得到，将原式因式分解得出，将与代入求值即可得到答案．熟记公式结构，正确将原式分解因式是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的长与宽分别为．若该长方形的周长为14，面积为5， ∴，， ∴ 将，代入可知，原式． 【易错必刷十二 综合提公因式和公式法分解因式】 34．（2025·江苏镇江·模拟预测）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据提公因式法、公式法分解因式进行判断即可． 本题考查了因式分解-提公因式法、运用公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：A、，原结果错误，故此选项不符合题意； B、在有理数范围内不能因式分解，故此选项不符合题意； C、，原结果错误，故此选项不符合题意； D、，结果正确，故此选项符合题意： 故选：D． 35．（24-25九年级下·北京·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 36．（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）提公因式后利用平方差公式进行因式分解即可； （2）提公因式后用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【易错必刷十三 因式分解在有理数简算中的应用】 37．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）计算 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握提公因式法．首先提取公因式，得到，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 38．（2025七年级下·全国·专题练习）简便计算： ． 【答案】25 【分析】本题考查了因式分解在有理数简算中的运用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据题意，将改写成，运用完全平方和公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：25 ． 39．（2024八年级上·全国·专题练习）简便计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法． （1）直接提取公因式，进而求出答案； （2）将前两项提取公因式2013，进而分解因式得出答案． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 因式分解（13大易错题型） 【易错必刷一 判断是否是因式分解】 1．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·专题练习）下列由左边到右边的变形，是因式分解的有 （填序号） ①a（x＋y）＝ax＋ay； ②10x2－5x＝5x（2x－1）； ③y2－4y＋4＝（y－2）2； ④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t． 3．（23-24八年级下·北京·课后作业）下列由左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?请说出理由. （1）a（x+y）=ax+ay； （2）x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）； （3）ax2-9a＝a（x+3）（x-3）； （4）x2+2+= （5）2a3＝2a·a·a. 【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】 4．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 5．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 6．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【易错必刷三 公因式】 7．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山东淄博·期中）多项式和的公因式是 ． 9．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）分解因式： 【易错必刷四 提公因式法分解因式】 10．（24-25七年级上·上海·期末）把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河南南阳·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 12．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）分解因式： (1) (2) 【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 15．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【易错必刷六 平方差公式分解因式】 16．（24-25八年级上·山东烟台·期末）下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·海南三亚·模拟预测）分解因式： ． 18．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【易错必刷七 完全平方公式分解因式】 19．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： ． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学对多项式进行因式分解的过程如下： 设，原式． (1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请仿照以上方法对多项式进行因式分解． 【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】 22．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）在实数范围内因式分解 ． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【易错必刷九 十字相乘法】 25．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）因式分解： ． 27．（24-25七年级下·全国·周测）根据整式乘法法则分解因式： (1)； (2)． 【易错必刷十 分组分解法】 28．（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·重庆合川·期末）分解因式： 30．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【易错必刷十一 因式分解的应用】 31．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知为正整数，某学习小组在用代入法求代数式的值时，出现四个答案，请问以下哪个答案可能正确的是（   ） A．1713 B．1714 C．1715 D．1716 32．（24-25七年级下·全国·周测）若三角形的三边长满足，则 ． 33．（2025七年级下·全国·专题练习）一个长方形的长与宽分别为．若该长方形的周长为14，面积为5，求的值． 【易错必刷十二 综合提公因式和公式法分解因式】 34．（2025·江苏镇江·模拟预测）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级下·北京·阶段练习）分解因式： ． 36．（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）分解因式： (1) (2) 【易错必刷十三 因式分解在有理数简算中的应用】 37．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）计算 等于（    ） A． B． C． D． 38．（2025七年级下·全国·专题练习）简便计算： ． 39．（2024八年级上·全国·专题练习）简便计算： (1) (2)． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$