第十章 三角形（18大易错题型）（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

第十章 三角形（18大易错题型） 【易错必刷一 三角形的识别与有关概念】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解． 【详解】解：如图，   中，，E为的中点，为边的高， 则是最长的边， 是最长的中线，是最长的高， 由图可知， 因此． 故选A． 【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是上一点，连接与交于点，且满足，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差关系，由题意可得，即得，得到，最后根据线段的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【答案】(1)以为边的三角形有个，，，， (2)以点为顶点的三角形还有、 【分析】本题考查的是认识三角形， （1）以为边的三角形有个； （2）以为顶点的三角形有个，除外，还有个． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个，，，，． （2）解：除外，以点为顶点的三角形还有、． 【易错必刷二 三角形的个数问题】 4．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要查了三角形的个数．根据三角形定义解答即可． 【详解】解：图中的三角形有：，共16个， 故选：D 5．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，以为边的三角形有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形的认识．根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：以为边的三角形的有，，一共有2个． 故答案为：2． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．    【答案】图中共有7个三角形；以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF． 【分析】分别找出图中的三角形以及相关的角即可． 【详解】图中共有7个三角形，分别是： △AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE， 以E为顶点的角是：∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF． 【点睛】本题主要考查了三角形，关键是要细心、仔细的数出三角形的个数． 【易错必刷三 三角形的分类】 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键． 根据有一个是直角的三角形是直角三角形，找出图中的直角三角形即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以是直角三角形． 因为是边上的高， 所以， 所以都是直角三角形， 所以图中的直角三角形共有4个． 故选：C． 8．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知在锐角三角形中，，则取值范围是 ． 【答案】 【分析】由锐角三角形知，，，由，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由锐角三角形知，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角形．解题的关键在于熟练掌握锐角三角形中三个内角均小于． 9．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)16 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和． （1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据ACAC为奇数，确定的值，进而可得周长； （2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形． 【详解】（1）解：在中，根据三角形三边关系得： 即． 是奇数 ． 的周长为16． （2）解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， 为等腰三角形． 【易错必刷四 三角形的稳定性及应用】 10．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）小强利用所学知识，制作了如图所示的三角支架用来固定相框的位置，这样做的数学原理是（   ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：三角支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 11．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，自行车生产厂家把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的 ．（填“稳定性”或“不稳定性”） 【答案】稳定性 【分析】此题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故答案为：稳定性． 12．（22-23八年级上·全国·课后作业）凸六边形钢架ABCDEF由6条钢管连接而成，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接，使之不能活动，方法很多，请列举三个． 【答案】见解析 【分析】根据三角形具有稳定性，作六边形的三条对角线，把六边形分成三角形即可． 【详解】如图所示，连接对角线将其分成四个三角形即可满足要求． ． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，比较简单，利用对角线把六边形分成三角形是解题的关键． 【易错必刷五 四边形的不稳定性】 13．（24-25八年级上·全国·期末）下列物体中，没有利用三角形的稳定性的是（　　） A．伸缩门 B．衣架 C．折叠伞的骨架 D．塔吊 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：A、伸缩门，利用了四边形的不稳定性，没有利用三角形的稳定性，此选项符合题意； B、衣架，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意； C、折叠伞的骨架，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意； D、塔吊，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 14．（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 15．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【易错必刷六 确定第三边的取值范围】 16．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，为了估计池塘两岸，的距离，琪琪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（   ） A．3米 B．14米 C．5米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记基本性质并灵活判断是解题关键．根据三角形的三边关系即可判断结果． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即：， ∴四个选项中只有A选项符合题意． 故选：A． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知某三角形的三边长分别为4，x，11，其中x为正整数，则满足条件的x值有 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是由三角形三边关系得到． 三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到，即可解决问题． 【详解】解：∵三角形三边长分别为4，x，11， ∴， ∴， ∵x为正整数， ∴x的值是8、9、10、11、12、13、14， ∴满足条件的x值的个数是7个． 故答案为：7． 18．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得，再由是最短边长，可得； （2）根据（1）所求可得，则的最大值为14，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，即， 是最短边长， ， 的取值范围是； （2）解：由（1）可知，， 为整数， 的最大值为14， 三角形周长的最大值为． 【易错必刷七 三角形三边关系的应用】 19．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）用两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（   ） A．的木条 B．的木条 C．两根都可以 D．两根都不行 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．利用三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：如将的线段两段，所截成的两段线段之和大于，所以能够构成三角形， 而的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于，所以不可以构成三角形． 故选：B． 20．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别，，那么甲、乙两人的距离d的范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，把实际问题转化为三角形三边关系分析是解决问题的关键．需要注意可以取等号．根据三角形三边关系即可得出甲、乙两人的距离的范围． 【详解】运动员甲、乙两人与足球的距离分别是，， 甲、乙两人的距离的范围是：， 即． 故答案为：． 21．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，，． (1)求的取值范围； (2)若的长度是奇数，求的周长． 【答案】(1)； (2)12 【分析】本题考查三角形三边的关系的应用． （1）利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边结合即可求解； （2）根据结合的长度是奇数，求得，据此即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， 即， 又∵， ∴； （2）解：∵，是奇数， ∴， ∴的周长为：． 【易错必刷八 三角形内角和定理的证明】 22．（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 23．（21-22七年级下·江苏泰州·期中）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ． 【答案】三角形内角和等于180° 【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答． 【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向， ∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数， ∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C， ∵笔尖方向变为点B到点A的方向， ∴旋转角度之和为180°， ∴这种变化说明三角形内角和等于180°． 故答案为：三角形内角和等于180°． 【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键． 24．（24-25九年级上·重庆·期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理的证明，熟练掌握利用平行线的性质证明三角形的内角和定理是解答的关键． 方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； 方法二：过点C作，利用平行线的性质得到，即可求解． 【详解】证明：方法一：过点A作． ∵， ∴，． ∵， ∴， 即； 方法二：过点C作． ∵， ∴，， ∴，即． 【易错必刷九 与平行线有关的三角形内角和问题】 25．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ， 故选： B． 26．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形的内角和问题，先根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 27．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（2）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（2）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 【易错必刷十 与角平分线有关的三角形内角和问题】 28．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，的平分线，相交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，关键是由三角形内角和定理求出的度数． 由角平分线定义得到，即可求出，由三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵平分平分， ， ∴， ∵， ∴， ， 故选：B． 29．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，平分，，，则的度数为 ． 【答案】50 【分析】首先根据角平分线的定义可求得的度数，再根据三角形内角和定理及外角的性质，即可求得．本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理是解决本题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴． ∵， ∴， 故答案为：50 30．（24-25八年级上·天津西青·期中）如图1，在中，是的角平分线； (1)填写下面的表格． 的度数 的度数 (2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题： （1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，得到，逐一进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴时，； 时，； 时，； 填表如下： 的度数 的度数 （2），证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【易错必刷十一 三角形折叠中的角度问题】 31．（24-25八年级上·福建三明·期末）在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；分类讨论：①当时， ②当时；能根据与的不同的边平行进行分类讨论是解题的关键. 【详解】如图1中，①当    由折叠得， ②当时，如图2 ， 由折叠得， ∴的度数为或； 故选：B． 32．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时， ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质．分当在上方，时，当在下方，时，两种情况，先利用平行线的性质得到，再由折叠的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，当在上方，时，    ∴， 由翻折可知：； 如图，当在下方，时，    ∴， ∴ 由翻折可知：． 故答案为：或． 33．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿着翻折，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和定理，根据折叠的性质，平角的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴； 【易错必刷十二 三角形内角和定理的应用】 34．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）在中，，是边上的高线，，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是要分两种情况讨论． 分两种情况，当在内部时，由三角形高线定义求出，即可得到；当在外部时，求出，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，当在内部时， ∵是边上的高线，， ∴， ∴； 如图，当在外部时， ∵是边上的高线，， ∴， ∵， ∴； ∴的度数为或． 故选：D ． 35．（24-25八年级上·河南信阳·期末）中，若，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和为这一性质建立等式求解． 根据三角形内角和定理得到，再结合已知条件，代入求解． 【详解】在中，， 又已知， 将代入到中， 可得， 即， 解得， 故答案为：． 36．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据角的和差关系得到，三角形的内角和定理，得到即可． 【详解】证明：∵，， ∴， 在中， ， ∴． 【易错必刷十三 三角形的外角的定义及性质】 37．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，，，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查了三角形外角的性质，根据，得出答案即可．熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 【详解】解：∵，，为的外角， ∴． 故选：C． 38．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图所示，直线，，，则的度数为 °．    【答案】40 【分析】考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】如图，∵直线， ∴， 由三角形的外角性质得，． 故答案为．    39．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，在边上，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，根据三角形内角和定理，可求出的度数，利用三角形的外角性质即可求得度数． 【详解】解：， ， ， ． 【易错必刷十四 画三角形的高】 40．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，在中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念及三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解题的关键，根据三角形边上高的定义即可判定，从而得到答案． 【详解】解：根据高的定义：边上的高，垂足应在边上，或线段的延长线或反向延长线上，且经过顶点， 符合条件的是， 故选：D． 41．（24-25八年级上·北京·期中）下面四个图形中，线段是的高的图是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：图形①中，与不垂直，线段不是的高； 图形②中，与不垂直，线段不是的高； 图形③中，与垂直，线段是的高； 图形④中，与不垂直，线段不是的高； 故答案为：③． 42．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示． (1)边上的高； (2)边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了与三角形有关的线段，熟练掌握三角形高的定义是解题关键． （1）过点B作，交延长线于点E，线段即为的边上的高； （1）过点A作于点D，线段即为的边上的高； 【详解】（1）解：如图，即为边上的高． ； （2）解：如图，即为边上的高． 【易错必刷十五 与三角形的高有关的计算问题】 43．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，当时，的值最小，利用面积法求解即可，解题的关键是学会利用面积法求高． 【详解】解：在中，，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ， 故选：B． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，都是的高，且，则的长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查等积法求三角形的高，根据都是的高，利用等积法进行求解即可． 【详解】解：∵都是的高， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：12． 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，P是上任意一点，且于点D，于点E．若面积为32，则的值是否为定值？请说明理由． 【答案】的值为定值．理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形高的定义．可连接，由图得，，代入数值，解答出即可． 【详解】解：连接， 由图可得，， 于，于，，的面积为32， ， ； 所以的值为8． 故的值为定值． 【易错必刷十六 根据三角形中线求长度】 46．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3．若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的顶点和对边中点的连线是三角形的中线． 根据三角形中线的定义得出，再根据“的周长比的周长大3”，推出，即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多3， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中边上的中线把的周长分成30和20两部分，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查与三角形的中线有关的计算，根据中线的定义得到，根据，得到，根据把的周长分成30和20两部分，进行求解即可． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∵， ∴， ∵中线把的周长分成30和20两部分，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：14． 48．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的中线，已知的周长为，比长，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了根据三角形中线求长度，先得出，结合的周长为，比长，得出，即可作答． 【详解】解：是的中线， ． ∵的周长为，比长， ∴，， ． 【易错必刷十七 根据三角形中线求面积】 49．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系． 根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 50．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．由点E为的中点，可得与的面积之比，同理可得，和的面积之比，即可解答． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 51．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且，求的面积． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的中线与面积关系，根据等底等高来求各个小三角形的面积是大三角形的面积的一半．利用等底同高的三角形的面积相等，可先得到，即，同理可知，，从而得到，那么就可求出的面积． 【详解】解：是的中点，， ． 又，分别为，的中点， ， ． 【易错必刷十八 重心的概念】 52．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．无法确定 D．三条中线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点， 故选：D． 53．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据重心是三角形中线的交点，得到，解得即可． 本题考查了重心的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据重心是三角形中线的交点，得到， 故答案为：． 54．（23-24七年级下·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【答案】图见解析， 【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键． 根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明． 【详解】解：如下图O是的重心． 理由如下： ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴． 【易错必刷十九 三角形角平分线的定义】 55．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义，根据已知可得，即可得出角平分线为，即可求解． 【详解】解：因为 所以，即 所以的一条角平分线为 故选：B． 56．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平分，平分，，交于点，连接．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线，熟练掌握三角形的三条角平分线交于一点是解题的关键．利用三角形的三条角平分线交于一点得出平分，再利用三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 57．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，平分交于点D． (1)在图①中，将三角形沿方向平移，使点D平移至点C处，得到三角形，且交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图②中，将三角形沿方向平移，使经过点D，得到三角形．求证：平分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后对应点的连线平行且相等． （1）根据平移的性质得到，从而得到，然后根据平分得到，从而得到∶ （2）根据平移的性质得到进一步得到，然后根据平分得到，从而得到． 【详解】（1）解： ．理由如下： ∵三角形是由三角形平移得到的， ． ． 平分， ． ． （2）证明：∵三角形是由三角形平移得到的， ． 平分， ． ． 平分． 【易错必刷二十 利用网格求三角形面积】 58．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 59．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 【详解】解：根据网格特点可知，交的延长线于点D， ∵ ∴的面积， 故答案为：3 60．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点A分别画，，与相交于点E； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了作图---应用与设计作图，涉及作平行线，作高，求网格三角形的面积； （1）借助网格根据平行线的定义和垂线的定义即可作图； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：的面积：． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 三角形（18大易错题型） 【易错必刷一 三角形的识别与有关概念】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是上一点，连接与交于点，且满足，若，则 ． 3．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【易错必刷二 三角形的个数问题】 4．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 5．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，以为边的三角形有 个． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．    【易错必刷三 三角形的分类】 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知在锐角三角形中，，则取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 【易错必刷四 三角形的稳定性及应用】 10．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）小强利用所学知识，制作了如图所示的三角支架用来固定相框的位置，这样做的数学原理是（   ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 11．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，自行车生产厂家把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的 ．（填“稳定性”或“不稳定性”） 12．（22-23八年级上·全国·课后作业）凸六边形钢架ABCDEF由6条钢管连接而成，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接，使之不能活动，方法很多，请列举三个． 【易错必刷五 四边形的不稳定性】 13．（24-25八年级上·全国·期末）下列物体中，没有利用三角形的稳定性的是（　　） A．伸缩门 B．衣架 C．折叠伞的骨架 D．塔吊 14．（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 15．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【易错必刷六 确定第三边的取值范围】 16．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，为了估计池塘两岸，的距离，琪琪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（   ） A．3米 B．14米 C．5米 D．9米 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知某三角形的三边长分别为4，x，11，其中x为正整数，则满足条件的x值有 个． 18．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 【易错必刷七 三角形三边关系的应用】 19．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）用两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（   ） A．的木条 B．的木条 C．两根都可以 D．两根都不行 20．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别，，那么甲、乙两人的距离d的范围是 ． 21．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，，． (1)求的取值范围； (2)若的长度是奇数，求的周长． 【易错必刷八 三角形内角和定理的证明】 22．（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 23．（21-22七年级下·江苏泰州·期中）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ． 24．（24-25九年级上·重庆·期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 【易错必刷九 与平行线有关的三角形内角和问题】 25．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 27．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 【易错必刷十 与角平分线有关的三角形内角和问题】 28．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，的平分线，相交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，平分，，，则的度数为 ． 30．（24-25八年级上·天津西青·期中）如图1，在中，是的角平分线； (1)填写下面的表格． 的度数 的度数 (2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； 【易错必刷十一 三角形折叠中的角度问题】 31．（24-25八年级上·福建三明·期末）在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 32．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时， ．    33．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿着翻折，若，求的度数． 【易错必刷十二 三角形内角和定理的应用】 34．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）在中，，是边上的高线，，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 35．（24-25八年级上·河南信阳·期末）中，若，则 ． 36．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，求证： 【易错必刷十三 三角形的外角的定义及性质】 37．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，，，则度数为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图所示，直线，，，则的度数为 °．    39．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，在边上，，求的度数． 【易错必刷十四 画三角形的高】 40．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，在中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·北京·期中）下面四个图形中，线段是的高的图是 ．（填序号） 42．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示． (1)边上的高； (2)边上的高． 【易错必刷十五 与三角形的高有关的计算问题】 43．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，都是的高，且，则的长是 ． 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，P是上任意一点，且于点D，于点E．若面积为32，则的值是否为定值？请说明理由． 【易错必刷十六 根据三角形中线求长度】 46．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3．若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．7 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中边上的中线把的周长分成30和20两部分，则的长为 ． 48．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的中线，已知的周长为，比长，求的周长． 【易错必刷十七 根据三角形中线求面积】 49．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 50．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是 ． 51．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且，求的面积． 【易错必刷十八 重心的概念】 52．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．无法确定 D．三条中线的交点 53．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”） 54．（23-24七年级下·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【易错必刷十九 三角形角平分线的定义】 55．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 56．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平分，平分，，交于点，连接．若，，则 ． 57．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，平分交于点D． (1)在图①中，将三角形沿方向平移，使点D平移至点C处，得到三角形，且交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图②中，将三角形沿方向平移，使经过点D，得到三角形．求证：平分． 【易错必刷二十 利用网格求三角形面积】 58．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 59．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ． 60．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点A分别画，，与相交于点E； (2)求的面积． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$