第二十二章 四边形（14大压轴题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（冀教版）

第二十二章 四边形（14大压轴题型） 【经典例题一 平行四边形性质的其他应用】 1．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题. 【详解】 连接AF、EC． ∵BC＝4CF，S△ABC＝12， ∴S△ACF＝×12＝4， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴DE∥CF，EF∥AC， ∴S△DEB＝S△DEC， ∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC， ∵EF∥AC， ∴S△AEC＝S△ACF＝4， ∴S阴＝4． 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为 ． 【答案】200m 【分析】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题． 【详解】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M 由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形 ∵∠A＝∠B＝60° ∴ ∴△ABC是等边三角形 ∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH ∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m 故答案为：200m． 【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解． 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，，四边形为平行四边形，点D在x轴上，且，动点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，同时，动点Q从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向运动．    (1)求点C的坐标； (2)当运动时间t为何值时，以P，B，C，D为顶点的四边形面积为20； (3)在线段上是否存在点R，使与全等？若存在，求出点R的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或7 (3)存在，R的坐标为，， 【分析】 （1）根据平行四边形的性质即可解答； （2）求出点D坐标，分类讨论：分P在线段或P在线段OD的延长线上两种情况，根据梯形的面积公式，列方程即可解答； （3）分两种情况：当在线段上时；当在线段延长线上时，按照全等三角形的判定条件进行讨论，列方程即可解答． 【详解】（1）解：平行四边形， ， ，， ； （2）解：， ， 当在线段上时，如图所示，    ， 四边形是梯形， 四边形的面积为 ， ， ； 当在线段的延长线上时，如图所示，    同理可得， ， ， 综上，当运动时间或者7时，以P，B，C，D为顶点的四边形面积为20； （3）在线段上存在点R，使与全等． 解：当在线段上时，如图所示，    设，则，， 若全等，可分为两种情况 ①当时， 列方程可得 ， 解得， 此时， ， ，， ②当时， 列方程， 解得， 此时， , ； 当在线段延长线上时，如图所示，    设，则，， 若全等， ∵， ， 则：，解得， 此时 ， 综上，R的坐标为，，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，梯形的面积公式，全等三角形的性质，能进行分类讨论，是解题的关键． 【经典例题二 利用平行四边形的判定与性质求解】 4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知直线，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足且的长度和最短，则此时（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，平行四边形的判定和性质、两点间距离最短等知识点，解答本题的关键是找到点M、点N的位置． 表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点，使得，连接，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接，过点B作，交射线于点E，则为所求，最后利用勾股定理可求得其值． 【详解】解：如图，过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点，使得，连接，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接，过点B作，交射线于点E， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由于要最小，且固定为4， ∴最小， 由两点之间线段最短，可知的最小值为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为8． 故答案为：B． 5．（2024·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴正半轴上，是边长为的等边三角形，点，分别在边和上，是边长为的等边三角形．现将绕点顺时针旋转，得到，旋转角为，点，的对应点分别是点和，连接，，若点，分别是，的中点，连接，，，得，设的面积是，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，先证明，进而证明，进而得出是等边三角形，延长至，使，连接，过作于点，可推出，四边形是平行四边形，从而，由三角形三边关系，进一步得出结果，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形及熟练掌握知识点的应用． 【详解】和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 延长至，使，连接，过作于点， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求证； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）在上截取，连接，先证可得，再证可得，然后再线段的和差和等量代换即可解答； （3）先求得,,再连接,则，当，即有最小值，再根据勾股定理求得，最后根据平行四边形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：， ， 在和， ， ， ， （2）解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∵ ． （3）解：如图：∵， ∴，, 连接， 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点E顺时针旋转得到线段， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，点的轨迹为过点H且平行的直线， 过H作，其延长线角于M，过C作于Q， 由点到直线的距离，垂线段最短，可知：当时，即有最小值 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了平行四边性的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【经典例题三 利用平行四边形性质和判定证明】 7．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可能是（　　） A．8和12 B．9和13 C．12和12 D．11和14 【答案】D 【分析】作辅助线CE∥BD，根据平行四边形的性质和三角形的三边关系，对题中的选项逐个进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E， ∵AB=CD，DC∥AB ∴四边形BECD是平行四边形， ∴CE=BD，BE=CD=AB， ∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE， ∴四个选项中只有D中11+14=25＞24． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的思路在于通过作一条对角线的平行线，将两条对角线转化到一个三角形，而利用三角形的三边关系解题是得到答案的关键． 8．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形，推出，，当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小，过点C作于点H，求出，得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小， 过点C作于点H， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 9．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和角平分线的性质可推出，，从而得到．再根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出和的长，从而可求出答案； （2）延长到，使得，连接．根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质可推出，，从而得到，，再利用四边形是平行四边形可推出，从而得到四边形是平行四边形，得到，最后根据即可证明． 【详解】（1）解：是等边三角形 ， 又，分别是，的平分线 ，，， 在中，， ， ∴ ∴ 的面积为． （2）证明：如图，延长到点，使，连接 是等腰直角三角形，且，，分别是，的平分线 ， ， ， 四边形是平行四边形 ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并正确的作出辅助线是解题关键． 【经典例题四 平行四边形性质和判定的应用】 10．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（    　） A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤ 【答案】D 【分析】当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围． 【详解】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG． ∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB， ∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1； ∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3， ∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=， 在△MNG中，由三角形三边关系可知MG-NG＜MN＜MG+NG，即-1＜MN＜+1， ∴＜MN＜， 当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形， 故线段MN长的取值范围是＜MN≤． 故选D． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形的中位线定理和三角形的三边关系求解. 11．（2022八年级上·上海·专题练习）已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为 ． 【答案】3 【分析】分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹的中位线，运用中位线的性质求出的长度即可． 【详解】 解：如图，分别延长、交于点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 与互相平分． 为的中点， 为的中点， 即在的运动过程中，始终为的中点， 的运行轨迹为的中位线， ， 点移动的路径长度为3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若点E在线段上且，时，求的长； (2)如图2，若D在线段上，在射线上存在点F满足，连接，请证明：； (3)如图3，若，过M作直线交边于点N，再作点N关于的对称点，点P是直线MN上一动点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，点H为的中点，连接，当取得最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得到，在中，，证明，则，即可求出答案； （2）延长到点N，使得连接，证明，则由，即可证明结论； （3）证明点G在以点A为圆心，为半径的圆上，则当最大时，也最大，此时三点共线，设，则，得到，，，过点H作于点T，连接，则垂直平分，过点G作于点K，此时经过的中点，得到，，则，证明，则，，，在中，，即可求出答案． 【详解】（1）解：线段绕点D顺时针旋转得到线段． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，延长到点N，使得连接， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 由旋转可知， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴； （3）根据翻折可知，， ∴点G在以点A为圆心，为半径的圆上，如图， ∵点H是的中点，点是的中点， ∴, ∴当最大时，也最大，此时三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点H作于点T，连接，则垂直平分，过点G作于点K， 此时经过的中点， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性较强，题目难度较大． 【经典例题五 三角形中位线的实际应用】 13．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线、上滑动，下列结论：①若、两点关于对称，则；②、两点距离的最大值为；③若平分，则；④ 四边形的面积为．其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，∴，，∴若、两点关于对称，如图，∴为的垂直平分线，∴，∴①正确； ②如图，取的中点为，连接、． ∵，∴． 当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，∴②正确； ③如图，当，，∴四边形是矩形，∴与相互平分，但与的夹角为、，不垂直，∴③不正确； ④如图，此时四边形的面积，，∴④不正确． 综上所述：正确的有①②，个结论．故选． 点睛：本题是三角形的综合题，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解答本题的关键，难度适中． 14．（23-24八年级下·上海·期末）在直角梯形中，AD∥BC，，，，那么 ． 【答案】或/或 【分析】该题根据题意分为两种情况，首先正确画出图形，根据已知易得的直角边和斜边的长，然后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：∠C存在两种情况： ①当为锐角时，如图，过作，垂足为，取的中点，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当为钝角时，如图，过作，垂足为，取的中点，连接， 同理①可得， 又∵， ． ∴ 综上，或， 故答案为或． 【点睛】该题重点考查了直角三角形的性质和等边三角形判定和性质，解决该题的关键一是：能根据题意画出两种情况，二是：把该题转化为直角三角形问题，从而即可求解. 15．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知长方形中，，点、分别是线段和射线上的动点，且． (1)如图，若，，求线段的长度； (2)如图，若，，求线段的长度； (3)如图，若点在的延长线上，点是中点，且与互补，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键； （1）根据题意，证明，进而判定，利用勾股定理即可求解； （2）过点作垂足为点、交于点，过点作于点，延长交于点，根据矩形的性质可得，进而证明四边形是矩形，根据等面积法，进而求解； （3）延长与的延长线交于点，过点于点，进而证明，令、则，根据，即可求解； 【详解】（1）解：如图，设，，，， ，， ， ， ， 在矩形中，，，， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作垂足为点、交于点，过点作于点，延长交于点，设，，，， 则，， 在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 解得：； （3）解：如图，延长与的延长线交于点，过点于点， 在矩形中，，，，， 为的中点， ， ，， 在示中， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 令、则， ， ， ， ， ， ， ， ． 【经典例题六 根据矩形的性质与判定求角度】 16．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据三角形中位线得到、成为解题的关键． 先根据三角形中位线得到、，再判定平行四边形是矩形，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点E，F分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：，， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积为：，即四边形的面积为30． 故选：A． 17．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是 平方厘米．    【答案】48 【分析】如下图，设矩形ABCD的长为m，宽为n，过点F作BC、DC的垂线，利用m、n表示出△BFD的面积，从而得出mn的大小，进而得出矩形ABCD的面积． 【详解】如下图，过点F作BC、CD的垂线，分别交于点Q、G，设矩形ABCD的长为m，宽为n    ∵点E是AD的中点，点F是EC的中点，AD=m，AB=n ∴FQ=，FG== ∴ ∴mn=48 故答案为：48 【点睛】本题考查三角形面积问题，解题关键是利用表示出△BFD的面积，从而推导出mn的大小． 18．（23-24八年级下·广东珠海·期中）在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)①结论：四边形是矩形，理由见解析；②四边形的面积不变，四边形的面积，理由见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，进行判断即可； （2）①取的中点，连接，先证明是等边三角形，推出，同理推出，进而得到，结合，即可得出结论； ②过点D作于点J，于点K，易得四边形是矩形，求出四边形的面积，证明，推出四边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】（1）解： ，． 理由：四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知， ， ， ， ， ； （2）①结论：四边形是矩形． 理由：取的中点，连接． ， ， 是等边三角形， ， ， 同法可得， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； ②四边形的面积不变． 理由：如图过点D作于点J，于点K， ， ∴四边形是矩形， ， ， 矩形的面积， 由平移变换的性质可知， ， 的面积的面积， ∴四边形的面积矩形的面积． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠问题，平移的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 【经典例题七 根据矩形的性质与判定求面积】 19．（2022·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（    ）度． A．25 B．30 C．45 D．35 【答案】A 【分析】先证四边形EGFH是平行四边形，再证四边形EGFH是菱形即可，由，，可求，利用平角定义可求，于是，利用菱形性质求，从而求出． 【详解】解：E、G分别是AD、BD 的中点，F H分别是BC、AC的中点， ， ， 同理：， 四边形EGFH是平行四边形， AB=CD， GE=GF， 四边形EGFH是菱形 ∠ABD= 20°，∠BDC= 70°，， ，， ， ， ， FE平分 ，    故选:： A． 【点睛】本题考查菱形判断与性质，求菱形内角，掌握菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键． 20．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于P，E为BC上一点，AE交BD于F，若AB=AE，，则下列结论：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF．正确的是 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】根据菱形的性质可知AC⊥BD，所以在Rt△AFP中，AF一定大于AP，从而判断①；设∠BAE=x，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE，根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出∠BFE和∠BE的度数，从而判断②③． 【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∴在Rt△AFP中，AF一定大于AP，故①错误； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°， 设∠BAE=x°， 则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°， ∵AB=AE，∠BAE=x°， ∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°， 由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180， 解得：x=36， 即∠BAE=36°， ∠BAE=180°-36°-2×36°=70°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAD=∠CBD=∠ABE=36°， ∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°， ∴∠BEF=180°-36°-72°=72°， ∴BE=BF=AF．故③正确 ∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72° ∴∠AFD=∠EAD ∴AD=FD 又∵AD=AB=AE ∴AE=FD，故②正确 ∴正确的有②③ 故答案为：②③ 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角． 21．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知：矩形的对角线与相交于点，点关于直线的对称点是，连结． (1)如图，试判断四边形的形状，说明理由； (2)如图，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有长度等于的线段． 【答案】(1)菱形，理由见解析； (2)图中所有长度等于的线段为． 【分析】（）根据矩形的性质及轴对称的性质可知，最后利用菱形的判定即可解答； （）利用矩形的性质及菱形的性质可知，再利用等边三角形的性质及菱形的性质可知，最后利用全等三角形的性质及锐角三角函数即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点关于直线的对称点是， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点是， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴图中所有长度等于的线段为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握菱形的判定与性质及锐角三角函数是解题的关键． 【经典例题八 根据菱形的性质与判定求角度】 22．（2023·陕西·一模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　） A．1 B．2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3， ∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x， ∵四边形AECF是菱形， ∴∠FCO=∠ECO， ∵∠ECO=∠ECB， ∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°， 2BE=CE， ∴CE=2x， ∴2x=3﹣x， 解得：x=1， ∴CE=2，利用勾股定理得出： BC2+BE2=EC2， BC===， 又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2， 则菱形的面积=2． 故选C． 【点睛】本题考查折叠问题以及勾股定理．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 23．（23-24八年级·上海奉贤·期末）在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠BAD，AC=8，S四边形ABCD=16，那么对角线BD= ． 【答案】4 【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半. 【详解】解：如图，∵AC平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， 在△BAE和△DAE中 ∴△BAE≌△DAE， ∴∠BEA=∠DEA， ∵∠BEA+∠DEA=180º， ∴∠BEA=∠DEA=90º， ∴DB⊥AC， ∴S四边形ABCD=AC×BD， ∵AC=8，S四边形ABCD=16， ∴BD=4. 故答案为4. 【点睛】本题考查了对角线互相垂直的四边形的面积. 24．（2023·黑龙江鸡西·模拟预测）在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点，在轴上，在轴上，如图，已知，. (1)求点的坐标 (2)动点从点出发，以每秒1个单位速度沿射线运动，过点作轴于，直线交直线于点，设的面积为，点的运动时间为秒，当点在轴上方时，求与的关系式，直接写出的取值范围. (3)在（2）的条件下，连接，当点在第一象限，为等腰三角形时，作的平分线交射线于点，此时是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)满足条件的点的坐标或或 【分析】（1）在中，解直角三角形求出即可解决问题； （2）分两种情形分别求解①当时，如图2中．②当时，如图3中．求出、即可； （3）如图4中，作于，在上截取一点，使得，连接．由，推出，推出，设，则，，可得，推出，推出，，，，可得直线的解析式为，由平分，推出，推出可得直线的解析式为，令，可得，可得，，设，再分三种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）如图1中， 四边形是菱形， ， 在中，， ，． （2）①当时，如图2中， ，，， 直线的解析式为， ，， ， ，，， ，， ． ②当时，如图3中， 易知：，，， ，， ． （3）如图4中，作于，在上截取一点，使得，连接． ，， ， ， ， ，设，则，， ， ， ，，，， 直线的解析式为， 平分， ， 可得直线的解析式为， 令，可得， ，，设， ①当为对角线时，，，可得，． ②当为对角线时，，，可得，． ③当为对角线时，，， ，， ，． 综上所述，满足条件的点的坐标，或，或，． 【点睛】本题考查一次函数综合题、菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，两直线垂直的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数，解决交点问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【经典例题九 根据萎形的性质与判定求面积】 25．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，则下列结论： 若，则； 若点与点重合，则； 若，则； 若，则； 其中，正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，根据折叠的性质及正方形的性质画出图形逐一判断即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：①若，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，故错误； 若点与点重合，如图， 由折叠可得，，， ∴， 即，故正确； 如图，当在的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的上方时， ， ， ， ， ∴或，故错误； ④由上可知，当，在的下方，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∴正确的结论有， 故选：． 26．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，正方形纸片的边长为4，点E在边上，点F在边上．将正方形纸片沿EF对折，点B的对应点是点G，连接，若，则长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，掌握相关知识的灵活运用是解题的关键． 设点A，点C的对应点为H，P，连接，由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，当点E，D，G三点共线时，长的有最小值，即为求解即可． 【详解】解：设点A，点C的对应点为H，P，连接， ∵正方形纸片的边长为4，， ∴， 由折叠的性质得到， ∴， 当点E，D，G三点共线时，长的有最小值， ∴． 故答案为：． 27．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，是正方形内一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，与的平分线相交于． (1)当四边形为菱形时，填空：______； (2)试求的度数； (3)如图，连接，交于，连接，当三点共线时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（）根据四边形为菱形，四边形是正方形，得，，，证明是等边三角形，则，通过等边对等角及角度和差即可求解； （）由折叠性质得，则有，，设，则，通过角度和差及角平分线的定义即可求解； （）由折叠性质得，则有，，由四边形是正方形，则，，由，，得，由平分，可得，证明，，，通过全等三角形的性质和菱形的判定方法求解． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）∵将沿翻折，得到， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 由()得:， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【经典例题十 正方形折叠问题】 28．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形．延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，，若，四边形，则四边形的面积为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】结合题意，根据正方形面积比，计算得，从而得；根据勾股定理性质，计算得；再根据勾股定理计算，得；结合，通过计算得；通过证明，得，结合矩形和四边形、的面积关系计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵四边形与四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵四边形+梯形 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∵四边形与四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∴矩形四边形四边形四边形 ∴四边形矩形 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形、正方形、勾股定理、全等三角形、平方根、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、正方形、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解． 29．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则 ．    【答案】8 【分析】延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，先证明，可得四边形是正方形， 从而得到，再证得，可得，，从而得到，然后证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，    在中，∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 30．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，为轴正半轴上一点，在第四象限，且，平分，．    (1)直接写出B点坐标； (2)求证：； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)32 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，可得结论； （2）过点作于点，，交的延长线于点．证明，可得结论； （3）证明四边形是正方形，再证明四边形的面积正方形的面积即可． 【详解】（1）， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作于点，，交的延长线于点．   平分， ， ，， ， ， ∴， ； （3），， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【经典例题十一 根据正方形的性质与判定求面积】 31．（2023·河北保定·一模）如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才充整 【答案】C 【分析】由菱形的性质推出的度数，通过分类讨论的方法得到含有特殊角的直角三角形、、以及等边三角形、，利用面积公式进而列出有关时间的一元二次方程，通过解方程求出. 【详解】解 ：如图，连接交于点 四边形为菱形 ， 在中， 由题意可知， 如图所示，重合部分 在 中，， ， 为等边三角形 如图所示，重合部分 在中，， ， 为等边三角形 或，即甲、丙答案合在一起才完整. 故答案选 . 【点睛】本题考查的是菱形的性质和折叠问题，涉及到的知识点有利用特殊直角三角形求边长、求角度以及等边三角形的判定.是否能用分类讨论的方法解决本题折叠问题是这道题的难点.本题的综合能力较强. 32．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点D、E、F分别在、、上，且四边形为菱形，则菱形的边长为 ；若点P是上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 2 【分析】连接PD，BD，作于点H，于点G，，就可以算出菱形的边长．由四边形ADEF是菱形，推出F、D关于直线AE对称，推出，推出，由，推出的最小值是线段BD的长． 【详解】解：如下图： 连接PD，BD，作于点H，于点G， ∵四边形ADEF是菱形， ∴F、D关于直线AE对称， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值是线段BD的长， ，设，则，， ∵，， ∴， ∴ ∴，即菱形的边长为2． ∴，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：2； 【点睛】本题考查轴对称（距离最短问题），菱形的性质等相关知识点，解题的关键是要学会用转换的思想思考问题，用轴对称求最短距离是数学常用的方法． 33．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，正方形的边长为，点是 边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析 (2)， 【分析】（1）如图，过点作于点，结合正方形的性质证明四边形是矩形，得，，根据勾股定理及正方形的性质得，，继而得到，在中，推出，求得，得到，进一步推出，即可得证； （2）如图，设平行四边形的边与交于点，证明四边形是矩形，推出平分，即与的交点为符合条件的点，然后在中，，，，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形 证明：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，，，，， AC⊥BD，∠BAC＝∠CAD＝45° ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形； （2），，之间的数量关系为：． 如图，设平行四边形的边与交于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 即平分， 即与的交点为符合条件的点， 在中，，，， ∴，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握特殊四边形形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题十二 (特殊)平行四边形的动点问题】 34．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，是等边三角形，F、G分别为和的中点，D在线段上，连接，以为边作等边，的延长线交于H， 连接． 则以下结论：①；②；③；④当D在线段上（不与G点重合）运动时，．其中正确的结论个数有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由三线合一即可判断结论①；由等边三角形的性质可得，，利用邻补角互补可得，进而可得，由多边形内角和公式可得，然后根据即可判断结论②；连接，由、分别为和的中点可得，，进而可得，再结合，于是可得是等边三角形，则，，利用邻补角互补可得，由可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，由此即可判断结论③；根据线段之间的和差关系可得，再利用等量代换即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：是等边三角形，点F是的中点， ， 故结论①正确； 和是等边三角形， ，，， ， ， 又， ， 故结论②错误； 如图，连接， 、分别为和的中点， ，， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故结论③正确； ， 即：， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，多边形内角和问题，线段中点的有关计算，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 35．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，，，M，N分别是边， 上的动点，当的周长最小时，的大小是 ° 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形的内角和，四边形的内角和，解题的关键是根据轴对称的性质确定点M和点N的位置． 作点C关于的对称点，作点C关于的对称点，连接，分别交于点N，交于点M，连接；点，点，点M，点N四点共线时，的周长最小，先根据四边形的内角和求出，再根据三角形的性质求出，最后根据轴对称的性质求出，即可进行解答． 【详解】解：作点C关于的对称点，作点C关于的对称点，连接，分别交于点N，交于点M，连接； ∵点C和点关于的对称，点C和点关于的对称， ∴， 的周长= ∴点，点，点M，点N四点共线时，的周长最小， ∵在四边形中， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 36．（24-25八年级上·河南许昌·期中）【问题背景】 在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）（2）成立，见解析（3）210海里 【分析】（1）延长到点G，使，连接，利用三角形全等的判定和性质，解答即可． （2）延长到点H，使，连接，利用三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）根据题意，得，，且 ，满足了探索延伸的基本条件，得到结论，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，方向角，四边形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，方向角是解题的关键． 【详解】（1）延长到点G，使，连接， ∵，， ∴； ∵, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：结论成立．理由如下： 延长到点H，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长，，两线交于点C，连接，设与y轴交于点N， 根据题意，得，，，，， 根据题意，得，，且，满足了探索延伸的基本条件，故， ∵（海里），（海里）， ∴（海里）， 故此时两舰艇之间的距离为210海里． 【经典例题十三 多边形内角和问题】 37．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 【答案】C 【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了． 【详解】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度； 二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度； 二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度； … ∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数． 38．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ． 【答案】540° 【分析】连接ED，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论． 【详解】连接ED， ∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE， ∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE， ∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°， 即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°． 故答案为：540°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和公式，以及多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2)×180°是解答本题的关键． 39．（2024九年级·全国·专题练习）阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 故答案为：360°；540°；720°；1080°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 【经典例题十四 多边形内角和与外角和综合】 40．（2024八年级下·浙江·专题练习）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为，则这个多边形的边数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解． 【详解】解法1：设边数为n，这个外角为x度，则根据题意，得 解得：． ∵n为正整数， ∴必为180的倍数， 又∵， ∴． 解法2：∵． ∴，即． 又∵， ∴， 解之得． ∵边数n为正整数， ∴． 故选A． 41．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为 ．    【答案】30° 【分析】延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=53°，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：    延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点， ∵BD是∠ABC的平分线 在△BDE与△BDF中， ， ∴△BDE≌△BDF（ASA）， ∴DE＝DF， 又∵∠BAD+∠CAD＝180° ∠BAD+∠EAD＝180° ∴∠CAD＝∠EAD， ∴AD为∠EAC的平分线， 过D点作DG⊥AC于G点， 在Rt△ADE与Rt△ADG中， ， ∴△ADE≌△ADG（HL）， ∴DE＝DG， ∴DG＝DF． 在Rt△CDG与Rt△CDF中， ， ∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL）， ∴CD为∠ACF的平分线， ∠ACB＝74°， ∴∠DCA＝53°， ∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠DCA﹣∠ACB＝180°﹣23°﹣53°﹣74°＝30°． 故答案为：30° 【点睛】本题考查了多边形的外角和内角，能熟记三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 42．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）阅读理解 如图①，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分；…．；将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠， 点 Bn与点 C 重合．无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角． 小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图②，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图③，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下的部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合． 探究发现 （1）△ABC 中，∠B=2∠C，∠BAC 是不是△ABC 的好角？ （填“是”或“不是”） （2）猜想：若经过 n 次折叠后发现∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设B C ）之间的等量关系为 ； 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15º、60º、105º，发现 60º和 l05º的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是 12º，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角． 【答案】（1）是；（2）B nC；（3）另外两角分别为 12°和 156°，或24°和 144°，或84°和 84° 【分析】（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B＝2∠C； （2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2＝∠C+∠A2B2C＝2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C＝180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C＝180°②，由①②可以求得∠B＝3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B＝n∠C； （3）利用（2）的结论知∠B＝n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C＝n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A＝n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数． 【详解】（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下： 小丽展示的情形二中，如图③， ∵沿∠BAC的平分线AB1折叠， ∴∠B＝∠AA1B1； 又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合， ∴∠A1B1C＝∠C； ∵∠AA1B1＝∠C+∠A1B1C（外角定理）， ∴∠B＝2∠C，∠BAC是△ABC的好角． 故答案为：是； （2）∠B＝n∠C；理由如下： 在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角． 理由如下：∵根据折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2＝∠C+∠A2B2C＝2∠C； ∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C＝∠BAC+2∠B﹣2∠C180°， 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝3∠C； 由小丽展示的情形一知，当∠B＝∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形二知，当∠B＝2∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形三知，当∠B＝3∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量系为∠B＝n∠C； 故答案为：∠B＝n∠C； （3）由（2）知设∠A＝12°， ∵∠C是好角， ∴∠B＝12n°； ∵∠A是好角， ∴∠C＝m∠B＝12mn°，其中m、n为正整数得12+12n+12mn＝180 ∴1+n+mn＝15 ∴n(1 m) 14 ∴如果一个三角形的最小角是12°，三角形另外两个角的度数是24°、144°；12°、156°；84°、84°． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 四边形（14大压轴题型） 【经典例题一 平行四边形性质的其他应用】 1．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为 ． 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，，四边形为平行四边形，点D在x轴上，且，动点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，同时，动点Q从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向运动．    (1)求点C的坐标； (2)当运动时间t为何值时，以P，B，C，D为顶点的四边形面积为20； (3)在线段上是否存在点R，使与全等？若存在，求出点R的坐标，若不存在，说明理由． 【经典例题二 利用平行四边形的判定与性质求解】 4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知直线，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足且的长度和最短，则此时（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（2024·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴正半轴上，是边长为的等边三角形，点，分别在边和上，是边长为的等边三角形．现将绕点顺时针旋转，得到，旋转角为，点，的对应点分别是点和，连接，，若点，分别是，的中点，连接，，，得，设的面积是，则的取值范围为 ． 6．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求证； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，求出四边形的面积． 【经典例题三 利用平行四边形性质和判定证明】 7．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可能是（　　） A．8和12 B．9和13 C．12和12 D．11和14 8．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是 ． 9．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 【经典例题四 平行四边形性质和判定的应用】 10．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（    　） A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤ 11．（2022八年级上·上海·专题练习）已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为 ． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若点E在线段上且，时，求的长； (2)如图2，若D在线段上，在射线上存在点F满足，连接，请证明：； (3)如图3，若，过M作直线交边于点N，再作点N关于的对称点，点P是直线MN上一动点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，点H为的中点，连接，当取得最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．∵点H是的中点，点是的中点， 【经典例题五 三角形中位线的实际应用】 13．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线、上滑动，下列结论：①若、两点关于对称，则；②、两点距离的最大值为；③若平分，则；④ 四边形的面积为．其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·上海·期末）在直角梯形中，AD∥BC，，，，那么 ． 15．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知长方形中，，点、分别是线段和射线上的动点，且． (1)如图，若，，求线段的长度； (2)如图，若，，求线段的长度； (3)如图，若点在的延长线上，点是中点，且与互补，求线段的长度． 【经典例题六 根据矩形的性质与判定求角度】 16．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 17．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是 平方厘米．    18．（23-24八年级下·广东珠海·期中）在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 【经典例题七 根据矩形的性质与判定求面积】 19．（2022·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（    ）度． A．25 B．30 C．45 D．35 20．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于P，E为BC上一点，AE交BD于F，若AB=AE，，则下列结论：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF．正确的是 （填序号）． 21．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知：矩形的对角线与相交于点，点关于直线的对称点是，连结． (1)如图，试判断四边形的形状，说明理由； (2)如图，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有长度等于的线段． 【经典例题八 根据菱形的性质与判定求角度】 22．（2023·陕西·一模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　） A．1 B．2 C．2 D．4 23．（23-24八年级·上海奉贤·期末）在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠BAD，AC=8，S四边形ABCD=16，那么对角线BD= ． 24．（2023·黑龙江鸡西·模拟预测）在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点，在轴上，在轴上，如图，已知，. (1)求点的坐标 (2)动点从点出发，以每秒1个单位速度沿射线运动，过点作轴于，直线交直线于点，设的面积为，点的运动时间为秒，当点在轴上方时，求与的关系式，直接写出的取值范围. (3)在（2）的条件下，连接，当点在第一象限，为等腰三角形时，作的平分线交射线于点，此时是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，说明理由. 【经典例题九 根据萎形的性质与判定求面积】 25．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，则下列结论： 若，则； 若点与点重合，则； 若，则； 若，则； 其中，正确的有（   ） A． B． C． D． 26．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，正方形纸片的边长为4，点E在边上，点F在边上．将正方形纸片沿EF对折，点B的对应点是点G，连接，若，则长的最小值是 ． 27．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，是正方形内一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，与的平分线相交于． (1)当四边形为菱形时，填空：______； (2)试求的度数； (3)如图，连接，交于，连接，当三点共线时，求证：四边形是菱形． 【经典例题十 正方形折叠问题】 28．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形．延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，，若，四边形，则四边形的面积为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 29．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则 ．    30．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，为轴正半轴上一点，在第四象限，且，平分，．    (1)直接写出B点坐标； (2)求证：； (3)求四边形的面积． 【经典例题十一 根据正方形的性质与判定求面积】 31．（2023·河北保定·一模）如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才充整 32．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点D、E、F分别在、、上，且四边形为菱形，则菱形的边长为 ；若点P是上一个动点，则的最小值为 ． 33．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，正方形的边长为，点是 边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 【经典例题十二 (特殊)平行四边形的动点问题】 34．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，是等边三角形，F、G分别为和的中点，D在线段上，连接，以为边作等边，的延长线交于H， 连接． 则以下结论：①；②；③；④当D在线段上（不与G点重合）运动时，．其中正确的结论个数有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，，，M，N分别是边， 上的动点，当的周长最小时，的大小是 ° 36．（24-25八年级上·河南许昌·期中）【问题背景】 在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【经典例题十三 多边形内角和问题】 37．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 38．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ． 39．（2024九年级·全国·专题练习）阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【经典例题十四 多边形内角和与外角和综合】 40．（2024八年级下·浙江·专题练习）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为，则这个多边形的边数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 41．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为 ．    42．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）阅读理解 如图①，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分；…．；将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠， 点 Bn与点 C 重合．无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角． 小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图②，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图③，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下的部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合． 探究发现 （1）△ABC 中，∠B=2∠C，∠BAC 是不是△ABC 的好角？ （填“是”或“不是”） （2）猜想：若经过 n 次折叠后发现∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设B C ）之间的等量关系为 ； 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15º、60º、105º，发现 60º和 l05º的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是 12º，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$