22.1 平行四边形的性质（分层作业，5大题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（冀教版）

22.1平行四边形的性质 题型一 平行四边形的性质的证明 1．下列命题为真命题的是（    ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线平分每一组对角 C．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．平行四边形的对角线互相平分 2．如图，在中，点，点在对角线上．要使，可添加的条件为（   ） A． B． C． D． 3．如图在平行四边形中，已知与关于点O对称，过点O任作直线分别交、于点M、N，下列结论：（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点；（2）直线必经过点O；（3）四边形是中心对称图形；（4）四边形和四边形的面积相等；（5）和成中心对称．其中，正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．1个 4．如图，过平行四边形的对角线的中点O的一条直线，交边于点E，F（E，F不与四边形的顶点重合），下列叙述不正确的是（   ） A．与一定相等 B．与一定相等 C．四边形与四边形一定全等 5．在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，点E、F在上，，．求证： (1)； (2)． 题型二 应用平行四边形的性质计算线段的长度 1．在平面直接坐标系中，平行四边形的坐标分别为，，，求点的坐标（  ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 3．若平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长度可以是（   ） A．6和14 B．4和12 C．8和12 D．10和12 题型三 应用平行四边形的性质计算角度 1．如图，在中，于点，于点．若，求（　　） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，，的度数是（   ） A． B． C． D． 3．已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 题型四 应用平行四边形的性质计算周长或面积 1．如图，在平行四边形中，，则平行四边形的周长为（   ） A．12 B．24 C．21 D．42 2．如图所示，在平行四边形中，的交点P在上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．平行四边形和平行四边形 B．平行四边形和平行四边形 C．平行四边形和平行四边形 D．平行四边形和平行四边形 3．如图，在平行四边形中，于点，于点，若平行四边形的周长为，且，则平行四边形的面积为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 4．如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．3 B． C．4 D． 5．如图，在中，是边上一点，且和分别是和的平分线，若，，则的周长是（    ） A．24 B．22 C．18 D．13 题型五 平行四边形的性质其他应用 1．如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在平行四边形中，将△ABC沿着所在的直线翻折得到△ABC，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 1．如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为（　　） A． B． C． D．2 2.如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 3．如图，中，点E、F分别是上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形的面积为（　　） A．17 B．19 C．18.5 D．23 4．如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 6．如图所示，在四边形中，，，，点从向终点以的速度运动．点从点向终点以的速度运动．，两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)当运动秒时，线段______cm，______cm（用含有的代数式表示）； (2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？ (3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？ 4 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1平行四边形的性质 题型一 平行四边形的性质的证明 1．下列命题为真命题的是（    ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线平分每一组对角 C．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．平行四边形的对角线互相平分 【答案】D 【分析】根据平行四边形的定义和性质逐项判断即可． 【详解】解：A.两组对边平行的四边形是平行四边形，原选项是假命题，不符合题意； B. 平行四边形的对角线不一定平分每一组对角，原选项是假命题，不符合题意； C. 平行四边形是中心对称图形，原选项是假命题，不符合题意； D. 平行四边形的对角线互相平分，原选项是真命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的定义和性质，解题关键是熟记这些知识，准确进行判断． 2．如图，在中，点，点在对角线上．要使，可添加的条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别判断即可． 【详解】解：∵为平行四边形， ∴，， ∴； A、当无法得出，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， 故此选项符合题意； C、由平行四边形的性质可推出，不能证明，故此选项不符合题意； D、由平行四边形的性质可推出，不能证明，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．如图在平行四边形中，已知与关于点O对称，过点O任作直线分别交、于点M、N，下列结论：（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点；（2）直线必经过点O；（3）四边形是中心对称图形；（4）四边形和四边形的面积相等；（5）和成中心对称．其中，正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键． 根据平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心，逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心， 点O是的对称中心， 则有：（1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点，故（1）正确； （2）是的对角线，所以直线必经过点O，故（2）正确； （3）四边形是中心对称图形，故（3）正确； （4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，故（4）正确； （5）由题知绕点O旋转能得到，所以和成中心对称，故（5）正确； 综上所述，正确的有5个． 故选：C． 4．如图，过平行四边形的对角线的中点O的一条直线，交边于点E，F（E，F不与四边形的顶点重合），下列叙述不正确的是（   ） A．与一定相等 B．与一定相等 C．四边形与四边形一定全等 D．平行四边形被直线分成了两个全等的梯形 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，全等四边形的判定等，利用平行四边形的性质及平行线的性质证明，推出，，进而判断选项A，B，再根据全等四边形的判定方法判断选项C，D． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，， 又点O为对角线的中点， ， ， ，， 故选项A叙述正确，不合题意； 与不一定相等，，， 与不一定相等， 故选项B叙述错误，符合题意； ，， ， 四边形与四边形中，，，，，，，， 四边形与四边形一定全等， 故选项C叙述正确，不合题意； 梯形与梯形中，，，，，，，， 梯形与梯形一定全等， 平行四边形被直线分成了两个全等的梯形 故选项D叙述正确，不合题意； 故选B． 5．在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图痕迹，依次判断，即可求解， 本题考查了，尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握尺规作图． 【详解】解：根据作图痕迹可知在上截取，可得是等腰三角形， 作的中点，，不是是等腰三角形， 作的角平分线，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 综上所述，正确， 故选：B． 6．如图，在中，点E、F在上，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题查看了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由平行四边形得到，，然后证明出，进而证明； （2）由得到，即可得到． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴； （2）∵ ∴ ∴． 题型二 应用平行四边形的性质计算线段的长度 1．在平面直接坐标系中，平行四边形的坐标分别为，，，求点的坐标（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形的关系，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 根据题意结合平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 的横坐标是，纵坐标是， ．　 故选：A． 2．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线可知，，，结合四边形是平行四边形，，，从而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线和的平分线交于上一点 ， ，， ， 故选：B． 3．若平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长度可以是（   ） A．6和14 B．4和12 C．8和12 D．10和12 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，构成三角形的条件，在平行四边形中，对角线交于点O，，则，令对角线的长等于对应选项中的值，进而得到的长，再判断能否构成三角形即可得到答案． 【详解】解；如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，，则， A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； D、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； 故选；D． 题型三 应用平行四边形的性质计算角度 1．如图，在中，于点，于点．若，求（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质结合直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 2．在平行四边形中，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【分析】由得，根据题意得是得垂直平分线，则，得，即求得的度数． 【详解】∵解：四边形是平行四边形， ∴，，则， ∵以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E， ∴是得垂直平分线，则， 所以， 那么， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形性质以及垂直平分线等知识内容，熟练掌握垂直平分线性质是解题的关键． 题型四 应用平行四边形的性质计算周长或面积 1．如图，在平行四边形中，，则平行四边形的周长为（   ） A．12 B．24 C．21 D．42 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．由平行四边形的性质对边相等可得，，即可得出结果． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 平行四边形的周长为：， 故选：B． 2．如图所示，在平行四边形中，的交点P在上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．平行四边形和平行四边形 B．平行四边形和平行四边形 C．平行四边形和平行四边形 D．平行四边形和平行四边形 【答案】B 【分析】主要考查了平行四边形的性质和面积的求法．解题的关键是得到对角线把平行四边形分得的两个三角形全等，面积相等．根据平行四边形的面积=底×高，可知，当两个平行四边形的底与高相等时，面积相等．得出平行四边形和平行四边形相等． 【详解】解：A、观察图形，很明显的面积小于的面积，错误． B、由于分别是的对角线，根据“对角线把平行四边形分得的两个三角形全等”，可推出和面积相等，正确． C、观察图形，很明显和的底与高都不相等，错误 D、观察图形，和高相等，底不相等，面积不相等，错误． 故选：B． 3．如图，在平行四边形中，于点，于点，若平行四边形的周长为，且，则平行四边形的面积为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，面积等于底×高．由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以4即为平行四边形的面积． 【详解】解：平行四边形的周长为， ， 设为， 平行四边形面积， ， 解得， 平行四边形的面积为， 故选：C． 4．如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的面积公式和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可得到答案． 【详解】解：设两个阴影部分三角形的高为， 则为平行四边形的高， ． 故选D． 5．如图，在中，是边上一点，且和分别是和的平分线，若，，则的周长是（    ） A．24 B．22 C．18 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边、三角形的内角和定理、勾股定理等知识．根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，，，再根据等角对等边和三角形的内角和定理得到，，，利用勾股定理求得，进而可求得三角形的周长． 【详解】解：在中，，，，， ∴，，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴，，， ∴，， 则， ∵， ∴， ∴的周长是， 故答案为：24． 题型五 平行四边形的性质其他应用 1．如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行四边形性质与等腰三角形的判定．证明，则，同理，求出，从而即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在平行四边形中，将△ABC沿着所在的直线翻折得到△ABC，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出； 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD 由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°， ∴△AEC为等腰直角三角形 ∴AE=CE ∴Rt△AE B′≌Rt△CDE ∴EB′=DE ∵在等腰Rt△AEC中， ∴ ∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60° ∴∠DCE=30° ∴DE=1 在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1 ∴= 故选：B 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 1．如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再根据得到的长度，继而得到的长度，从而即可得解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点P在点处时，最小，即最小， ∵ 即 ∵ ， 则的最小值为， ， ， ∴当取得最小值时，的长为． 故选：C． 2.如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图—作角平分线，等角对等边，全等三角形的判定和性质，根据作图得到平分，平行四边形的性质，推出，证明，得到即可． 【详解】解：∵平行四边形，，， ∴，， ∴，， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 3．如图，中，点E、F分别是上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形的面积为（　　） A．17 B．19 C．18.5 D．23 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形性质，利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ∴ 设，，，则，，， ∴， ， 即阴影部分四边形的面积为23； 故选：D． 4．如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质．由作法可得垂直平分，再由平行四边形的性质，可得，可判定A；再证明，可判定B，C，D，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 根据条件无法得到， ∴无法得到，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故B、D选项错误，不符合题意； ∴， 即，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 5．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．如图所示，在四边形中，，，，点从向终点以的速度运动．点从点向终点以的速度运动．，两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)当运动秒时，线段______cm，______cm（用含有的代数式表示）； (2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？ (3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？ 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，利用分类讨论是解题的关键． （1）用含t的代数式分别表示和的长； （2）分两种情况，①若四边形是平行四边形，则,进而求出t的值；②若四边形是平行四边形，则，进而求出t的值； （3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：运动t秒时，， 故答案为：t；． （2）由（1）可得：，， 当四边形为平行四边形时， ∵， ∴， 即， 解得； 当四边形为平行四边形时， ∵， ∴， 即， 解得； 综上所述：为12或9时，所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形， 故答案为：12或9． （3）解：由（1）可得：，，， 设边上的高为，依题意得， ∴ 解得： 答：直线运动秒后将四边形截得两个面积相等的四边形． 18 / 18 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