专题05 平行四边形的九大几何模型专项（考题猜想，36题9种题-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

专题05 平行四边形的九大几何模型专项（36题9种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 平行四边形的旋转模型 · 题型二 平行四边形的翻折模型 · 题型三 平行四边形的轴对称模型 · 题型四 平行四边形的平移问题 · 题型五 平行四边形的最值问题 · 题型六 平行四边形的动点问题 · 题型七 平行四边形的新定义问题 · 题型八 平行四边形与一次函数综合 · 题型九 平行四边形综合 题型一 平行四边形的旋转模型 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）【问题情境】 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点A，并绕点A旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点F，连接、． 【操作发现】 （1）如图1，若，则________，________． 【拓展应用】 （2）如图2，当直线在正方形的外部时 ①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． ②求证：． 【答案】（1）；45（2）①的度数是定值，；②证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形和轴对称的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，由此即可得； （2）①设，先根据正方形的性质可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，由此即可得； ②连接，先根据正方形的性质和勾股定理可得，再证出，，然后根据勾股定理和等量代换即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：；45． （2）①解：设， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 所以的度数是一个定值，这个定值为． ②证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴， 由（2）①已证：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 2．（2024八年级下·江苏苏州·专题练习）阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是______． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当______时，线段 有最大值，并求出的最大值． 【答案】；（1）；（2） ，CD最大值为 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系属于综合题，仔细审题，理解题意是解决问题的关键． 阅读材料：根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解； 过点A作交的延长线于点，可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； 过点作，取，连接，，由勾股定理可求的长，由可证，可得，由三角形的三边关系可得． 【详解】解：阅读材料： 根据旋转， ，， ，， ，即； 过点作交的延长线于点， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 根据上面结论，可知， 设， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故； 过点作，取， 连接，， ， ， ， 又，， ， ， 线段有最大值时，只需最大即可， 在中，， 当、、三点共线时， 取最大值，此时， 在等腰直角三角形中，， ， ， 最大为：，此时， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 【答案】(1)50 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，进而得到，即可求出的度数； （2）根据旋转和矩形的性质，易证四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）解：矩形和矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：50； （2）证明：连接， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键． 4．（23-24八年级下·江苏南通·期末）【初步探究】 （1）如图1，在中，，，，将边绕点逆时针旋转得，连接．小明同学为求的长，提供了以下思路，请你完成其中两处填空： 将绕点顺时针旋转得，连接，，则 ，，再利用勾股定理求得的长．继续得到，通过全等三角形的性质发现，则边的长为 ． 【变式拓展】 请你利用第（1）问的思路方法，解答如下问题： （2）在正方形中，点为正方形内一点，且满足． ①如图2，若，，求的度数． ②如图3，以为边向右按顺时针方向作正方形．在正方形绕点旋转过程中，边交对角线于点，边与边交于点．的周长是否为定值？如果是，求出的周长；如果不是，请说明理由 【答案】（1）；；（2）①，②周长是定值， 【分析】（1）根据旋转的性质，则，；根据勾股定理求出，，再根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）把绕点旋转得，根据旋转的性质，等腰三角形的判定，则是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理，则是直角三角形，即可；延长到点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，等量代换，即可． 【详解】（1）∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）①把绕点旋转得， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 周长是定值，理由如下： 延长到点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形，全等三角形，勾股定理，旋转的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的运用． 题型二 平行四边形的翻折模型 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 【初步体验】 操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点的对应点为．（如图1所示） 操作②：将折叠到边上，折痕为，（如图2所示） （1）若与恰好重合，则 ； 【初步探究】 在操作①中，沿剪开，易得一张正方形纸，让我们继续折叠下去… 操作③：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作④：点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处，连接，则是等边三角形；（如图3所示） （2）求证：是等边三角形； 【深入探究】 操作⑤：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作⑥：将沿翻折到位置，延长交于点，则点是的三等分点．（如图4所示） （3）通过计算证明：点是的三等分点． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）勾股定理求得，根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠的性质可得，，即可得证； （3）连接，证明，得出，设正方形的边长为，，则，进而在中，勾股定理求得，即可得证． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形 ∴ ∵折叠， ∴， ∴四边形是正方形 ∴ ∴， ∵ ∴， （2）∵点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处， ∴， ∵把正方形对折后再展开，折痕为； ∴ ∴ ∴是等边三角形； （3）证明：设正方形的边长为， 根据折叠可得，， 则， 连接，如图所示， 在中， ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得：， ∴，即点是的三等分点． 6．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，点E是正方形的边的中点，将沿翻折至，延长交边于点G．    (1)求证：； (2)若正方形的边长为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了翻折变换，三角形的全等的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．利用翻折变换是全等变换是解题的关键． （1）连接，证明，即可得证； （2）设，在中，利用勾股定理求出的值，再根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接，如图，     正方形， ， 点是中点， ， 由折叠可知：， 则，，， ， 在和中， ， ． ； （2）由（1）知：，， 设， 正方形的边长为2， ， 则，， 在中， ， ， 解得：， ． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形中，，M是边上一点，将沿直线翻折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形与折叠性质，全等三角形性质，勾股定理，掌握全等三角形的性质及勾股定理是解决此题关键． （1）由折叠的性质得，根据全等三角形性质及角平分线概念得，再由勾股定理可得答案； （2）延长交的延长线于点Q，由矩形性质及折叠性质可得，设，则，根据勾股定理及三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ， 平分， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， ． ； （2）如图，延长交的延长线于点Q， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，， 即， ， ， ， ， ， ． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据矩形的性质和折叠的性质，推出，即可得证； （2）先证明，得到，设，在中利用勾股定理进行求解即可； （3）分点E在线段上和点E在线段的延长上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴； （2）解：∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则由（1）知，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为； （3）解：当时，设， 第一种情况，点E在线段上，如图所示： 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 第二种情况，点E在线段的延长线上，如图所示： 则 ∴在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 综上可知，当时，的长为或． 题型三 平行四边形的轴对称模型 9．（23-24八年级下·江苏·期中）在矩形中，点E在边上，，点F为边上一点，连接，四边形与四边形关于成轴对称． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，当B、E、Q三点共线时，求的长． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）设与相交于点G，根据条件证明四边形、都是矩形，得出，，进而即可； （2）当B、E、Q三点共线时，，过点E作于点M，可证，，利用勾股定理可求，在中，，在中，，得出，求出即可． 【详解】（1）解∶设与相交于点G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形与四边形关于成轴对称， ∴，，，， ∴四边形、都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形与四边形关于成轴对称， ∴B、Q关于成轴对称， 当B、E、Q三点共线时， ∴， 过点E作于点M， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 10．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，在中，，，，点为的中点．点为边上一动点，点与点不重合，连接，以，为邻边作．设． (1)中边的高为______； (2)当点M落在边上时．求x的值； (3)点到直线的距离为 　　；连接，求线段的最小值； (4)当是轴对称四边形时，直接写出x的值． 【答案】(1)8 (2) (3)4，的最小值是4 (4)或 【分析】（1）作出边上的高，在直角三角形中解决问题． （2）先求出边长，当点落在边上时，为的中点，问题可以就此得到解决． （3）过点向作垂线，垂足为，利用证明三角形全等解决问题． （4）当是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形，分两种情况来分析，解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点向作垂线，垂足为． 在直角三角形中，， ∴， ∴． 故答案为8． （2）解：如图1，在直角三角形中，，， ∴． ∴． 当落在边上时的情况如图2． 四边形是平行四边形， ．， ∴， 是的中点， ∴， ∴， ∴， ． （3）解：如图，过点向作垂线，垂足为，过点P作于G，过点P作于H，连接． ∴， ，是的中点， ． 四边形是平行四边形， ，． ． ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接后，在点 的运动过程中， 若、、三点能够组成三角形，始终是直角三角形的斜边，． 只有、两点重合时，的值最小，即． （4）解：当是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形． 当四边形是菱形时，如图3，过点作的垂线，垂足为，过P作于K． ，， ，四边形是矩形． ； 由（3）知，， ∴， ∴； 是的中点． ． 四边形是菱形，是的中点， ． 则三角形为等腰三角形，是底边上的高，也是底边上的中线． ∴． 如图3，当四边形是矩形时，可得，于是． ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，要注意运用题目中的平行、垂直等条件，通过构造直角三角形解决问题． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，和都是等边三角形，连接BE，DC． (1)求证： (2)可以看作是经过 得到的（填：平移，轴对称或旋转）；说明得到的具体过程； (3)若．则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)旋转；将△ABE绕A点顺时针旋转60°可以得到△ADC (3)10 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定和勾股定理，解题关键是熟练运用等边三角形和全等三角形的性质进行推理证明，利用勾股定理求解； （1）根据“边角边”定理证明即可； （2）根据（1）中结论确定旋转中心和旋转角即可； （3）证明再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴可以看作是经过旋转得到的， 将绕A点顺时针旋转可以得到． （3）解：∵ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【材料阅读】我们曾解决过课本中的这样一道题目： 如图1，四边形是正方形，E为边上一点，延长至F，使，连接，． 提炼1：绕点D顺时针旋转90°得到； 提炼2：； 提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式． (1)如图2，四边形是正方形，E为边上一点，连接，将沿折叠，点C落在G处，交于点F，连接．求出的度数，写出，，三者间的数量关系，说明理由； (2)如图3，四边形的面积为，，，连接．求的长度； (3)如图4，在中，，，点D，E在边上，．写出，，间的数量关系________． 【答案】(1)，，见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，则，，，由，可求； （2）如图1，作于，的延长线于，证明，则，，，证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）如图2，将绕点顺时针旋转到，连接，证明，则，由勾股定理得，，则． 【详解】（1）解：，，理由如下； ∵是正方形， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，； （2）解：如图1，作于，的延长线于， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长度为； （3）解：∵，，， ∴，， 如图2，将绕点顺时针旋转到，连接， 由旋转的性质可知，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 题型四 平行四边形的平移问题 13．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向右平移个单位长度后得到的； (2)画出关于原点对称后得到的； (3)已知的三个顶点的坐标分别为，，，可以由变换得到，试写出一种具体的变换过程． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)把向右平移个单位，再关于直线对称可以得到 【分析】本题考查了平移作图，作中心对称图形、轴对称图形，掌握平移和中心对称图形的性质是解题的关键． （）根据平移的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质作图即可； （）画出平移前后的图形，根据轴对称图形即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，由图可知，把向右平移个单位，再关于直线对称可以得到． 14．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）操作与思考： 如图、在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． 实践操作： （1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到，画出；（注：点与与，与分别是对应点） （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转，画出旋转后的，并写出的坐标：_____，_____，，______；（注：点与，与，与分别是对应点） 观察思考； （3）能否由旋转得到？若能，请写出旋转中心的坐标、旋转方向及旋转角的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析，，，；（3）能由旋转得到．旋转中心的坐标为，旋转方向为逆时针（或顺时针）旋转角的度数为（或）． 【分析】本题考查了平移作图和旋转作图，确定对应点是解题的关键． （1）根据平移的性质画出平移后的即可； （2）根据旋转的性质画出，再写出，，的坐标即可； （3）根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：（1）如图，即为所作， （2）如图，即为所作， 此时，，， 故答案为：，， （3）能由旋转得到．旋转中心的坐标为，旋转方向为逆时针（或顺时针）旋转角的度数为（或）． 如图， 15．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③ (2)11 【分析】（1）①根据，得出，即可证明． ②由①得，得出，结合，即可证明四边形为平行四边形； ③根据，，得出，根据平行四边形的性质得出，证出是的垂直平分线，即可得，根据等腰三角形的性质得出，根据，，求出，再根据即可求解． （2）根据平行四边形的性质可得，，根据，得出，由折叠知，，即可得出， ，在中，勾股定理求出，在中，求出 ， 即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴，   ②证明：由①得， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； ③解：∵，， ∴， 由②得：四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴． 在中， ，， ∵，即， ∴， ∵在中， ， ∴ ， ∴． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 16．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ；将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图像为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为 ． 【综合运用】 （4）将函数的图像先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转90°，所得图像相应的函数表达式为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）先证明，由即可判定 （2）过点作轴于D，过点A作轴于C，证明得出，即可得出点的坐标，点的坐标同求点的方法； （3）利用（1）的结论判断求出点P，E的坐标，借助（1）的结论求出点的坐标即可，再利用待定系数法求出直线函数表达式； （4）先求出平移后的直线表达式为，求出与坐标轴的交点，再根据绕着坐标原点逆时针旋转90°后对应点坐标求出所得图像相应的函数表达式. 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ （2）过点作轴于D，过点A作轴于C，如图1， ∵， ∴， ∵轴，轴， 同理（1）可得； ∴， ∴， 同求点的方法得，， 故答案为； （3）如图 ∵，令，则， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵将直线l绕它与x轴的交点P逆时针旋转，得到直线， 过点作轴于F， 同（2）的方法得，， ∴， ∴， 点E绕点P逆时针旋转的对应点， 设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的表达式为， 故答案为：； （4）将函数的图像先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，可得：直线为， 设直线交轴于点，交轴于点，上，令，则令，则 ，， ∵直线是直线标原点逆时针旋转90°得到的， ∴，， 设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的表达式为，， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，点的坐标的确定方法，一次函数的应用以及旋转的性质，借助给出的结论明确思维方法是解本题的关键． 题型五 平行四边形的最值问题 17．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，的值最小，求出这个最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)点C满足、、三点共线时，的值最小，最小值为 (3)构图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，矩形的性质和判定等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． （1）由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得，即可解题； （2）根据两点之间线段最短可得点C满足、、三点共线时，的值最小，过点作的延长线于点，得到四边形为矩形，利用矩形性质和勾股定理可得的最小值； （3）由（1）（2）的结果可作C为线段上一动点，分别过点B、D作，，，，，设，由（2）同理可求代数式的最小值． 【详解】（1）解：，， ， ，，，， ， ， ； （2）解：点C满足、、三点共线时，的值最小， 过点作的延长线于点， 则四边形为矩形， ，， ， ； （3）解：如图： C为线段上一动点，分别过点B、D作，，，，，设， 由（2）同理可得的最小值为． 18．（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，四边形中，于点O，且，点P为线段上的一个动点． (1)填空：　　　． (2)过点P分别作于M点，作于H点． ①试说明为定值． ②连接，试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)13 (2)①，说明见解析；②的最小值为，理由见解析 【分析】本题主要考查了菱形综合．熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式，垂线段性质，是解决问题的关键． （1）判定四边形为棱形，为直角三角形．由勾股定理得； （2）①连接，根据，得．得；②根据为定值，可知当最短时，最小．由垂线段最短可知，当点P与点O重合时, 最短，最小值为：． 【详解】（1）∵于点O，， ∴四边形为棱形，为直角三角形． ∴． 故答案为：13． （2）①如图所示：连接． ∵， ∴． 即． ∴． ∴． ②∵为定值， ∴当最短时，有最小值． ∵由垂线段最短可知， 当时，最短． ∴当点P与点O重合时, 有最小值． 最小值为：． 19．（23-24八年级下·江苏常州·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，和，2的两个直角三角形，当点，，在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5． 根据以上解题思路，解决以下问题： (1)求的最小值． (2)求（，，为正数，）的最小值． (3)如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设，两条小路，点在上．要使最小，设米．求最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，求最短距离，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）类比题干给出的方法，进行求解即可； （2）类比题干给出的方法，进行求解即可； （3）利用矩形的性质可得，再直接利用结论求解即可； 【详解】（1）解：如图：作线段，分别构造直角边为2，x和，3的两个直角三角形， ∴，， 当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中， 由勾股定理，得， 即， ∴的最小值为13． （2）解：如图，同法（1）可得：    ∴的最小值为：； （3）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得：， ∴ 由（2）中结论可得：的最小值为：米； 20．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）长方形纸片中，，，把这张长方形纸片如图放置在平面直角坐标系中，在边上取一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)在上找一点，使最小，求点坐标． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）由折叠可得，，利用勾股可得，即得，得到点的坐标是，设，则，在中由勾股定理得，解方程可得，即得点的坐标； （）作点关于的对称点，连接，交于点，则 ，即得，由两点之间线段最短，可得此时最小，由对称可得点，利用待定系数法可得直线的解析式为，把代入函数解析式即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，轴对称最短线段问题，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数图象上点的坐标，利用轴对称找到点的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， ∵四边形是长方形纸， ∴，，， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：，； （2）解：作点关于的对称点，连接，交于点，则 ， ∴，由两点之间线段最短，可得此时最小， ∵点和点关于对称， ∴点， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴点坐标为． 题型六 平行四边形的动点问题 21．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)求点D的坐标； (3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质等； （1）由旋转的性质得，，由即可得证； （2）由全等三角形的性质得，，设， ，将此点代入直线的解析式，即可求解； （3）①当为边，在第二象限时，由平行四边形得点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，即可求解；②当为边，在第一象限时，同理可求；③为对角线时，同理可求； 掌握全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 将线段绕着点C顺时针旋转得到， ， ， ， ， 在和中 （）； （2）解：当时，， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， ， ； （3）解：①如图，当为边，在第二象限时， 四边形是平行四边形， ， ， ，， 点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 设， ， 解得：， ， ； ②如图，当为边，在第一象限时， 同理可得：点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， ， 解得：， ， ； ③如图，为对角线时， 同理可得：点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， ， 解得：， ； ； 综上所述：Q点坐标为或或． 22．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时，的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接，. ①的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 【答案】（1）4；（2）；（3）①；②或6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，再根据勾股定理求出，即可求出答案； （2）连接，设，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，再利用勾股定理得到，即可求出答案； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时，的值最小，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，即可得到答案； ②分当时，当时，两种情况进行讨论． 【详解】解：（1）是由沿翻折所得到的图形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）连接，设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得， ； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时，的值最小， 设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ； ②当时， 是由沿翻折所得到的图形， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得， ； 当时，点在上时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或6． 23．（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）如图，矩形中，点是线段上的一个动点，为的中点，的延长线交于． (1)求证：； (2)若，，点从点出发，以的速度向点运动（不与重合）．设点运动的时间为秒，请用表示的长；并求出为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定，在解题时与全等三角形结合是解本题的关键． （1）根据四边形是矩形可得，，再根据O为的中点得出，即可证出． （2）根据，，得出和的长，再根据四边形是菱形列方程求出t的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 ∴， ∴， 又∵O为的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）由题意得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴时，四边形是菱形， ∵四边形是矩形， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即运动时间为时，四边形是菱形． 24．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点从开始沿边以每秒的速度向运动；动点从点开始沿边以每秒的速度向运动，如果、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． 则： (1)当秒时，四边形的面积是______ (2)当为几秒时，四边形为矩形？ 【答案】(1)46 (2)当t为4时，四边形APQD是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的性质及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）先分别计算出的长，再计算四边形的面积； （2）根据矩形的对边相等得到，再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，， ， 四边形的面积是， 故答案为：46； （2）解：由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 当四边形是矩形时，则有， ∴ 解得． ∴当t为4时，四边形是矩形． 题型七 平行四边形的新定义问题 25．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，正方形的边长为2，E是上一点，是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)填空：①可以由绕旋转中心_____点，按顺时针方向旋转______度得到； ②定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形，则四边形______（填“是”或“不是”）邻等对补四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)①A，90 ；②是 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理． （1）根据正方形的性质得，，然后利用“”易证得； （2）由于得，则，即，根据旋转的定义可得到可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到； （3）根据邻等对补四边形的定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵F是的延长线上的点， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到． 故答案为：A、90； ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形． 故答案为：是． 26．（24-25八年级下·全国·期末）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时． (1)请在图中再找出一对这样的角来：_____________； (2)如图，中，，以为一边向外作菱形，为菱形对角线的交点，连接． 四边形______损矩形；（填“是”或“不是”） 当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由； 若，，，求的长． 【答案】(1)，或， (2)①是；②四边形为正方形，理由见详解；③ 【分析】（1）根据损矩形的性质进行判定即可求解； （2）①根据菱形的性质得到，由损矩形的定义即可求解； ②根据角平分线的性质可得，由损矩形的性质可得，结合正方形的判定即可求解； ③如图所示，过点作延长线于点，由菱形的性质得到，由损矩形的性质得到，根据含角的直角三角形的性质可得的值，在中运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：和有公共边，在同侧有和， 此时，， 和有公共边，在同侧有和， 此时，， 故答案为：，或，； （2）解：①∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是损矩形， 故答案为：是； ②四边形是正方形，理由如下， ∵，平分， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形是正方形； ③如图所示，过点作延长线于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵四边形是损矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合运用，掌握损矩形的定义和性质，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理的运用等知识的综合运用是解题的关键． 27．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则______； (2)如图2，四边形中，，，，． ①试说明四边形是“等腰四边形”； ②如图3，点在线段上，，过点作于点，过点作于点，则的最大值为______； (3)若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)或或． 【分析】（1）根据“等腰四边形”的定义可得，，根据等边对等角，三角形的内角和定理可得，，，由此即可求解； （2）①如图所示，连接，可得是等边三角形，由，可得，根据等腰直角三角形的判定和性质即可求解；②根据题意可证，得到，如图所示，过点作，，当点三点共线时，时，值最大，由此即可求解； （3）根据“等腰四边形”定义及性质，分类讨论：第一种情况：如图所示，，可得，；第二种情况：如图所示，，可得，是等边三角形；第三种情况：如图所示，，设，如图所示，作于点，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则垂直平分，，可证四边形是矩形，是等边三角形，；由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图所示，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形是“等腰四边形”； ②如图所示，连接， 由上述证明可得，四边形是“等腰四边形”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作，， 当点三点共线时，时，值最大， 故答案为； （3）解：第一种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形，且， ∴菱形是正方形， ∴， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 第三种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， 设，如图所示，作于点，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则垂直平分，， ∴， ∵，即，，，即， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形、正方形、菱形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识的综合运用，理解“等腰四边形”，掌握等边三角形的判定和性质，特殊四边形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 28．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”．如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”． (1)下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______； ①平行四边形  ②矩形  ③菱形   ④正方形 (2)如图，在“对角线垂直四边形”中，点分别是边的中点，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)③④ (2)详见解析 【分析】本题考查了中点四边形：任意四边形各边中点的连线所组成的四边形为平行四边形，也考查了三角形中位线性质、菱形、正方形的性质． （1）根据“对角线垂直四边形”的定义求解； （2）根据三角形中位线的性质得到，则可判断四边形是平行四边形，再证明，然后判断四边形是矩形； 【详解】（1）解：菱形和正方形是“对角线垂直四边形”，故③④满足题意． 故答案为：③④． （2）证明：∵点分别是边的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ， 又， ， ， ∴平行四边形是矩形． 题型八 平行四边形与一次函数综合 29．（2024·北京·模拟预测）如图， (1)【提出问题】将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； (2)【初步思考】将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______； (3)【深度思考】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ①将一次函数的图象关于轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 【答案】(1) (2)，， (3)①；②；③ 【分析】（1）由函数图象的平移法则求解即可得到答案； （2）利用点的平移法则得到、，利用待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案； （3）由对称性质、旋转性质，结合待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案． 【详解】（1）解：利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：，， 将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ，解得， 过点、的直线对应的函数表达式为； （3）解：，当时，，即点；当时，，，即点， ①如图， 一次函数的图象关于轴对称，， ∴点A关于x轴的对称点， 设将一次函数的图象关于轴对称所得到的图象对应的函数表达式为， 将代入得，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； ②设点绕点逆时针旋转到点，过点作轴于点，如图， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设将直线绕点逆时针旋转所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； ③过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，如图， 将直线绕点逆时针旋转， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设将直线绕点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象的平移、待定系数法确定一次函数表达式、点的对称、求一次函数图象关于坐标轴对称的函数图象表达式、旋转性质、求一次函数图象绕固定点旋转后的函数图象表达式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 30．（23-24八年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x、y轴交于点A、B，现将绕点O逆时针旋转后得到，直线与直线相交于点C． (1)求直线的表达式； (2)点M为线段上一点，的面积为，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一点，点Q是直线上一点，当四边形是平行四边形时，请直接写出点P、Q的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)点P的坐标为，点Q的坐标为． 【分析】（1）根据一次函数求出、两点坐标，由旋转的性质，得到，，，进而得出、两点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，且，则，联立直线和，求出点的坐标，再结合的面积列方程，求出的值即可； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线互相平分，结合坐标中点公式，求出、的值，即可得到点P、Q的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图像与x、y轴交于点A、B， 令，则，令，则， ，， ，， 由旋转的性质可知，，，， ，， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为； （2）解：点M为线段上一点， 设点M的坐标为，且， ， 联立，解得：， ， 的面积为， ， ， ， 点M的坐标为； （3）解：点P是直线上一点，点Q是直线上一点， 设点P的坐标为，点Q的坐标为， 四边形是平行四边形， 和为对角线， ， 解得：， ，， 点P的坐标为，点Q的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了旋转的性质，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，两直线的交点坐标，平行四边形的性质，坐标中点公式等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 31．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，与正比例函数的图象交于点C，将点C向右平移1个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点D． (1)求的周长及点D的坐标； (2)若点P是y轴上一动点，当最小时，求点P的坐标； (3)若点Q为平面内一点，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）先求出点、坐标，可求得△的周长，再联立方程组求得点坐标，根据坐标平移规律可求得点坐标； （2）作点关于 轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时最小，利用待定系数法求得直线的解析式，令，可求得点坐标； （3）分三种情况：①当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，②当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，根据平行四边形的性质，利用平移的坐标变换规律求解即可． 【详解】（1）解：对于函数 ， 当时， ， 当时，，解得：， 、， 在中，， 的周长为， 联立，解得， 点坐标为， 又将点向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点， 点坐标为； （2）解：作点关于 轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时最小， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 的坐标为， 即当最小时，点的坐标为； （3）解：分三种情况： ①当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，即点Q在处， ∵， ∴，， ∵， ∴向右平移2个单位，向上平移3个单位，可得， ∵ ∴， ②当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，即点Q在处， 同理可得点； ③当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，即点Q在处， 同理可得点； 综上，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查直线与坐标轴交点，两直线交点，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，平移的坐标变换，最短路径问题，熟练掌握一次函数的图象性质，平行四边形的性质是解题的关键，注意分类讨论． 32．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，正方形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足．点是线段上的一个动点． (1)连接、，求证：四边形是平行四边形； (2)作交于，当面积为2.6时，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为； (3)点的坐标为或． 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了菱形的判定方法，正确根据菱形的性质求得的坐标是解决本题的关键． （1）首先求出，代入，可求得，则，即可得四边形是平行四边形； （2）过点作于，首先证明，则，可求得，设出的坐标，根据三角形的面积公式即可求得的纵坐标，进而求得的坐标； （3）分成四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论，四边形是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；四边形是菱形，，在直角上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标． 【详解】（1）证明：正方形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为， ，， ， ，， ， 代入得，解得， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作于， ，四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 设的坐标为， ，解得， 点的坐标为； （3）解：当四边形是菱形时，如图， 的纵坐标是1.5，把代入，解得：， 则的坐标是， 点的坐标为； 当四边形是菱形时，如图， ，则设的横坐标是，则纵坐标是， 则， 解得：或0（舍去）． 则的坐标是， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 题型九 平行四边形综合 33．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图①，折痕的端点P与点A重合． ①当时， ______． ②若点E恰好在线段上，则的长为_______． 【深入思考】 （2）点E恰好落在边上． ①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图④，若，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）①②；（2）①见详解②见详解（3）或 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，线段垂直平分线的尺规作图，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，菱形的判定，等腰三角形的判定及性质等； （1）①由折叠的性质得，即可求解； ②连接，设，由矩形的性质结合折叠的性质，， 由勾股定理得，即可求解； （2）①连接，作的垂直平分线交于，交于，即可求解； ②由折叠的性质及等腰三角形的性质得，即可得证； （3）当时，设，由勾股定理得，即可求解；过作交于，由等腰三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解； 掌握线段垂直平分线的尺规作图作法，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解，并能以等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关． 【详解】解：（1）①， ， 由折叠得：， 故答案为：； ②连接， 四边形是矩形， ， ， ， 设， 由折叠得： ，， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， ， 故答案为：； （2） ①如图， 为所求作； ②如图，补全图如下： 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （3）当时， 设， 由折叠得：， ， ， ， ， 解得：； 当时， 如图，过作交于， ， ， ， ， ， 由折叠得：， ， 在和中 ， （）， ， ， 解得：， ； 综上所述：的长为或． 34．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 知识应用 （2）在中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，证明，即可证明； （2）过点作交于，连接，则，先证明是等边三角形，得到，，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到互相平分，则，证明，得到，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图所示，过点作交于，连接， ， ， ，即， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 互相平分， 点为的中点， 三点共线， ， 在中， ， ， ， ． 35．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形中，点P在对角线上，点E在的延长线上，且，过点P作于F，直线PF分别交、于G、H． (1)求证：点F为的中点； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明是等腰直角三角形可得结论； （2）利用勾股定理求出，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：连接，和交于点N， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵， ， ∴，即是等腰直角三角形， 又∵， ∴点为的中点； （2）解：在中，， ， ， 又∵是等腰直角三角形， ， ， ， ∴的周长， 答：的周长为． 36．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明； 【模型应用】 如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值； 【模型拓展】 如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示） 【答案】[模型建立]详见解析 [模型应用] [模型拓展] 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和应用，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． [模型建立]方法一，利用平行线间的距离相等，结合平行四边形面积公式和三角形的面积公式即可得解；方法二，如图1，过点作交于点，利用平行四边形对角线将平行四边形分为面积相等的两个三角形的性质，进行等量代换即可得解； [模型应用]如图2，过作交的延长线于点，连，由[模型建立]的结论可得出，再利用三角形面积公式即可得解； [模型拓展]如图3中，连接，利用前面的结论进行恒等变形即可得解． 【详解】[模型建立] 解：方法一，设平行四边形的高为（与之间的距离）， ∵平行四边形， ∴， ∴以为底，高就是平行四边形的高， ∴根据三角形面积公式可得， 同理可得，， ∵， ∴； 方法二，如图1，过点作交于点， ∵， ， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∵， ∴； [模型应用] 解：如图2，过作交的延长线于点，连， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴； [模型拓展] 如图3中，连接， 在中，点是的中点， 可设， 同理，， ， ， ， ∵， ∴． $$ 专题05 平行四边形的九大几何模型专项（36题9种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 平行四边形的旋转模型 · 题型二 平行四边形的翻折模型 · 题型三 平行四边形的轴对称模型 · 题型四 平行四边形的平移问题 · 题型五 平行四边形的最值问题 · 题型六 平行四边形的动点问题 · 题型七 平行四边形的新定义问题 · 题型八 平行四边形与一次函数综合 · 题型九 平行四边形综合 题型一 平行四边形的旋转模型 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）【问题情境】 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点A，并绕点A旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点F，连接、． 【操作发现】 （1）如图1，若，则________，________． 【拓展应用】 （2）如图2，当直线在正方形的外部时 ①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． ②求证：． 2．（2024八年级下·江苏苏州·专题练习）阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是______． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当______时，线段 有最大值，并求出的最大值． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 4．（23-24八年级下·江苏南通·期末）【初步探究】 （1）如图1，在中，，，，将边绕点逆时针旋转得，连接．小明同学为求的长，提供了以下思路，请你完成其中两处填空： 将绕点顺时针旋转得，连接，，则 ，，再利用勾股定理求得的长．继续得到，通过全等三角形的性质发现，则边的长为 ． 【变式拓展】 请你利用第（1）问的思路方法，解答如下问题： （2）在正方形中，点为正方形内一点，且满足． ①如图2，若，，求的度数． ②如图3，以为边向右按顺时针方向作正方形．在正方形绕点旋转过程中，边交对角线于点，边与边交于点．的周长是否为定值？如果是，求出的周长；如果不是，请说明理由 题型二 平行四边形的翻折模型 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 【初步体验】 操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点的对应点为．（如图1所示） 操作②：将折叠到边上，折痕为，（如图2所示） （1）若与恰好重合，则 ； 【初步探究】 在操作①中，沿剪开，易得一张正方形纸，让我们继续折叠下去… 操作③：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作④：点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处，连接，则是等边三角形；（如图3所示） （2）求证：是等边三角形； 【深入探究】 操作⑤：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作⑥：将沿翻折到位置，延长交于点，则点是的三等分点．（如图4所示） （3）通过计算证明：点是的三等分点． 6．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，点E是正方形的边的中点，将沿翻折至，延长交边于点G．    (1)求证：； (2)若正方形的边长为2，求的长． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形中，，M是边上一点，将沿直线翻折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，当时，求的面积． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，求的长． 题型三 平行四边形的轴对称模型 9．（23-24八年级下·江苏·期中）在矩形中，点E在边上，，点F为边上一点，连接，四边形与四边形关于成轴对称． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，当B、E、Q三点共线时，求的长． 10．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，在中，，，，点为的中点．点为边上一动点，点与点不重合，连接，以，为邻边作．设． (1)中边的高为______； (2)当点M落在边上时．求x的值； (3)点到直线的距离为 　　；连接，求线段的最小值； (4)当是轴对称四边形时，直接写出x的值． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，和都是等边三角形，连接BE，DC． (1)求证： (2)可以看作是经过 得到的（填：平移，轴对称或旋转）；说明得到的具体过程； (3)若．则的长为 ． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【材料阅读】我们曾解决过课本中的这样一道题目： 如图1，四边形是正方形，E为边上一点，延长至F，使，连接，． 提炼1：绕点D顺时针旋转90°得到； 提炼2：； 提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式． (1)如图2，四边形是正方形，E为边上一点，连接，将沿折叠，点C落在G处，交于点F，连接．求出的度数，写出，，三者间的数量关系，说明理由； (2)如图3，四边形的面积为，，，连接．求的长度； (3)如图4，在中，，，点D，E在边上，．写出，，间的数量关系________． 题型四 平行四边形的平移问题 13．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向右平移个单位长度后得到的； (2)画出关于原点对称后得到的； (3)已知的三个顶点的坐标分别为，，，可以由变换得到，试写出一种具体的变换过程． 14．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）操作与思考： 如图、在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． 实践操作： （1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到，画出；（注：点与与，与分别是对应点） （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转，画出旋转后的，并写出的坐标：_____，_____，，______；（注：点与，与，与分别是对应点） 观察思考； （3）能否由旋转得到？若能，请写出旋转中心的坐标、旋转方向及旋转角的度数；若不能，请说明理由． 15．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 16．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ；将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图像为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为 ． 【综合运用】 （4）将函数的图像先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转90°，所得图像相应的函数表达式为 ． 题型五 平行四边形的最值问题 17．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，的值最小，求出这个最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式的最小值． 18．（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，四边形中，于点O，且，点P为线段上的一个动点． (1)填空：　　　． (2)过点P分别作于M点，作于H点． ①试说明为定值． ②连接，试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 19．（23-24八年级下·江苏常州·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，和，2的两个直角三角形，当点，，在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5． 根据以上解题思路，解决以下问题： (1)求的最小值． (2)求（，，为正数，）的最小值． (3)如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设，两条小路，点在上．要使最小，设米．求最小值是多少？ 20．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）长方形纸片中，，，把这张长方形纸片如图放置在平面直角坐标系中，在边上取一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)在上找一点，使最小，求点坐标． 题型六 平行四边形的动点问题 21．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)求点D的坐标； (3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 22．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时，的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接，. ①的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 23．（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）如图，矩形中，点是线段上的一个动点，为的中点，的延长线交于． (1)求证：； (2)若，，点从点出发，以的速度向点运动（不与重合）．设点运动的时间为秒，请用表示的长；并求出为何值时，四边形是菱形？ 24．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点从开始沿边以每秒的速度向运动；动点从点开始沿边以每秒的速度向运动，如果、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． 则： (1)当秒时，四边形的面积是______ (2)当为几秒时，四边形为矩形？ 题型七 平行四边形的新定义问题 25．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，正方形的边长为2，E是上一点，是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)填空：①可以由绕旋转中心_____点，按顺时针方向旋转______度得到； ②定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形，则四边形______（填“是”或“不是”）邻等对补四边形． 26．（24-25八年级下·全国·期末）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时． (1)请在图中再找出一对这样的角来：_____________； (2)如图，中，，以为一边向外作菱形，为菱形对角线的交点，连接． 四边形______损矩形；（填“是”或“不是”） 当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由； 若，，，求的长． 27．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则______； (2)如图2，四边形中，，，，． ①试说明四边形是“等腰四边形”； ②如图3，点在线段上，，过点作于点，过点作于点，则的最大值为______； (3)若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 28．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”．如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”． (1)下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______； ①平行四边形  ②矩形  ③菱形   ④正方形 (2)如图，在“对角线垂直四边形”中，点分别是边的中点，求证：四边形是矩形． 题型八 平行四边形与一次函数综合 29．（2024·北京·模拟预测）如图， (1)【提出问题】将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； (2)【初步思考】将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______； (3)【深度思考】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ①将一次函数的图象关于轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 30．（23-24八年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x、y轴交于点A、B，现将绕点O逆时针旋转后得到，直线与直线相交于点C． (1)求直线的表达式； (2)点M为线段上一点，的面积为，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一点，点Q是直线上一点，当四边形是平行四边形时，请直接写出点P、Q的坐标． 31．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，与正比例函数的图象交于点C，将点C向右平移1个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点D． (1)求的周长及点D的坐标； (2)若点P是y轴上一动点，当最小时，求点P的坐标； (3)若点Q为平面内一点，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 32．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，正方形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足．点是线段上的一个动点． (1)连接、，求证：四边形是平行四边形； (2)作交于，当面积为2.6时，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 题型九 平行四边形综合 33．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图①，折痕的端点P与点A重合． ①当时， ______． ②若点E恰好在线段上，则的长为_______． 【深入思考】 （2）点E恰好落在边上． ①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图④，若，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 34．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 知识应用 （2）在中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论 35．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形中，点P在对角线上，点E在的延长线上，且，过点P作于F，直线PF分别交、于G、H． (1)求证：点F为的中点； (2)若，，求的周长． 36．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明； 【模型应用】 如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值； 【模型拓展】 如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$