专题06 分式（考题猜想，易错压轴必刷63题28种题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

专题06 分式（易错压轴必刷63题28种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 分式的定义 · 题型二 分式的规律性问题（易错） · 题型三 分式有无意义的条件 · 题型四 分式值为零的条件 · 题型五 分式的求值（易错） · 题型六 求使分式值为整数时未知数的整数值 · 题型七 分式变形（易错） · 题型八 分式的基本性质 · 题型九 将分式的分子分母各项系数化为整数 · 题型十 最简分式、最简公分母（重点） · 题型十一 约分与通分（易错） · 题型十二 分式的加减法（易错） · 题型十三 分式的乘除法（易错） · 题型十四 分式乘方运算 · 题型十五 分式化简求值（重点） · 题型十六 分式方程的定义 · 题型十七 解分式方程 · 题型十八 根据分式方程解的情况求参数（重点） · 题型十九 分式方程的增根情况（重点） · 题型二十 分式方程的无解情况（重点） · 题型二十一 分式方程的行程问题 · 题型二十二 分式方程的工程问题 · 题型二十三 分式方程的经济问题 · 题型二十四 分式方程的其他问题 · 题型二十五 分式的化简求值（压轴） · 题型二十六 分式的混合运算（压轴） · 题型二十七 分式方程的实际应用（压轴） · 题型二十八 分式的新定义问题（压轴） 题型一 分式的定义 1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列各式： 中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的概念，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．利用分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进行解答即可． 【详解】解：在中， 是分式，共3个， 故选：C． 题型二 分式的规律性问题 2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）观察下列分式：按此规律第10个分式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第10个分式为， 故答案为：． 题型三 分式有无意义的条件 3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）若不论取何实数时，分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】分式总有意义，则分母永远不等于0，即的最小值大于0，据此解题即可． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴的最小值，解得． 故选C． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件及二次函数的最值问题，能够熟练利用条件列不等式是解题关键． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）当时，分式没有意义，则b的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】先将代入分式，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：当，， ∵分式没有意义， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 题型四 分式值为零的条件 5．（2022八年级下·江苏·专题练习）已知，取哪些值时： (1)的值是正数； (2)的值是负数； (3)的值是零； (4)分式无意义． 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) 【分析】（1）y的值是正数，则分式的值是正数，则分子与分母一定同号，分同正与同负两种情况，列不等式组，即可求解； （2）y的值是负数，则分式的值是负数，则分子与分母一定异号，应分分子是正数，分母是负数和分子是负数，分母是正数两种情况进行讨论，列不等式组，即可求解； （3）分式的值是0，则分子等于0，分母不等于0，列不等式组，即可求解； （4）分式无意义的条件是分母等于0． 【详解】（1）解：的值是正数， 或， 解得或 故当时，y为正数； （2）解：的值是负数， 或， 解得或 故当或时，y为负数； （3）解：当时，即时，y值为零； （4）解：当时，即时，分式无意义． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式有意义的条件．掌握分式的概念及分式的值为正或负时，分子与分母的符号关系是解题的关键． 题型五 分式的求值 6．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）先化简，再求值：，其中. 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的性质化简，然后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 7．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知，则分式 ． 【答案】0 【分析】本题考查等式性质、分式求值，根据已知可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：0． 8．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是先把已知条件变形为，再将原式变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 题型六 求使分式值为整数时未知数的整数值 9．（23-24八年级下·江苏常州·期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值． 【详解】解：， ∵x为非正整数，分式的结果正整数， ∴x取值为，0， ∴x的个数有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键． 10．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若分式的值为负整数，则所有满足条件的整数x的值的和为 ； 【答案】 【分析】先将分子和分母分解因式，再约分，然后根据题意确定x的值，且保证分母不等于0． 【详解】由，其中， 当时，原式=，解得； 当时，原式=，解得； 当时，原式=，解得； 当时，原式=，解得（舍去）． 所以符合题意的x的值的和为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式求值，注意分式有意义的条件是分母不等于0． 11．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)请将假分式化为带分式的形式； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)整数x的值为－1，0，2，3 【分析】（1）利用真分式的定义判断即可； （2）根据题干中的方法拆解即可求解； （3）将原式化为带分式的形式后，利用整除的性质即可求解． 【详解】（1）分式是真分式． 故答案为：真 （2）原式= = = = （3）原式= = = = = ∵分式的值为整数， 即=－2，－1，1，2 解得：x =－1，0，2，3 ∴整数x的值为－1，0，2，3． 【点睛】本题考查了分式的加减法，分式中的新定义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的定义和方法是解决本题的关键． 题型七 分式变形 12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是理解分式基本性质的适用条件，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】A、到，分子分母不是同时乘或除以同一个不为0的整式，不符合分式的基本性质，该变形错误． B、，根据分式基本性质，分子分母同时除以，结果应为，而不是，该变形错误． C、到，分子分母不是同时除以同一个不为0的整式，相当于分子除以，分母除以），不符合分式的基本性质，该变形错误． D、，因为（分母不为0），根据分式的基本性质，分子分母同时除以，得到，该变形正确． 故选：D． 题型八 分式的基本性质 13．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的 D．是原来的 【答案】C 【分析】根据分式的分子，分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案．本题考查了分式的基本性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵把分式中的x，y都扩大为原来的3倍， ∴， 则此分式的值是原来的， 故选：C． 【点睛】 题型九 将分式的分子分母各项系数化为整数 14．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得： ==， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 15．（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 16．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数． （1）；                                 （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把分子与分母同时乘以6即可得出结论； （2）把分子与分母同时乘以100即可得出结论 【详解】解：（1）；                                 （2） 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数（或整式），分式的值不变． 题型十 最简分式、最简公分母 17．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义； 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可． 【详解】解：，，，，均不是最简分式； 是最简分式，最简分式的个数是1， 故答案为：1． 18．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）分式、、的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的最简公分母，掌握“各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积” 叫做最简公分母，是解题的关键．取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴分式，，的最简公分母是：． 故答案是：． 题型十一 约分与通分 19．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 20．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）按照下列要求解答： (1)约分：； (2)通分：与 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据分式的性质约分即可求解； （2）先找出最简公分母然后通分即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：最简公分母为， ∴， 【点睛】本题考查了分式的性质，分式的约分与通分，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 21．（2022八年级下·江苏·专题练习）（1）通分：和； （2）约分：． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：（1），； （2）． 【点睛】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． 题型十二 分式的加减法 22．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据分式加减法则计算即可； （2）先通分，再根据分式加减法则计算即可． 【详解】（1）解： = =． （2）解： = = =． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练掌握分式加减法则，准确进行计算． 23．（23-24八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可； （2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 题型十三 分式的乘除法 24．（23-24八年级下·江苏·周测）计算： (1)． (2)； (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）先将分子分母因式分解，再利用分式的乘除法法则求解即可； （2）先算乘方，再利用分式的乘除法法则求解即可； （3）根据异分母加减法法则求解即可； （4）原式先把除法转换为乘法，计算乘法后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】该题主要考查了分式的混合运算，分式的加减，分式的乘除法，平方差公式，解题的关键是准确运用运算法则． 25．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后算乘法即可； （2）先将括号内通分，变成同分母的分式，再根据同分母的分式相减法则对括号内的式子进行化简，最后计算乘法求出答案即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分式的计算是解题的关键． 26．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式的乘除混合运算，先算乘方，然后把除法转化为乘法，最后化简即可． 【详解】解：原式 ． 题型十四 分式乘方运算 27．（23-24八年级下·全国·课后作业）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把每一项因式分解，然后根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】 = = = 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是先对每一项因式分解，然后再根据分式的混合运算法则求解． 题型十五 分式化简求值 28．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简：，然后从1，，2025中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算及求值，熟练掌握异分母分式的加减法运算是解题的关键．先把括号内的式子通分，再把除法化为乘法，从而把原式化简，从数值中选取一个合适的数代入即可． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 29．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值． 【详解】原式， ， ， ∵， ∴， ∴原式． 30．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，再在0，1，2，中选择一个合适的数作为的值带入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 题型十六 分式方程的定义 31．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据分式方程的定义，即可判断． 【详解】解：①是关于y的分式方程；②是关于x的分式方程；③是关于x的整式方程；④是关于x的整式方程； 所以关于x的分式方程共有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 题型十七 解分式方程 32．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)原分式方程无解． 【分析】本题考查了解分式方程，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，最后注意需验根． （1）先去分母化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验根的情况； （2）先去分母化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验根的情况． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验，将代入 ∴是原分式方程的解， 所以原方程的解为：； （2）解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 33．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）解方程： 【答案】，检验见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程， 根据去分母，去括号，移项合并同类项，最后检验即可． 【详解】解：去分母，得， 移项，合并同类项，得． 经检验，是原方程的根． 34．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）先把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）先把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得：， 经检验是方程的解； （2）解： 去分母得：， 解得：， 经检验是方程的增根，原分式方程无解． 题型十八 根据分式方程解的情况求参数 35．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）已知关于x的分式方程的解为非负数，求正整数m的值． 【答案】正整数m的值为1或2或4或5 【详解】解：方程两边同乘，得，解得 ∵该分式方程的解为非负数， 且， 解得且， ∴符合要求的正整数m的值为1或2或4或5． 36．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】此题考查了解分式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【详解】解：依题意， 则化为整式，得 则， ∵方程有解，且解为负数， ∴ 解得， 则且， 所以m的取值范围为且． 37．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】a＜2且a≠﹣2 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围 【详解】解：去分母，得x+a＝2﹣x， 解得：x＝1﹣， ∵x＞0， ∴1﹣＞0， ∴a＜2，且x≠2， ∴a≠﹣2， ∴a＜2且a≠﹣2． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键在于熟练掌握分式方程的解题步骤；注意解答本题时，易漏掉a≠﹣2，这是因为忽略了x﹣2≠0这个隐含的条件而造成的． 题型十九 分式方程的增根情况 38．（23-24八年级下·江苏常州·期末）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为？ (2)当取何值时，此方程会产生增根？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入分式方程计算即可； （2）将分式方程去分母转化成整式方程，将代入整式方程解出值即可． 【详解】（1）将代入分式方程得：， ， 解得； （2）， 去分母得：， 将代入整式方程得：，即． 当时，此方程会产生增根． 【点睛】本题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根问题，增根是整式方程的解，但不是分式方程的解． 39．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】或 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母得， 当，即或时，分式方程有增根， 当时，，解得； 当时，，解得； 故m的值是或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键． 40．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，求m的值 【答案】． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值． 【详解】解：分式方程， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 题型二十 分式方程的无解情况 41．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再结合增根，得出，然后代入，进行计算，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再结合无解，进行分类讨论，即增根和都满足条件，即可作答． 【详解】（1）解：去分母，得． 由分式方程有增根，得． ． 把代入，得． 解得． 的值为． （2）解：去分母，得． ①当分式方程有增根时，此分式方程无解，即时分式方程无解． ②将上式整理，得． 当，即时，分式方程无解． 综上，若分式方程无解，的值为或． 42．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）已知关于的分式方程． (1)若这个方程无解，求的值； (2)若这个方程的解是非负数，求的值． 【答案】(1)3或 (2)且 【分析】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解． （2）先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可． 【详解】（1）， 两边都乘以，得 ， ∴， 当时，分式方程无解，此时． 当时，分式方程无解，此时即． 综上可知，若这个方程无解，的值为3或； （2）∵， ∴， 由题意，得 且， 解得且． 43．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于的方程无解，求的值． 【答案】 【分析】根据题意可得，然后把x的值代入去分母后得到的整式方程中进行计算即可解答． 【详解】解：， 两边同乘以得 ， 解得： ∵关于x的方程无解， ∴， 即 把代入中可得： 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了分式方程，把的值代入整式方程中进行计算是解题的关键． 题型二十一 分式方程的行程问题 44．（24-25八年级下·江苏南通·期末）近期，如皋的早茶文化深受广大人民的欢迎和喜爱，通过互联网的传播，吸引了不少外地游客前来品尝．小严和小许商量一起来如皋体验，下面是两人的聊天记录．    请根据他们的对话，分别求出小严和小许的速度． 【答案】小许的速度为公里／小时，小严的速度为公里／小时． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设小许的速度为公里／小时，则小严的速度为公里／小时，根据“小严晚15分钟出发”列分式方程，求解即可． 【详解】解：设小许的速度为公里／小时，则小严的速度为公里／小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：小许的速度为公里／小时，小严的速度为公里／小时． 45．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某中学组织学生去离学校的综合实践基地进行综合实践活动，先遣队与大队同时出发，______，结果先遣队比大队早到，先遣队和大队的速度各是多少？” 条件： ①先遣队的速度是大队速度的倍； ②大队的速度比先遣队的速度慢． 在上述的2个条件中选择1个条件补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】大队的速度是，则先遣队的速度是 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程；设大队的速度是，表示出先遣队的速度，再根据先遣队比大队早到，列出方程，解方程即可． 【详解】解：添加条件①， 设大队的速度是，则先遣队的速度是， ， 解得， 经检验是该分式方程的解， ， 答：大队的速度是，则先遣队的速度是． 添加条件②， 设大队的速度是，则先遣队的速度是， ， 解得：， 经检验是该分式方程的解， ， 答：大队的速度是，则先遣队的速度是． 题型二十二 分式方程的工程问题 46．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米． 【答案】甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可 【详解】解：设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路千米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米． 47．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）在高铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，天可以完成，共需工程费用元，已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的倍，且甲队每天的工程费用比乙队多元． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)若工程管理部门决定从这两个队中选-一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由． 【答案】(1)甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程需天 (2)甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用； （1）设甲工程队单独完成这项工程需要天，则乙工程队单独完成这项工程需要天，根据甲工程队完成的工作量乙工程队完成的工作量整项工程，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设甲工程队每天的费用是元，则乙工程队每天的费用是元，根据甲、乙两工程队合作天共需费用元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出两队每天所需费用，再求出两队单独完成这些工程所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设甲工程队单独完成这项工程需要天，则乙工程队单独完成这项工程需要天， 依题意，得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程需天； （2）设甲工程队每天的费用是元，则乙工程队每天的费用是元， 依题意，得：， 解得：， ． 甲工程队单独完成共需要费用：元， 乙工程队单独完成共需要费用：元． ， 甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成． 题型二十三 分式方程的经济问题 48．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）为打造书香校园，某中学计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格比乙图书每本价格多30元，用1000元单独购买甲图书与用400元单独购买乙图书数量相同． (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ (2)如果该校计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的3倍多4本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过850元，那么该中学最多可以购买多少本甲图书？ 【答案】(1)甲图书每本价格为50元，乙图书每本价格为20元； (2)该图书馆最多可以购买7本甲图书． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式解决实际问题等知识． （1）设甲图书每本价格为x元，则乙图书每本价格是元，根据题意列出分式方程求解并验证即可． （2）设该中学可以购买m本甲图书，则可以购买本乙图书，根据题意列出关于m的一元一次不等式求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设甲图书每本价格为x元，则乙图书每本价格是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲图书每本价格为50元，乙图书每本价格为20元； （2）设该中学可以购买m本甲图书，则可以购买本乙图书， 由题意得：， 解得：， 答：该中学最多可以购买7本甲图书． 49．（23-24八年级下·山东烟台·期中）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． (1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ (2)由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 【答案】(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元 (2)甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的实际应用． （1）设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解． （2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，先求出m的取值范围，然后列出y关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得： 解得 经检验，是所列方程的根， ∴ 答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元． （2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，由题意得： 解得： ， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴时，y取最小值，此时（个）， 答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少． 题型二十四 分式方程的其他问题 50．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？ 【答案】B型机器每天处理60吨垃圾 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解． 答：B型机器每天处理60吨垃圾． 51．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒． (1)若图1中原长方形纸片长，宽，被剪掉的正方形边长为，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为，求a的值； (2)现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？ 【答案】(1)4 (2)15名 【分析】（1）根据“折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为”，列出方程，即可求解； （2）设甲组有x名同学，则乙组有名同学，根据“甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半”，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解： 解得： 答：a的值为4． （2）解：设甲组有x名同学，则乙组有名同学，根据题意得： ， 解得： 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲组有15名同学． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 题型二十五 分式的化简求值（压轴） 52．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①；②分式A的值是1，3，5； (4)520 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 53．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)1；5 【分析】（1）将“”看成一个整体，模仿例1求解； （2）令，，将原式变形，即可求解； （3）将中的1用替代，即可求解；将代入将原式变形为，再将代入，进一步将原式变形为，由此可解． 【详解】（1）解：令， ； （2）解：令，， 则原式 ， 故答案为：； （3）解：， ； ， ． 【点睛】本题考查整体思想，因式分解，完全平方公式，整式的运算，分式的运算，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 54．（23-24八年级下·吉林长春·期中）阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数，∵． ∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设，则． ∵对于任意上述等式成立， ∴解得 ∴． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为 ． (2)已知，求分式的值． (3)已知，则分式的值为 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ 故答案为：； （2）∵ ∴，即：， ∴ 则： ∴ 故答案为：； （3） 由分母，可设， 则： 对于任意上述等式成立， ∴，解得，， ∴ 又∵，即： ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的值，将所求式子就行适当的变形是解本题的关键． 题型二十六 分式的混合运算（压轴） 55．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析，②见解析． 【分析】本题主要考查了列代数式，能根据，，，，之间的关系进行巧妙的化简转换是解题的关键．（1）将，的值代入，再用含的式子表示即可． （2）①将进行变形，结合即可解决问题． ②先对不等式进行化简，再结合前面的结论求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， 所以， 整理得，， 所以． （2）①证明：由得， ，． 因为， 所以， 整理得，． 因为为正数， 所以， 所以， 即， 所以． ②解：由得， ． 又因为，， 所以， 即， 整理得，． 因为为正数， 所以． 又因为， 所以． 56．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先去分母转化为整式，然后分解因式为解题即可； （2）由（1）可得中必有一个为0，不妨设，然后代入得到，然后再根据即可得到结论． 【详解】（1）证明：，. . . ， ∴， 或或， ∴三个数中必有两数之和为0； （2）证明：中必有一个为0， 不妨设，则. 为奇数， ， ， ， ， ， ∴． 57．（24-25八年级下·山东烟台·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 题型二十七 分式方程的实际应用（压轴） 58．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同． 茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 200 乙 300 (1)求的值； (2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤，“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 【答案】(1)100 (2)40 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种茶叶斤，销售完这两种茶叶的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意； （2）解：设茶叶店计算购进甲茶叶斤，那么乙茶叶斤，利润为， 由题意得：， ， ， 随的增大而减小， ， 当时，的最小值为：， 解得：， 的最大值为40． 59．（24-25八年级下·湖南常德·期中）景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 【答案】(1)西红柿采摘了，土豆采摘了 (2)土豆的售价是元，西红柿的售价是元 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键． （1）设西红柿采摘了，土豆采摘了，根据题意列出二元一次方程组，解答即可． （2）根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元，根据题意列出分式方程，解答即可． 【详解】（1）解：设西红柿采摘了，土豆采摘了． 根据题意得， 解得． 答：西红柿采摘了，土豆采摘了． （2）解：根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 60．（24-25八年级下·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 题型二十八 分式的新定义问题（压轴） 61．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】（一）（）②；（）的值为或；（二）（）①②③；（），；（）． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （一）（）由“和谐分式”的定义求解即可； （）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （二）（）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （）由原式，再整理可得； （）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”， 故答案为：②； （）∵为“和谐分式”， ∴或或，， ∴或或或， ∵a为正整数， ∴或， 当时，为“和谐分式”， 当时，为“和谐分式”， ∴的值为或； （二）（）①，是和谐分式； ②是和谐分式； ③，是和谐分式． 故答案为：①②③． （）， 故答案为∶，． （） ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或或， 又∵分式有意义时、、、， ∴． 62．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 63．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2022 【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可； （3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ∵， ∴原式． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． $$ 专题06 分式（易错压轴必刷63题28种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 分式的定义 · 题型二 分式的规律性问题（易错） · 题型三 分式有无意义的条件 · 题型四 分式值为零的条件 · 题型五 分式的求值（易错） · 题型六 求使分式值为整数时未知数的整数值 · 题型七 分式变形（易错） · 题型八 分式的基本性质 · 题型九 将分式的分子分母各项系数化为整数 · 题型十 最简分式、最简公分母（重点） · 题型十一 约分与通分（易错） · 题型十二 分式的加减法（易错） · 题型十三 分式的乘除法（易错） · 题型十四 分式乘方运算 · 题型十五 分式化简求值（重点） · 题型十六 分式方程的定义 · 题型十七 解分式方程 · 题型十八 根据分式方程解的情况求参数（重点） · 题型十九 分式方程的增根情况（重点） · 题型二十 分式方程的无解情况（重点） · 题型二十一 分式方程的行程问题 · 题型二十二 分式方程的工程问题 · 题型二十三 分式方程的经济问题 · 题型二十四 分式方程的其他问题 · 题型二十五 分式的化简求值（压轴） · 题型二十六 分式的混合运算（压轴） · 题型二十七 分式方程的实际应用（压轴） · 题型二十八 分式的新定义问题（压轴） 题型一 分式的定义 1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列各式： 中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 分式的规律性问题 2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）观察下列分式：按此规律第10个分式是 ． 题型三 分式有无意义的条件 3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）若不论取何实数时，分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）当时，分式没有意义，则b的值为（    ） A． B． C． D．3 题型四 分式值为零的条件 5．（2022八年级下·江苏·专题练习）已知，取哪些值时： (1)的值是正数； (2)的值是负数； (3)的值是零； (4)分式无意义． 题型五 分式的求值 6．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）先化简，再求值：，其中. 7．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知，则分式 ． 8．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D．1 题型六 求使分式值为整数时未知数的整数值 9．（23-24八年级下·江苏常州·期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若分式的值为负整数，则所有满足条件的整数x的值的和为 ； 11．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)请将假分式化为带分式的形式； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 题型七 分式变形 12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八 分式的基本性质 13．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的 D．是原来的 题型九 将分式的分子分母各项系数化为整数 14．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 16．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数． （1）；                                 （2）． 题型十 最简分式、最简公分母 17．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个． 18．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）分式、、的最简公分母是 ． 题型十一 约分与通分 19．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 20．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）按照下列要求解答： (1)约分：； (2)通分：与 21．（2022八年级下·江苏·专题练习）（1）通分：和； （2）约分：． 题型十二 分式的加减法 22．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 23．（23-24八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 题型十三 分式的乘除法 24．（23-24八年级下·江苏·周测）计算： (1)． (2)； (3) (4) 25．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 26．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）计算： 题型十四 分式乘方运算 27．（23-24八年级下·全国·课后作业）的结果是（    ） A． B． C． D． 题型十五 分式化简求值 28．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简：，然后从1，，2025中选择一个合适的数代入求值． 29．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中满足． 30．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，再在0，1，2，中选择一个合适的数作为的值带入求值． 题型十六 分式方程的定义 31．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型十七 解分式方程 32．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 33．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）解方程： 34．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 题型十八 根据分式方程解的情况求参数 35．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）已知关于x的分式方程的解为非负数，求正整数m的值． 36．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 37．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 题型十九 分式方程的增根情况 38．（23-24八年级下·江苏常州·期末）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为？ (2)当取何值时，此方程会产生增根？ 39．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的分式方程有增根，求的值． 40．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，求m的值 题型二十 分式方程的无解情况 41．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 42．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）已知关于的分式方程． (1)若这个方程无解，求的值； (2)若这个方程的解是非负数，求的值． 43．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于的方程无解，求的值． 题型二十一 分式方程的行程问题 44．（24-25八年级下·江苏南通·期末）近期，如皋的早茶文化深受广大人民的欢迎和喜爱，通过互联网的传播，吸引了不少外地游客前来品尝．小严和小许商量一起来如皋体验，下面是两人的聊天记录．    请根据他们的对话，分别求出小严和小许的速度． 45．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某中学组织学生去离学校的综合实践基地进行综合实践活动，先遣队与大队同时出发，______，结果先遣队比大队早到，先遣队和大队的速度各是多少？” 条件： ①先遣队的速度是大队速度的倍； ②大队的速度比先遣队的速度慢． 在上述的2个条件中选择1个条件补充在问题的横线上，并完成解答． 题型二十二 分式方程的工程问题 46．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米． 47．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）在高铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，天可以完成，共需工程费用元，已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的倍，且甲队每天的工程费用比乙队多元． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)若工程管理部门决定从这两个队中选-一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由． 题型二十三 分式方程的经济问题 48．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）为打造书香校园，某中学计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格比乙图书每本价格多30元，用1000元单独购买甲图书与用400元单独购买乙图书数量相同． (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ (2)如果该校计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的3倍多4本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过850元，那么该中学最多可以购买多少本甲图书？ 49．（23-24八年级下·山东烟台·期中）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． (1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ (2)由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 题型二十四 分式方程的其他问题 50．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？ 51．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒． (1)若图1中原长方形纸片长，宽，被剪掉的正方形边长为，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为，求a的值； (2)现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？ 题型二十五 分式的化简求值（压轴） 52．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 53．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 54．（23-24八年级下·吉林长春·期中）阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数，∵． ∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设，则． ∵对于任意上述等式成立， ∴解得 ∴． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为 ． (2)已知，求分式的值． (3)已知，则分式的值为 ． 题型二十六 分式的混合运算（压轴） 55．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 56．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 57．（24-25八年级下·山东烟台·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 题型二十七 分式方程的实际应用（压轴） 58．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同． 茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 200 乙 300 (1)求的值； (2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤，“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 59．（24-25八年级下·湖南常德·期中）景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 60．（24-25八年级下·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 题型二十八 分式的新定义问题（压轴） 61．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 62．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 63．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$