期中真题必刷压轴60题（15个考点专练）（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材北京版

期中真题必刷压轴60题（15个考点专练） 考点一 动点问题的函数（共4小题） 1．（23-24八年级下·北京·期末）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 2．（23-24八年级下·北京·期中）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系如图2，已知，则下列说法正确的有几个（   ） ①动点 H的速度是 ；②的长度为；③b的值为13：④当点 H 到达D点时的面积是 ； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法． 本题考查动点函数的图像，掌握三角形的面积公式，函数图像的性质，理解函数图像上的点表示的意义是解决本题的关键． 【详解】由图2可知：当H点由A点运动到B点时， ， ， 解得， 由图2可知：当H点由A点运动到B点用了， ∴H点的速度是， 故①正确； 由图2可知：当H点由B点运动到C点用了， ， 故②正确； 由图2可知：第到时H点由C点运动到D点， ，， ， ∴H点由D点运动到E点用了， ， 故③正确； 由图2可知：当H点由C点运动到D点用了， ， ， 当点 H 到达D点时， 故④正确； 故选：D． 3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，勾股定理求得．然后等面积法即可求解． 【详解】解：如图过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 4．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值； (2)设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式； (3)当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)，，，； (2)； (3)当出发4秒，9秒，12秒时，是等腰三角形． 【分析】（1）根据三角形的面积公式可求，根据路程、速度、时间的关系可求的值； （2）确定与的等量关系后列出关系式即可； （3）先计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的的值，若解出的值在对应的分段区间内，则的值即为所求的解，反之则不是,分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵出发时速度为，由图②得当为48时，对应的时间为秒， ∴图①中，， 即， ∴， ∵在上运动时， 面积不变，因此图②中水平线段表示在上运动时对应的与之间关系， ∴表示运动到了点，由至14即由8秒到14秒共6秒钟，面积由增加至，增加了，即， ∴， 在上速度为， ， ∴， 当运动到时停止，此时，即对应图②中秒， 在上速度为， ， ∴， 即，，，； （2）解：前8秒速度为， ，8秒后速度为， ∴， 因此； （3）解：如图③当时， 中， ∴， ∴， 同理当时， 中，， ∴， ， 当时， 在的垂直平分线上， 即为的中点， ， ∴， ， 即当出发4秒或9秒或12秒时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，路程、速度、时间的关系，用函数关系式表示变量间的关系及分类讨论的数学思想．此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． 考点二 一次函数的图象与性质（共4小题） 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例如：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、函数图象的运用等知识点，正确画出函数图象是解题的关键． 根据“和一点”的定义可以得出，进而可以得出由所有“和一点”所构成的函数及其图象，又通过过点的图象l上存在“和一点得到一次函数与“和一点”构成的函数存在交点，然后运用待定系数法求得k的最小值和最大值，即可确定k的取值范围． 【详解】解：由题意可得：点A到x轴，y轴的距离和为1，即，去绝对值后可得： ， 将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图： ∵一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”， ∴一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点， 当k最小时，一次函数与图象最右侧点相连，如图； 此时一次函数经过两点， 则有，解得：，即k的最小值为． 当k最大时，一次函数与图象最下面的点相连，如图∶ 此时一次函数经过两点， 则有，解得：，即k的最大值为． ∴k的取值范围为． 故选A． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：当时， 当时， 当时，随的增大而增大 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 当时，随的增大而减小 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 故选：． 7．（24-25八年级下·安徽池州·阶段练习）一次函数（k为常数，）的图象过点． （1） ； （2）若无解，结合函数的图象，则k的取值范围是 ． 【答案】 且/且 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，求代数式的值，不等式的应用等知识，（1）问中将点代入一次函数解析式是解题的关键；（2）问中理解直线无交点的条件是解题的关键． （1）将点代入到一次函数中，得到的值，再将其代入到中即可求解； （2）由（1）知，则，直线恒过点，结合图象，根据方程组无解，可通过斜率和截距离的关系确定的取值范围． 【详解】解：（1）将点代入到一次函数中 ，得 ， ， ， 故答案为：； （2）无解， 直线与直线无交点， 由（1）知， ， 将其代入到得，， 当时， 直线恒过点， 如图， 的取值范围为，且， 故答案为：且． 8．（23-24八年级下·江苏南通·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”． (1)若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ； (2)若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值； (3)若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围． 【答案】(1)1，2 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可； （2）利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义求得“阶和点”，再利用待定系数法解答即可； （3）利用一次函数的性质确定关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义，求得的值，进而得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，再利用已知条件即可得出结论． 【详解】（1）解：点是关于的正比例函数的点， ， ， 点到两坐标轴的距离之和等于， 点是关于的正比例函数的“阶和点”， ． 故答案为：；； （2）设一次函数图象的“阶和点”为，则，， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ，， 一次函数图象的“阶和点”为， ， ； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ，， 一次函数图象的“阶和点”为， ， ． 综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，的值为或； （3）由题意得：， ， 关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， 设为关于的一次函数的图象的“阶和点”， ， 当在第一象限时，， ， ， ， ，， ，符合题意， 当在第一象限时，； 当在第三象限时，， ， ， ， ， ， ； 当在第三象限时，； 当在第四象限时，， ， ， ． 当在第四象限时，． 关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”， 以上三个条件中同时满足其中两个即可， 当满足不满足时，； 当满足不满足时，； 当满足不满足时，的值不存在， 综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键． 考点三 一次函数的平移问题（共4小题） 9．（2023·福建·一模）如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点G，根据，利用勾股定理，可求出点C的坐标；设直线的解析式为：，把，代入，求出解析式，根据点C在平移的直线，即可得解． 【详解】解：过点B作轴于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点； 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴； 设向右平移n个单位长度得到， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴向右平移个单位长度得到， ∴点， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标系下的平移，掌握函数平移的性质，勾股定理的运用是解题的关键． 10．（23-24八年级下·山东临沂·期末）把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移特征：向上平移个单位后可得：，再根据与直线的交点，组成方程组，解关于x，y的方程，得到x,y关于m的代数式，二象项的点横坐标小于0.纵坐标大于0,组成不等式组，即可得到答案. 【详解】解：直线向上平移个单位后可得：， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为，， 交点在第二象限， ， 解得：． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0． 11．（2024·北京·模拟预测）对于条直线，满足，，则这条直线最多有 个交点． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，直线相交的交点个数问题．熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 由，可知从1到的条直线平行，由，可知从到的30条直线交于一点，则剩余条直线最多可以有个交点，从1到的条平行直线可以和剩余的条直线最多有个交点，从到的30条直线可以和其他的条直线最多有个交点，然后求和计算即可． 【详解】解：∵， ∴从1到的条直线平行， ∵， ∴从到的30条直线交于一点， ∴剩余条直线最多可以有个交点， 从1到的条平行直线可以和剩余的条直线最多有个交点， 从到的30条直线可以和其他的条直线最多有个交点， ∴这条直线最多有个交点， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知正方形，其中点，，．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到，点在正方形的内部或边上，则称点P为正方形的“和谐点”，若在直线上存在点Q，使得点Q是正方形的“和谐点”，则k的取值范围是 ．​ 【答案】或 【分析】由在直线上存在点，使得点是正方形的“和谐点”，可知在直线上，求得直线经过点和时的的值，即可求得的取值范围． 【详解】解：直线向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到， 把代入得，解得， 把代入得，解得， 或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化平移，能够理解题意是解题的关键． 考点四 一次函数的应用（共4小题） 13．（24-25八年级下·山东青岛·期末）同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是 ． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 【答案】①②④ 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键． ①当时，小明落后于小张，当时，小明超过小张，这个期间小张处于静止状态，根据速度路程时间列式计算出小明的速度即可； ②根据小明的速度行驶时间列式计算，两地的距离即可； ③当时，小张乘坐的汽车中途出现故障；当时，小张乘坐的汽车维修结束后开始继续行驶，据此计算小张中途休息的时间即可； ④从到两人相遇时，小张处于静止状态，小明行驶了，根据时间路程速度求出从到两人相遇所用的时间，从而计算出两人何时相遇． 【详解】解：小明的速度是， ①正确，符合题意； ，两地相距， ②正确，符合题意； 小张中途休息的时长为， ③不正确，不符合题意； ， 小明行驶与小张相遇， ④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 14．（24-25八年级下·北京·期末）甲、乙两地相距．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地，两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息后，提速50％，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地，在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间t之间的函数图象． (2)______． (3)已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地处有一个治安警亭． ①若，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①或2或3时，两车与警亭的距离相等；② 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意以及将实际问题结合函数观点思考问题是解题的关键． （1）根据快车行车轨迹即可得解； （2）根据快车去时和回时的速度和时间建立方程求解即可； （3）①根据题意可求出快车和慢车的速度，进而求出慢车离甲地的距离的函数图象解析式和，以及快车离甲地的距离的函数图象、，进而再根据两车的行车路线分类讨论，建立方程求解即可； ②先求出慢车离甲地的距离的函数图象解析式和，以及快车离甲地的距离的函数图象、，再令它们分别等于，求出t值，根据两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，建立不等式，求解即可． 【详解】（1）解：如图，折线即为所求． ； （2）解：根据图形可知，快车去乙地时速度为，用时小时，返回速度为，用时1小时， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：①时， ∵， ∴， ∵返回时，， ∴从甲地到乙地时，， ∴， ， ， 慢车从甲地到乙地时，， ∴， 解得； 慢车、快车同时到达乙地时，； 慢车从乙地回甲地时，， ∴， 解得； 综上所述，或2或3； ②根据题意可知， ∴，， ∵返回时，， ∴从甲地到乙地时，， ∴，， 令，即， 解得； 令，即， 解得， 令，即， 解得， 令，即， 解得， 根据题意可得，，即， 解得， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同． 茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 200 乙 300 (1)求的值； (2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤，“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 【答案】(1)100 (2)40 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种茶叶斤，销售完这两种茶叶的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意； （2）解：设茶叶店计算购进甲茶叶斤，那么乙茶叶斤，利润为， 由题意得：， ， ， 随的增大而减小， ， 当时，的最小值为：， 解得：， 的最大值为40． 16．（24-25八年级下·广东佛山·期末） 主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题 问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态． 问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图像如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义．    （2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是_______，反映客运公司行政代表意见的是_______．      问题解决 （3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如下表所示： 【答案】（1）点的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元；（2）图3，图2；（3）方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出相关的函数关系式． （1）根据图像可得，的实际意义； （2）根据乘客代表意见和客运公司行政代表意见，结合图像可得答案； （3）分别求出3中方案的利润，再比较即可． 【详解】解：（1）点的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元； （2）观察图像可知，反映乘客代表意见的是图3，反映客运公司行政代表意见的是图2； 故答案为：图3，图2； （3）该线路一周内乘客数量为（万人），每天乘客数量平均为（万人）， 设原来与的函数关系式为，把，代入， 得，解得， 原来与的函数关系式为； 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元，此时与的函数关系式为， 令得， 客运公司平均每天利润为万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元，此时， 令得， 客运公司平均每天利润为0.04万元； 方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时， 令得， 客运公司每天平均利润为0.075万元； ， 方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损． 考点五 一次函数与几何相关（共4小题） 17．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线：与直线相交于点，交轴负半轴于点．已知点的横坐标为的面积为10． (1)点的坐标为________； (2)求直线对应的函数表达式； (3)若为线段上的一个动点，将沿着直线翻折，点是否存在某个位置，使得点的对应点恰好落在轴正半轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将点B横坐标代入即可求解； （2）根据的面积为10，求出，，再用待定系数法求解即可； （3）过点B作轴于点E，则，由翻折得：，则在中，，那么，则的中点为，由翻折可得直线垂直平分，直线经过的中点，可求直线的表达式为，再与直线联立即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图， ∵的面积为10， ∴， ∴， 当， ∴， ∵C在y轴负半轴， ∴， 将，代入 得：， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为； （3）解：存在，理由如下， 过点B作轴于点E， ∵ ∴， 由翻折得：， ∵， ∴在中，， ∴， 则的中点为， 由翻折可得直线垂直平分， ∴直线经过的中点， 设直线的表达式为：， 代入，的中点得：， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与图形的变换，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，翻折的性质，勾股定理． 18．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于D，过B作于E． (1)求证：； (2)模型应用：①已知直线：与y轴交于A点，过点A的直线与的夹角为如图2，求的函数解析式； ②如图3，矩形，O为坐标原点，B的坐标为，A、C分别在坐标轴上，P是线段上动点，设，已知点D在第四象限，且是直线上的一点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与几何，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确画图形，作出辅助线是解题的关键． （1）先根据为等腰直角三角形得出，再由定理可知； （2）②过点B作于点B，交于点C，过C作轴于D，利用（1）中原理可得，则可求得，利用待定系数法即可解答； ③画出图形，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设点P的坐标为，再表示出点的坐标，再代入解析式即可解答． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：①如图，过点B作于点B，交于点C，过C作轴于D， ∵， ∴为等腰直角三角形， 利用（1）中原理可得， ∴，， 当时，， 当时，可得，解得， ∴，， ∴．， ∴， ∴ 设的解析式为， 代入，， 可得， ∴， ∴的解析式为； ②解：如图4，当时，， 过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F， 设点P的坐标为， 四边形为矩形， ， ，， 根据（1）中原理可得， ， 则D点坐标为， 由，得， ∴D点坐标． 19．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，两点，过点作直线，交于点D，交y轴于点E，且． (1)求点A及点E的坐标； (2)求点D的坐标； (3)如图2，M是线段上一动点（不与点C，D重合），，交于点N，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）把代入直线求出，得出直线的解析式为，求出直线与x轴的交点即可得出点A的坐标，根据全等三角形的性质求出，即可求出点E的坐标； （2）先求出直线的解析式为，联立，求出点D的坐标即可； （3）由证明得出，证四边形面积为定值，而，要使面积最大，求面积最小即可，当取最小值时，面积最小，即当时，取最小值，进而求解． 【详解】（1）解：把代入直线得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点D的坐标为． （3）解：， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，，， ，， ， 四边形面积为定值， ， 要使面积最大，求面积最小即可， ， 当取最小值时，面积最小， ，，， ， 当时，取最小值， ， 即，面积最小为， 则面积， 即面积最大为． 20．（2025八年级下·北京·专题练习）在函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． (1)列表： 0 1 0 2 0 2 4 6 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (2)研究函数并结合图象，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则　　，　　（填“”，“ ”或“” ； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，则的值为 　　；（注：直线为经过且垂直轴的直线） ③当时，的取值范围是 ． (3)设该分段函数的图象与轴交于点，点和点分别是平面内的定点和动点，点是函数图象上的一点，横坐标为，以为边向右作正方形．当时，若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2)①，．②；③ (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数得图象和性质、正方形的性质等内容，数形结合是解题的关键． （1）根据表格中数据描点连线即可； （2）①根据图象观察或者求出值、值比较即可； ②根据对称性可知这两点关于直线对称，进而即可得解； ③根据图象找到对应范围，进而即可得解； （3）根据图象画出符合题意的图形，找出临界值，进而即可得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据描点连线作图如下． （2）解：①由题意，点，在函数图象上， 根据图象可得，，． ． 又令，结合图象， 有三种情形，且均大于， 又令， 结合图象，． ． 故答案为：，． ②由图象可知，当时，能满足值相等的两个点是在这一段， 且这两点关于直线对称， ， ， 故答案为：； ③如图，当时，取值为黑色加粗这段， 此时最小值为0，最大值为6， 所以， 故答案为：； （3）解：设直线解析式为，将和坐标代入得， ，解得， 直线解析式为， 设直线于线段交于点，则， ， 当时，， ， 设与交点为点，则， 根据图象可知，当点运动到点右边时，此时正方形与没有交点， ； ①当时，如图所示，此时点在上， ， ， ， 此时， 若点与点重合，则此时正方形只有一个交点， 即， ， 解得， 由图很明显可知，当点向右移动，变长，则也变长， 此时正方形的相邻两边和与线段各有一个交点， ； ②当时，如图所示，点在直线上，并且在点下方，则， ， 若，则，此时点，，满足两个交点，符合题意， 同①方法讨论1个交点情况，找出临界值， 若点与点重合，则此时正方形只有一个交点， 即， ， 解得， ； ③当时，此时点在直线上且在点上方，则， ， 由点和点坐标可知直线解析式为， 若点在线段上，此时正方形与线段只有一个交点， ， ， 此时， ， ， 解得， 由图很明显可知可知，当点向右移动，变长，则也变长， 此时正方形的相邻两边和与线段各有一个交点，直到点与点重合， ； 综上，的取值范围为或． 考点六 一次函数的新定义问题（共4小题） 21．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，化简绝对值，分情况讨论为解题关键，根据新定义，结合中和距离的定义，即可求出动点P的轨迹方程，可得轨迹为两线段，即可求得长度． 【详解】解： ， ， ， ，， 当，时， ，，，， ，整理得：， 当，时， ，，，， ，整理得：， 当，时， ，或，，， ，或，整理后均不符合条件， 由上述讨论可知，动点P的轨迹由两部分组成： 一部分是直线在，范围内的部分，即从到的线段，其长度为， 另一部分是直线在范围内的部分，即从到的线段，其长度为， 则动点P的轨迹长度为， 故选：C 22．（24-25八年级下·北京·期末）定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识，本题综合性强，有一定难度． （1）根据题意得出，消去t即可得到； （2）根据题意得出，消去t得，由-在，得出． 【详解】（1）∵是“好点”， ∴， 消去t得到， 故答案为：； （2）∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得：， ∵， ∴， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）阅读理解：对于线段和点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q是线段的“完美等距点” 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知三个点：，则这三点中，可以做为线段的“等距点”是_______，线段的“完美等距点”是_______； (2)若坐标原点O为线段的“等距点”，求出点P的坐标； (3)若，点H在坐标平面内，且H是线段的“完美等距点”，请直接写出点H的坐标．（注意：在平面内有两点，其两点间的距离公式为） 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）由在上，得到，根据两点间的距离公式，由列出等式，求解即可； （3）先求出或，根据 “完美等距点”的定义得到，构造“三垂直全等”求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是“等距点”； ∵， ∴， ∴C不是“等距点”； ∵， ∴， ∴是“等距点”， ∵， ，， ∴是“完美等距点”， 故答案为：，； （2）解：∵点是直线上一动点， ∴， ∴， 而，，原点O为线段的“等距点” ∴， ∴， ∴， 解得：, ∴或； （3）解：设，由， ∴， 解得：， ∴或， 当时， ∵H是线段的“完美等距点”， ∴， 线段上方的点H记为，过点作轴的垂线，再过点分别作垂线的垂线，垂足为，如图： 则， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 设， 则， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴， 点线段下方的点H记为，构造同样辅助线， 同理可求：； 当时，线段上方的点H记为，线段下方的点H记为，构造同样的辅助线，如图： 同上可求：， 综上所述，“完美等距点”的坐标为：或或或． 【点睛】本题综合考查了正比例函数与几何知识的应用，考查了两点间距离公式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 24．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P与图形给出如下定义：N为图形上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形的“近点距离”为零．如图1，点． (1)点与线段的“近点距离”是___________；点与线段的“近点距离”是___________； (2)点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为，那么点P的坐标是___________ (3)如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)1，； (2)或； (3)． 【分析】（1）画出图形，直接利用新定义结合勾股定理可得答案； （2）画出图形，分两种情况利用数形结合的方法，一次函数的性质与勾股定理解答即可； （3）如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”，求解直线为，过作轴于，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”由平移可得，同理可得直线为，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴点与线段的“近点距离”是， ∵， ， ∴点与线段的“近点距离”是， 故答案为：1，； （2）解：如图，当在左边时， 当时，两点间距离最小， ∵点与线段的“近点距离”为， ， ， ， ， ∴， 当在的右边时，如图中的， ， 过作轴的平行线，过作轴的垂线，交点为， ∵直线为， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：或； （3）解：如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”， ∵一次函数， ， ， ∴设， ∴， 设直线为， ∴ 解得：， ∴直线为， ∴， 当时，， 过作轴于， ， ， ， ； 如图，过作直线，则线段的长度为点与四边形的“近点距离”， ∵由平移可得， 同理可得直线为， ∴， ， 当时，则， 过作轴于， ， ， ， ， ∴， 解得； ∴直线上存在点，使得点与四边形的“近点距离”小于或等于，的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义的含义，一次函数的几何应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，平移的性质，理解题意是解题的关键． 考点七 多边形压轴（共4小题） 25．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 26．（23-24八年级下·北京·期末）如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B，C，分别作的垂线，垂足为，利用多边形内角和定理及等边三角形的性质证明，，设，，则，利用在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点B，C，分别作的垂线，垂足为， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理得：， ， ， ， ， ， ， 设，，则，， 在中，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角的特征，多边形内角和，作出辅助线构造三角形全等时解得的关键． 27．（23-24八年级下·江苏·期中）在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点与，，，也构成爱尔特希点集，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意，分点为正五边形的中心和顶点两种情况讨论． 【详解】解：依题意，当为正五边形的中心点时即满足题意， ． 当为正五边形的顶点时即满足题意， ∴ 故答案为：或． 28．（24-25八年级下·陕西安康·期末）问题提出 （1）如图1，和均为等边三角形，D为边上一个动点，，O为边的中点，连接，当线段最小时，线段的长是 ． 问题解决 （2）如图2，四边形是某学校的健身馆平面图，满足，，小明量出健身馆的对角线米，求四边形健身馆的面积． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）连接，证明，得到，即得，可得点E在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可； （2）延长到点E，使得，连接，证明，推出，，，可得． 【详解】解：（1）如图，连接， 和均为等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ， 点E在射线上运动， 当时，有最小值， 此时， ，O为边的中点， ， ， 故答案为：1； （2）如图，延长到点E，使得，连接， 四边形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 即四边形健身馆的面积为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和等，解题的关键是第一问求出点E的运动轨迹，第二问通过作辅助线构造全等三角形． 考点八 平行四边形的判定与性质（共4小题） 29．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②③正确；然后由平行四边形的性质得，则④错误；最后求出，故⑤错误；即可得出答案． 【详解】解：，，， 是直角三角形， ，故①正确； ，都是等边三角形 和都是等边三角形 ，， 在与中 ，故②正确； 同理可证： 四边形是平行四边形，故③正确； ，故④错误； 过作于，如图所示：    则 四边形是平行四边形 ，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③，共3个． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 30．（23-24八年级下·北京·单元测试）如图所示，在等腰中，延长边到点D，延长边到点E，连接，恰有．则 ． 【答案】/100度 【分析】过点D作，且使，连接、，则四边形时平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再利用判定，根据全等三角形的性质可得，从而可推出为等边三角形，设，则，根据三角形内角和定理可分别表示出，根据等边三角形的性质不难求得的度数． 【详解】解：过点D作，且使，连接、，则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为等边三角形， 设，则 ，， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键． 31．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知. (1)如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； (2)如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 【答案】(1) (2)①作图见解析；②；理由见解析 (3) 【分析】（1）作于点I，利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）①依照题意补全图形即可； ②延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明； （3）连接，作并交的延长线于点K，推出四边形是平行四边形，得到是直角三角形，，求得即可解决问题． 【详解】（1）解：解：作于点I， 由题意得，是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴此时的面积为， 故答案为：； （2）解：①补全图形如图， ②；理由如下， 延长交的延长线于点H，延长交于点J， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 连接，作并交的延长线于点K， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了平行四边的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 32．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图1，已知平行四边形中，于于相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，且以、、为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)35 【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，得，再利用直角三角形两锐角互余可证，进而可证，得，结合平行四边形的性质即可证得结论； （2）过点作，交于，可知，，，得，可证，得，在中，，在中，，求得得，结合在中，，即可证明结论； （3）结合平行四边形的性质，由（1）可知，，，得，，设，则，，根据勾股定理得，，，可知以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边，结合其面积得，即，进而可得平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴，则 ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）证明：过点作，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴ ， 即：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， 设，则，， 在中，，即， 在中，，即， 在中，， ∴，则以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边， ∴， ∴，即：， ∴平行四边形的面积为， 故答案为：35． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定及性质，构造直角三角形，利用勾股定理进行求解是解决问题的关键． 考点九 特殊平行四边形的判定与性质（共4小题） 33．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，点在正方形的边上（不与点，重合），是对角线，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为，连接，． (1)根据题意补全图形，并证明； (2)①求证：； ②探究线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)图形见解析，证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质可知，即可证明结论； （2）①连接，，首先证明，得，再证明，得，，得出是等腰直角三角形，从而得出答案； ②连接，首先利用，证明四边形是平行四边形，得，则，在中，利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：补全图形如图， 证明：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）①证明：如图，连接，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②解：． 证明：连接， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 34．（2025八年级下·北京·专题练习）如图，在四边形中，点、分别在边、上．连接、． (1)如图1，四边形为正方形时，连结，且， ①已知，，求的长； ②已知，求的值； (2)如图2，四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长．． 【答案】(1)①10；②4 (2) 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及勾股定理，根据全等三角形对应边之间的关系，设未知数利用勾股定理列方程为解题关键． （1）①利用勾股定理可直接得出结论； ②延长至点，使，连接，可证明，所以，；进而可得，所以；设，，则，，．所以，在中，利用股定理可得关于和的等式，解之即可得出结论； （2）如图，延长、交于点．可证，所以，由，可得，所以，设，则，即，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）①在正方中，， 在中，，，， ， 即的长为10． ②如图，延长至点，使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 设，，则，，． ， 在中，， ， ， ， ，即， 的值为4． （2）如图，延长、交于点． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， 即， 解得：， ． 35．（24-25八年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．已知：点，． (1)当时， ①点C的坐标是 ； ②在，，三个点中， 是正方形的“3倍距离点”； (2)当时，点（其中）是正方形的“2倍距离点”，求n的取值范围； (3)点，．线段上存在正方形的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)或或． 【分析】（1）①当时，可得点．根据四边形是正方形，可得，所以点C的坐标是； ②分别求出三个点到正方形的边所在直线的最大距离和最小距离，再根据“3倍距离点”的定义判断即可； （2）当时，点，然后讨论点n的取值，确定点P到正方形的边所在直线的最大距离和最小距离，再根据“2倍距离点”的定义求解即可； （3）求出直线的解析式为，设线段上一点，则，分两种情况讨论：当P在正方形内时，当P在正方形外时，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：①当时，如图1，点． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即点C在y轴上，   ∴点C的坐标是， 故答案为：）； ②如图所示，当正方形的边所在的直线的距离最大值为，最小值为， ∴是正方形的“3倍距离点”； 同理可知是正方形的“1倍距离点”； 是正方形的“3倍距离点”； ∴是正方形的“3倍距离点”， 故答案为：； （2）解：当时，如图2，点 ， ∵， ∴当时，到的距离倍的到的距离，此时不符合题意； 当时，到的距离倍的到的距离，此时符合题意； 当时，到的距离倍的到的距离，此时不符合题意； 当，且到的距离倍的到的距离时， ∴， ∴， 经检验是原方程的解； 当，且点P到直线的距离等于2倍的点P到的距离时， ∴，即（舍去） 综上所述：点（其中）是正方形的“2倍距离点”时，n的取值范围是或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设线段上一点， 则， 当P在正方形内时， ①， ∴， ∴； ②， ∴， ∴； 当P在正方形外时， ， ∴， ∴； 此时不存在的情况， ∴线段上存在正方形的“2倍距离点”，a的取值范围是或或． 【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了正方形的性质，平面直角坐标系，“k倍距离点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置． 36．（24-25八年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，，，，若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点． 例如：图中的点为矩形的一个矩宽点．    (1)在点，，中，矩形的矩宽点是______； (2)若点为矩形的矩宽点，求的值； (3)若直线上只存在一个矩形的矩宽点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质、矩形的性质、矩宽点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）根据矩宽点的定义即可判断； （2）根据矩宽点的定义构建方程即可解决问题； （3）如图1中由题意可知，矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，．分别求出直线经过、、、、时的的值即可解决问题． 【详解】（1）解：， 点是矩宽点， ， 点是矩宽点， 故答案为：和； （2）解：为矩形的矩宽点， 或，解得或； （3）解：由题意可知，矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，，如图所示：   一次函数的图象经过定点， 观察图象可知当直线与线段，有交点时，直线一次函数的图象上存在矩宽点， 当一次函数的图象经过点时，， 当一次函数的图象经过点时，， 当一次函数的图象经过点时，， 当一次函数的图象经过点时，， 当一次函数的图象经过点时，， 综上所述，满足条件的的值为或，或， 故答案为：或，或． 考点十 平行四边形的存在性问题（共4小题） 37．（2024八年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若在图形上存在一点，且点的纵坐标是横坐标的（为正整数）倍，则称点为图形的“倍点”． 例如，点是直线的“倍点”． (1)在点，，，中，_________是直线的“倍点”； (2)已知点的坐标为，点的坐标为，以线段为矩形的一边向上作矩形． ①若，，判断是否存在矩形的“倍点”，若存在，求出矩形的“倍点”的坐标，若不存在，请说明理由； ②若，且存在矩形的“倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①存在，，；② 【分析】（1）根据“倍点”的定义进行判断即可； （2）①存在．根据题意可得：，，倍点在直线上，当时，；当时，，即可得出结论； ②根据题意可得：，，，，倍点在直线上，然后分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点在直线上， 又∵， ∴点是直线的“倍点”； 当时，， ∴点在直线上， 又∵， ∴点不是直线的“倍点”； 当时，， ∴点不在直线上， ∴点不是直线的“倍点”； 当时，， ∴点在直线上， 又∵， ∴点不是直线的“倍点”； 故答案为：． （2）解：①存在，如图， 当时，点的坐标为，点坐标为， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴，， ∵倍点在直线上， 当时，，点， 当时，，点， ∴矩形的“倍点”的坐标为，； ②如图，当时， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，且存在矩形的“倍点”， ∴，，， ∴倍点在直线上， 当时，，则， 当时，，则， ∴， 当时， 当时，点在直线上， 则， 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，运用了分类讨论的思想．掌握“倍点”的定义是解题的关键． 38．（23-24八年级下·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，，若P为矩形内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称P为矩形的矩宽点，例如：下图中的为矩形的一个距宽点． (1)在点，，，，中，矩形的矩宽点是___； (2)若为矩形的矩宽点，求m的值； (3)已知一次函数．它的图像经过定点___，若一次函数的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是___．（直接写出答案） 【答案】(1)D，F； (2)或； (3)，或． 【分析】（1）根据矩宽点的定义即可判断； （2）根据矩宽点的定义构建方程即可解决问题； （3）如图1中由题意可知，矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，．分别求出直线经过、、、时的的值即可解决问题； 【详解】（1）， 点是矩宽点， ， 点是矩宽点． 故答案为和． （2） 分别令等于2可得：或 （3）将代入得， 所以一次函数的图像经过定点， 设 则 若，则，即， ∴此时点P在直线上满足题意 同理时，a＋b＝5  即b＝－a＋5 时，a＋b＝1  即b＝－a＋1 时  b－a＝－3  即b＝a＋3 L1：代入（1，0），k＝－1 L2：代入（1，2），k＝－3 L3：代入（3，2），k＝3 L4：代入（4，1），k＝1 所以k的取值范围为：或， 故答案为：，或 【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、矩宽点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题． 39．（23-24八年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的两点A和C，给出如下定义：若A，C是某个矩形对角线的顶点，且该矩形的每条边均与x轴或y轴垂直，则称该矩形为点A，C的“对角矩形”．如图1为A，C的“对角矩形”的示意图．已知点．    (1)①当时，在图2中画出点A，C的“对角矩形”，并直接写出它的面积S的值； ②若点A，C的“对角矩形”的面积是15，求t的值； (2)若点，在线段上存在一点D，使得点D，C的“对角矩形”是正方形，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①作图见解析，；②或 (2)或 【分析】 （1）①先确定出，直接利用新定义即可画出图形； ②先确定出点A，C的“对角矩形”宽为3，利用面积建立方程求解即可得出结论； （2）找出分界点求出t的值，借助图形即可得出结论． 【详解】（1） 解：①画出点A，C的“对角矩形”如图所示：    当时， ∴， ∵， ∴． ②∵点， ∴点A，C的“对角矩形”宽为3． ∵点A，C的“对角矩形”的面积是15， ∴点A，C的“对角矩形”长为5， ∴或； （2） 解：如图，    当点D和点B重合时，，， ∵使得点D、C的对角矩形是正方形， ∴， ∴， 当点D和点A重合时，， ∵使得点D、C的对角矩形是正方形， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了矩形的性质，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，解一元一次方程，正确理解矩形的性质及正方形的性质是解题的关键． 40．（23-24八年级下·北京东城·期中）在平面直角坐标系xOy中，中心为点C的正方形各边分别与两坐标轴垂直，若点P是与C不重合的点，点P关于正方形的“限称点”的定义如下：设为直线CP与正方形的边的一个交点，另一个交点为M，若满足，则称为点P关于正方形的“限称点”．如图，为点P关于正方形的“限称点”的示意图．规定：若点P与点C重合，则点P的“限称点”存在． (1)若正方形的中心为原点O，边长为2． ①分别判断点、、关于该正方形的“限称点”是否存在，若存在，求其坐标； ②若平面内一动点关于该正方形的“限称点”存在，求n的取值范围； (2)若正方形的中心T在x轴上，边长为2，记直线在之间的部分为图形K．若图形K上任意一点关于该正方形的“限称点”都存在，请你直接写出正方形中心T的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①F有“限称点”，其坐标为；G有“限称点”，其坐标为；H没有“限称点” ② (2) 【分析】（1）①根据“限称点”的定义，作出图形，观察图形，得出当点在正方形（正方形中心是原点）内部（包括正方形的边上）时，有“限称点”，拓此判定即可； ②由点在直线上，再求出直线与正方形，，根据点关于该正方形的“限称点”存在，得到点在上，即可得出，解之即可． （2）如图，当中心为T，边长为4的正方形顶点A在直线上时，则，此时；当中心为T，边长为4的正方形顶点B在直线上时，则，此时，即可求解． 【详解】（1）解：①如图， 根据点P关于正方形的“限称点”的定义知：当点在正方形（正方形中心是原点）内部（包括正方形的边上）时，有“限称点”， 观察图可得，点，在边长为4的正方形内， 所以F有“限称点”，其坐标为，G有“限称点”，其坐标为； 在边长为4的正方形外， 所以H没有“限称点”； ②如图， ∵点在直线上， 设直线与正方形交于点D、E， ∴，， ∵点关于该正方形的“限称点”存在， ∴点在上， ∴ 解得：． （2）解：如图， 由（1）知，当中心为T，边长为4的正方形顶点A在直线上时，则，此时， 当中心为T，边长为4的正方形顶点B在直线上时，则，此时， ∴正方形中心T的横坐标的取值范围． 【点睛】本题考查新定义，正方形的性质，一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型． 考点十一 平行四边形的折叠问题（共4小题） 41．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：；；五边形的周长是44，其中正确的个数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由勾股定理求出相应线段的长可得五边形的周长． 【详解】解：由折叠可知：，，， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； ， ， 由折叠可得，， ，故正确； 正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，， 五边形的周长是：，故正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解决本题的关键是综合运用以上知识． 42．（24-25八年级下·广东深圳·期末）在正方形中，E是边上一点，连接，将正方形沿折叠，使点C的对应点落在正方形内部，连接并延长，交边于点F，的延长线交于点G，此时恰有，若，则 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由折叠的性质可，易证，所以，设，则，在和中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵折叠， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：4． 43．（24-25八年级下·广东深圳·期末）在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决． (1)如图1，在矩形中，，点E是边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的处，求的长； 乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分） 解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即（ ）， 解得 ． (2)如图2，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿折叠，点D落在点处，当为直角三角形时，求的长； (3)如图3，在矩形中，，点E是直线上一动点，将沿折叠，当点D的对应点恰好落到边的中垂线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)，，2， (2)或7 (3)2或 【分析】（1）根据推理过程利用勾股定理填空即可； （2）当为直角三角形时，分当点落在矩形内部，时，当点落在边上，时，两种情况讨论即可； （3）过点作于N，交于点M，设，则，分点在线段上；点在延长线上；两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即， 解得； （2）解：当为直角三角形时，有两种情况： 当点落在矩形内部，时，如图， ∵在矩形中，， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得，即； 当点落在边上，时，如图， 此时，， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质得：， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 综上，当为直角三角形时，的长为或； （3）解：过点作于N，交于点M， 设，则， 当点在线段上时，如图， ∵是边的中垂线， ∴，， 由勾股定理可知：， ∴， ∵， ∴， 解得：，则， ∴； 当点在延长线上时，如图， 同理，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； 综上知：的长为或． 【点睛】本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键． 44．（24-25八年级下·四川成都·期中）将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点的坐标； (2)如图②，点是中点，点在上，求的最小值； (3)如图③，折叠该纸片，使点落在边上的点为，折痕为，点在边上，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得：，设，根据勾股定理得：，解出可解答； （2）如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即的长，根据勾股定理可解答； （3）如图③，过作轴于，设，根据勾股定理列方程得，求得，然后利用待定系数法求得的解析式为． 【详解】（1）解：如图①，由折叠得：， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， ； （2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即， 过作轴于， ， 是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是15； （3）解：如图③，过作轴于， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 设的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 的解析式为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键． 考点十二 平行四边形中的最值问题（共4小题） 45．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且，连接，则线段的最小长度是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、最短路径问题等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图，在上取一点G，使，连接．再证明四边形为平行四边形，即，进而说明，最后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，在上取一点G，使，连接．    ∵在矩形中，， ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ． 又，， ， 的最小长度为5． 46．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，四边形中，，，，点在边上，点在边上，，作于点，连接，则的最小长度为 ． 【答案】 【分析】过C作，交延长线于点M，连接，交于点O，则四边形是正方形，易证，则有，由正方形性质得的长，从而得的长；取中点N，连接，过N作于G，则由勾股定理求得；由直角三角形斜边上中线的性质得，由三角形三边关系得，当C、H、N三点共线时，最小，即可求得最小值． 【详解】解：如图，过C作，交延长线于点M，连接，交于点O， ，， 四边形是正方形， ， ， ； ， ， ； 由勾股定理得， ； 取中点N，连接，过N作于G， 则； ， ， ， ， 则由勾股定理得； ，中点为N， ， 由三角形三边关系得， 故当C、H、N三点共线时，最小，最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质是关键． 47．（23-24八年级下·北京·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    【答案】// 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是解题关键．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，最后利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，   ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 48．（2025·陕西·模拟预测）【问题背景】 （1）如图1，在四边形中，，，，点O是对角线上的动点，连接、，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在边长为2的等边中，点O是上一点，D，E分别是、边上的动点，且，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花四，对角线、是其中的两条观赏小路，在、的交点O处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心E、F，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值） 【答案】（1）13；（2）的最小值为2；（3）两条石子小路长度之和的最小值为． 【分析】（1）如图，连接，先求解，结合当三点共线时，最短，从而可得答案； （2）过点B作，且，连接，，交于点G．证明，可得当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，，从而可得答案； （3）过点A作，且，连接，，交于点H．证明，可得，当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，，过点G作交的延长线于点M．再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点O是对角线上的动点， ∴当三点共线时，最短， ∴最小值为13． （2）过点B作，且，连接，，交于点G． ∴四边形是平行四边形，则．     ∵是等边三角形，， ∴．     在和中，，，， ∴， ∴，     ∴， ∴当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，， ∴的最小值为2．     （3）过点A作，且，连接，，交于点H． ∵四边形是正方形，， ∴．     在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，．     过点G作交的延长线于点M． ∵四边形是正方形，， ∴，，．     ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴，     在中，， ∴的最小值为，即两条石子小路长度之和的最小值为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，化为最简二次根式，平行四边形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 考点十三 平行四边形的旋转问题（共4小题） 49．（2021·北京·二模）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出AB，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形，求出BK，根据三角形中位线定理得到，再利用三角形三边关系解答． 【详解】解：在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°， ∴, 如图，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形， ∴， ∵M是AE的中点，F是EK的中点， ∴MF是△AEK的中位线， ∴， 在△ABK中，， ∴，即， ∴， ∴线段FM的最大值是， 故答案为：． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线的判定及性质定理，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键． 50．（23-24八年级下·北京通州·期中）已知：点是平行四边形对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、，点为的中点． (1)当点与点重合时如图，易证（需证明）； (2)直线绕点逆时针方向旋转，当时，如图、图的位置，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？请写出你对图、图的猜想，并选择一种情况给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)图2，；图3，；见解析 【分析】（1）利用全等三角形的判定（角角边）证明，后利用全等三角形的对应边证明．（2）①利用平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定（角边角）证明，结合直角三角形斜边上中线得出，等边三角形的性质得出，最后等式代换得出结论；②与①方法同理． 【详解】（1），， ． 在△和△中， ． ． （2）图中的结论为：． 图中的结论为：． ①选图中的结论证明如下： 延长交于点， ，， ． ． 在△和△中， ． ，． 在中， ． ． ， ． 是等边三角形． ． ， ． , ． ②选图的结论证明如下： 延长交的延长线于点， ，， ． ． 在△和△中， ， ，． 在中， ， ． ， ． 是等边三角形． ． ， ． ， ． 【点睛】本题考查平行四边形中的旋转—动点问题，全等三角形的判定、直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质的综合应用．主要涉及全等三角形的判定（边边边、边角边、角边角、角角边），直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线内错角、同位角相等，等边三角形三边相等知识点．解题的关键是恰当寻找全等三角形，利用全等三角形、直角三角形、等边三角形的性质发现等量关系并解决问题． 51．（24-25八年级下·辽宁大连·开学考试）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，对角线所在的直线绕点O顺时针方向旋转，旋转中直线分别交边于点，．将四边形沿直线折叠得到四边形（点的对应点分别为，线段交边于．） (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)若， ①如图3，点在点左侧时，求的长； ②如图4，点在点右侧时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①5；②2 【分析】（1）根据证明，利用全等三角形的性质可证； （2）设与的交点为，在上截取，连接证明得，再证明是等边三角形得，证明得，进而可证； （3）①过作于，则，证明四边形、是矩形得、，证明，由勾股定理求出，设，则，根据求出，进而可求出； ②过作于，同理，．设，则，由求出，可得． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ． 又， ， ； （2）证明：如图2，设与的交点为，在上截取，连接 ∵四边形是矩形， 与相等且互相平分， ， ． 四边形沿直线折叠得到四边形， ． 又， ， ， ． ， ． ， ， 设，则， ． ， ， ，即． ， 是等边三角形， ， ． 又， ， ． ， ，即； （3）①如图3，过作于，则， ∵四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ． 同理四边形是矩形，． ， ． 又折叠， ， ， ． 在中，根据勾股定理得，． 设，则． ， ， ， ；    ②如图4，过作于，同理， ． 设，则， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． 52．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，在等边三角形中，点D为边的中点，以为边向下作等边三角形，连接，与的延长线交于点F． 【感知猜测】边与边的数量关系_____________，_____________°． 【证明发现】如图②，将绕点A旋转，与相交于点F，以上结论是否成立，并说明理由； 【拓展应用】如图③，矩形中，，E、F分别在边、上，且为等边三角形，点M是边上的一点，且，以为边向下作等边三角形，则的最小值为_____________． 【答案】感知猜测：；60；证明发现：成立；见解析；拓展应用： 【分析】感知猜测：证明，得出，，求出； 证明发现：证明，得出，，根据，，得出即可； 拓展应用：过点N作于点H，连接，，证明，得出，得出当最小时，最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，证明四边形为矩形，得出，，求出，得出． 【详解】解：感知猜测：∵和为等边三角形， ∴，， ， ∵点D为边的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 证明发现：成立；理由如下： ∵和为等边三角形， ∴，， ， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 拓展应用：过点N作于点H，连接，，如图所示： 则， ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 即与H重合时，最小， ∵矩形中， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 考点十四 三角形的中位线（共4小题） 53．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，中位线定理，勾股定理，根据中位线定理可得出点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点与点重合时，点在处，，此时为中点， 当点与点重合时，点在处，，此时为中点， ∴是中位线， 且， 当点在上除点、的位置时，为中点， ∴是中位线，是中位线， ，， ∴点在线段上， 点的运动轨迹是线段， 当时，取得最小值， 矩形中，，，为的中点，为中点， ∴，， 、、为等腰直角三角形， ，， ∵， ， ， ，即， 的最小值为的长， 在等腰直角中，， 的最小值是． 故选：D． 54．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图，在矩形中，，，在平面内有一点，，过点作，且，连接、、，点是线段的中点，连接，则线段长度范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，利用三角形的中位线定理构造辅助线是解题关键．取的中点，连接，先根据矩形的性质和勾股定理求出，再根据勾股定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的三边关系即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 又∵点是线段的中点，点为的中点， ∴， 由三角形的三边关系得：（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴，即， 故答案为：． 55．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）课本再现 想一想：你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明 （1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接．求证：且； 知识运用 （2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析，（2） 【分析】（1）先利用证明，于是可得，，由内错角相等两直线平行可得，进而可得，结合，可证得四边形为平行四边形，于是可得，，再结合，即可得出结论； （2）取的中点，连接，延长、交于点，由正方形的性质可得，由邻补角互补可得，进而可得，由为的中点可得，利用可证得，于是可得，，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，则，由此即可求出的长； 【详解】解（1）证明：在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴且； （2）解：如图，取的中点，连接，延长、交于点，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，即为的中点， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，且为的中点， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理的证明及应用，全等三角形的判定与性质和，正方形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，内错角相等两直线平行，线段中点的有关计算，掌握以上知识是解题的关键； 56．（24-25八年级下·山东泰安·期末）在四边形中，、分别是、的中点． (1)如图1，在四边形中，若是的中点，，，，，求的长． (2)如图2，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，为中点，若，求证：． (3)如图3，在中，，点在上，，、分别是、的中点，连接、并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，再结合，可得，由等边对等角可得，由两直线平行内错角相等可得，由两直线平行同位角相等可得，于是结论得证； （3）连接，取的中点，连接、，由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，再结合，可得，由等边对等角可得，由两直线平行内错角相等可得，则，由两直线平行同位角相等可得，由对顶角相等可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，再结合，进而可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，于是可得，然后根据即可得出结论． 【详解】（1）解：、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ，， ，， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ； （2）证明：、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ； （3）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接，取的中点，连接、， 、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即：是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等边对等角，三角形外角的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理及平行线的性质是解题的关键． 考点十五 中心对称图形（共4小题） 57．（24-25八年级下·北京·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，D在线段上，先画，再在上画点F，使； (2)在图2中，先画的高，再在射线上画点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）解：如图1，点向右3个格点为，连接，则即为所作；如图1，连接，记的中点为，连接并延长到，连接，交于，则四边形为矩形，，点即为所作； （2）如图2，点向左4个格点为，然后向上3个格点为，连接，交于，则，进而可证，则即为所作；如图2，点向左3个格点为，点向左3个格点为，连接，的交点为，连接，则，且到的距离与的距离相等，即，证明，进而可证，则点即为所作． 【详解】（1）解：如图1，点向右3个格点为，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴即为所作； 如图1，连接，记的中点为，连接并延长到，连接，交于，则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴点即为所作； （2）解：如图2，点向左4个格点为，然后向上3个格点为，连接，交于，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所作； 如图2，点向左3个格点为，点向左3个格点为，连接，的交点为，连接， ∴，且到的距离与的距离相等，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所作． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，垂直平分线的判定与性质等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 58．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”如图1，，其中，此时，点与点重合，    操作探究1：（1）勤奋小组将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点， 连结， 求证： 操作探究2：（2）智慧小组将图1中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长，，它们相交于点．如图3，在操作中，该小组同学提出如下问题， 请你解答： ①当时，．（直接回答即可） ②时， 求证：为等边三角形； 操作探究3：（3）创新小组将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，在操作中，该小组同学提出如下问题，请你解答： ①如图4， 当时，求出线段的长． ②如图5，当旋转到点是边的中点时，直接写出线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析；（3）①；② 【分析】（1）即可解决问题； （2）①根据平行线的判定定理即可解决问题； ②证明即可解决问题； （3）①连接，证明是等边三角形，利用勾股定理求出即可解决问题； ②如图5中，连接，交于点，证明，再证明，利用面积法求出即可解决问题． 【详解】证明：如图2中， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；    （2）①解：如图3中， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 故答案为：； ②证明：∵将绕点按逆时针方向旋转角度，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形；    （3）①解：如图4，连接， ∵绕点按顺时针方向旋转角度，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，    ②解：如图5中，连接，交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是边的中点时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长为．    【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，三角形的面积等知识，掌握旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 59．（23-24八年级下·北京·期末）（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）；（3）作图见解析 【分析】（1）①利用方格纸，取格点，连接即可，②利用方格纸，取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）根据点到直线的距离和线段的定义即可求解； （3）在射线的上方作即可． 【详解】解：（1）①如图，取格点，连接， ∵所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上， ∴点向上平移3格，再向右平移2格与点重合，同时点向上平移3格，再向右平移2格与点重合， 即线段向上平移3格，再向右平移2格与线段重合， ∴， 则即为所作； ②如图，取格点，连接，与交于点， 在和中， ，，， ，， 即绕点顺时针旋转与重合， ∴绕点顺时针旋转与重合， ∴， 由①知：， ∴，即， 则即为所作． （2）∵， ∴， ∴线段的长度表示点到的距离． 故答案为：． （3）如图，在射线的上方作， 又∵， ∴ ， ∴， 则射线即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，尺规作图，平移和旋转，点到直线的距离，角的计算，垂直的判定．解题的关键是掌握基本的作图方法和相关定义及性质． 60．（23-24八年级下·北京西城·期末）给定图形和点，，若图形上存在两个不重合的点，，使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合.在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在点，，中，与点关于线段双对合的点是______； (2)点是轴上一动点，的直径为1． ①若点与点关于双对合，求的取值范围； ②当点运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)D，F； (2)①；②或． 【分析】（1）根据双对合的定义逐一判断即可得到答案； （2）①由双对合定义可知随着直径的端点G，H在上运动，点在以点A为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A），由此求出取值范围；②找出临界图形，计算可以求出取值范围． 【详解】（1）由双对合定义可知：， ，， 轴， ，， ， O关于线段的双对合点是D，F； 故答案为D，F； （2）①设是上任意一条直径，则． 设点是与点A关于双对合的点，将点A和点分别关于点G，H对称后重合的点记为，所以点G，H分别是和 的中点． 由三角形中位线的知识，可知． 随着点G，H在上运动，点在以点A为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A），将它记为S．因为点A与点关于双对合， 所以当S与y轴相交时，可求得t 的值为和． 所以t 的取值范围是． ②当上的一点在上时，如图，则上离最近的点到的距离为：时存在，解得； 当上的一点在BC上时，则上的点离最近的点到的距离不大于1， 即K到的距离不大于， ，即与x轴的夹角为45°， 交点， 这时， 即； 当上的一点在上时，则上的点离最近的点到的距离大于1，不存在； 综上所述：或 【点睛】本题考查新定义，能正确理解新定义并转化为所学知识解决问题是解题的关键． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴60题（15个考点专练） 考点一 动点问题的函数（共4小题） 1．（23-24八年级下·北京·期末）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·北京·期中）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系如图2，已知，则下列说法正确的有几个（   ） ①动点 H的速度是 ；②的长度为；③b的值为13：④当点 H 到达D点时的面积是 ； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长度为 ． 4．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值； (2)设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式； (3)当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 考点二 一次函数的图象与性质（共4小题） 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例如：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 7．（24-25八年级下·安徽池州·阶段练习）一次函数（k为常数，）的图象过点． （1） ； （2）若无解，结合函数的图象，则k的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·江苏南通·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”． (1)若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ； (2)若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值； (3)若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围． 考点三 一次函数的平移问题（共4小题） 9．（2023·福建·一模）如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·山东临沂·期末）把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·北京·模拟预测）对于条直线，满足，，则这条直线最多有 个交点． 12．（23-24八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知正方形，其中点，，．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到，点在正方形的内部或边上，则称点P为正方形的“和谐点”，若在直线上存在点Q，使得点Q是正方形的“和谐点”，则k的取值范围是 ．​ 考点四 一次函数的应用（共4小题） 13．（24-25八年级下·山东青岛·期末）同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是 ． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 14．（24-25八年级下·北京·期末）甲、乙两地相距．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地，两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息后，提速50％，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地，在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间t之间的函数图象． (2)______． (3)已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地处有一个治安警亭． ①若，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是_______． 15．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同． 茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 200 乙 300 (1)求的值； (2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤，“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 16．（24-25八年级下·广东佛山·期末） 主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题 问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态． 问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图像如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义．    （2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是_______，反映客运公司行政代表意见的是_______．      问题解决 （3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如下表所示： 考点五 一次函数与几何相关（共4小题） 17．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线：与直线相交于点，交轴负半轴于点．已知点的横坐标为的面积为10． (1)点的坐标为________； (2)求直线对应的函数表达式； (3)若为线段上的一个动点，将沿着直线翻折，点是否存在某个位置，使得点的对应点恰好落在轴正半轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于D，过B作于E． (1)求证：； (2)模型应用：①已知直线：与y轴交于A点，过点A的直线与的夹角为如图2，求的函数解析式； ②如图3，矩形，O为坐标原点，B的坐标为，A、C分别在坐标轴上，P是线段上动点，设，已知点D在第四象限，且是直线上的一点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 19．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，两点，过点作直线，交于点D，交y轴于点E，且． (1)求点A及点E的坐标； (2)求点D的坐标； (3)如图2，M是线段上一动点（不与点C，D重合），，交于点N，连接，求的面积的最大值． 20．（2025八年级下·北京·专题练习）在函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． (1)列表： 0 1 0 2 0 2 4 6 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (2)研究函数并结合图象，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则　　，　　（填“”，“ ”或“” ； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，则的值为 　　；（注：直线为经过且垂直轴的直线） ③当时，的取值范围是 ． (3)设该分段函数的图象与轴交于点，点和点分别是平面内的定点和动点，点是函数图象上的一点，横坐标为，以为边向右作正方形．当时，若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 考点六 一次函数的新定义问题（共4小题） 21．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（    ） A．4 B． C． D． 22．（24-25八年级下·北京·期末）定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ． 23．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）阅读理解：对于线段和点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q是线段的“完美等距点” 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知三个点：，则这三点中，可以做为线段的“等距点”是_______，线段的“完美等距点”是_______； (2)若坐标原点O为线段的“等距点”，求出点P的坐标； (3)若，点H在坐标平面内，且H是线段的“完美等距点”，请直接写出点H的坐标．（注意：在平面内有两点，其两点间的距离公式为） 24．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P与图形给出如下定义：N为图形上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形的“近点距离”为零．如图1，点． (1)点与线段的“近点距离”是___________；点与线段的“近点距离”是___________； (2)点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为，那么点P的坐标是___________ (3)如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 考点七 多边形压轴（共4小题） 25．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·北京·期末）如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·江苏·期中）在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点与，，，也构成爱尔特希点集，则 ． 28．（24-25八年级下·陕西安康·期末）问题提出 （1）如图1，和均为等边三角形，D为边上一个动点，，O为边的中点，连接，当线段最小时，线段的长是 ． 问题解决 （2）如图2，四边形是某学校的健身馆平面图，满足，，小明量出健身馆的对角线米，求四边形健身馆的面积． 考点八 平行四边形的判定与性质（共4小题） 29．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 30．（23-24八年级下·北京·单元测试）如图所示，在等腰中，延长边到点D，延长边到点E，连接，恰有．则 ． 31．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知. (1)如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； (2)如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 32．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图1，已知平行四边形中，于于相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，且以、、为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形的面积为 ． 考点九 特殊平行四边形的判定与性质（共4小题） 33．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，点在正方形的边上（不与点，重合），是对角线，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为，连接，． (1)根据题意补全图形，并证明； (2)①求证：； ②探究线段，，之间的数量关系． 34．（2025八年级下·北京·专题练习）如图，在四边形中，点、分别在边、上．连接、． (1)如图1，四边形为正方形时，连结，且， ①已知，，求的长； ②已知，求的值； (2)如图2，四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长．． 35．（24-25八年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．已知：点，． (1)当时， ①点C的坐标是 ； ②在，，三个点中， 是正方形的“3倍距离点”； (2)当时，点（其中）是正方形的“2倍距离点”，求n的取值范围； (3)点，．线段上存在正方形的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围． 36．（24-25八年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，，，，若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点． 例如：图中的点为矩形的一个矩宽点．    (1)在点，，中，矩形的矩宽点是______； (2)若点为矩形的矩宽点，求的值； (3)若直线上只存在一个矩形的矩宽点，则的取值范围是______． 考点十 平行四边形的存在性问题（共4小题） 37．（2024八年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若在图形上存在一点，且点的纵坐标是横坐标的（为正整数）倍，则称点为图形的“倍点”． 例如，点是直线的“倍点”． (1)在点，，，中，_________是直线的“倍点”； (2)已知点的坐标为，点的坐标为，以线段为矩形的一边向上作矩形． ①若，，判断是否存在矩形的“倍点”，若存在，求出矩形的“倍点”的坐标，若不存在，请说明理由； ②若，且存在矩形的“倍点”，直接写出的取值范围． 38．（23-24八年级下·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，，若P为矩形内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称P为矩形的矩宽点，例如：下图中的为矩形的一个距宽点． (1)在点，，，，中，矩形的矩宽点是___； (2)若为矩形的矩宽点，求m的值； (3)已知一次函数．它的图像经过定点___，若一次函数的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是___．（直接写出答案） 39．（23-24八年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的两点A和C，给出如下定义：若A，C是某个矩形对角线的顶点，且该矩形的每条边均与x轴或y轴垂直，则称该矩形为点A，C的“对角矩形”．如图1为A，C的“对角矩形”的示意图．已知点．    (1)①当时，在图2中画出点A，C的“对角矩形”，并直接写出它的面积S的值； ②若点A，C的“对角矩形”的面积是15，求t的值； (2)若点，在线段上存在一点D，使得点D，C的“对角矩形”是正方形，请直接写出t的取值范围． 40．（23-24八年级下·北京东城·期中）在平面直角坐标系xOy中，中心为点C的正方形各边分别与两坐标轴垂直，若点P是与C不重合的点，点P关于正方形的“限称点”的定义如下：设为直线CP与正方形的边的一个交点，另一个交点为M，若满足，则称为点P关于正方形的“限称点”．如图，为点P关于正方形的“限称点”的示意图．规定：若点P与点C重合，则点P的“限称点”存在． (1)若正方形的中心为原点O，边长为2． ①分别判断点、、关于该正方形的“限称点”是否存在，若存在，求其坐标； ②若平面内一动点关于该正方形的“限称点”存在，求n的取值范围； (2)若正方形的中心T在x轴上，边长为2，记直线在之间的部分为图形K．若图形K上任意一点关于该正方形的“限称点”都存在，请你直接写出正方形中心T的横坐标的取值范围． 考点十一 平行四边形的折叠问题（共4小题） 41．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：；；五边形的周长是44，其中正确的个数为（    ）    A． B． C． D． 42．（24-25八年级下·广东深圳·期末）在正方形中，E是边上一点，连接，将正方形沿折叠，使点C的对应点落在正方形内部，连接并延长，交边于点F，的延长线交于点G，此时恰有，若，则 ．    43．（24-25八年级下·广东深圳·期末）在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决． (1)如图1，在矩形中，，点E是边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的处，求的长； 乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分） 解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即（ ）， 解得 ． (2)如图2，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿折叠，点D落在点处，当为直角三角形时，求的长； (3)如图3，在矩形中，，点E是直线上一动点，将沿折叠，当点D的对应点恰好落到边的中垂线上时，请直接写出的长． 44．（24-25八年级下·四川成都·期中）将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点的坐标； (2)如图②，点是中点，点在上，求的最小值； (3)如图③，折叠该纸片，使点落在边上的点为，折痕为，点在边上，求直线的函数解析式． 考点十二 平行四边形中的最值问题（共4小题） 45．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且，连接，则线段的最小长度是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D．7 46．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，四边形中，，，，点在边上，点在边上，，作于点，连接，则的最小长度为 ． 47．（23-24八年级下·北京·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    48．（2025·陕西·模拟预测）【问题背景】 （1）如图1，在四边形中，，，，点O是对角线上的动点，连接、，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在边长为2的等边中，点O是上一点，D，E分别是、边上的动点，且，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花四，对角线、是其中的两条观赏小路，在、的交点O处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心E、F，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值） 考点十三 平行四边形的旋转问题（共4小题） 49．（2021·北京·二模）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 ． 50．（23-24八年级下·北京通州·期中）已知：点是平行四边形对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、，点为的中点． (1)当点与点重合时如图，易证（需证明）； (2)直线绕点逆时针方向旋转，当时，如图、图的位置，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？请写出你对图、图的猜想，并选择一种情况给予证明． 51．（24-25八年级下·辽宁大连·开学考试）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，对角线所在的直线绕点O顺时针方向旋转，旋转中直线分别交边于点，．将四边形沿直线折叠得到四边形（点的对应点分别为，线段交边于．） (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)若， ①如图3，点在点左侧时，求的长； ②如图4，点在点右侧时，直接写出的长． 52．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，在等边三角形中，点D为边的中点，以为边向下作等边三角形，连接，与的延长线交于点F． 【感知猜测】边与边的数量关系_____________，_____________°． 【证明发现】如图②，将绕点A旋转，与相交于点F，以上结论是否成立，并说明理由； 【拓展应用】如图③，矩形中，，E、F分别在边、上，且为等边三角形，点M是边上的一点，且，以为边向下作等边三角形，则的最小值为_____________． 考点十四 三角形的中位线（共4小题） 53．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 54．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图，在矩形中，，，在平面内有一点，，过点作，且，连接、、，点是线段的中点，连接，则线段长度范围是 ． 55．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）课本再现 想一想：你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明 （1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接．求证：且； 知识运用 （2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． 56．（24-25八年级下·山东泰安·期末）在四边形中，、分别是、的中点． (1)如图1，在四边形中，若是的中点，，，，，求的长． (2)如图2，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，为中点，若，求证：． (3)如图3，在中，，点在上，，、分别是、的中点，连接、并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状，并说明理由． 考点十五 中心对称图形（共4小题） 57．（24-25八年级下·北京·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，D在线段上，先画，再在上画点F，使； (2)在图2中，先画的高，再在射线上画点P，使． 58．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”如图1，，其中，此时，点与点重合，    操作探究1：（1）勤奋小组将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点， 连结， 求证： 操作探究2：（2）智慧小组将图1中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长，，它们相交于点．如图3，在操作中，该小组同学提出如下问题， 请你解答： ①当时，．（直接回答即可） ②时， 求证：为等边三角形； 操作探究3：（3）创新小组将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，在操作中，该小组同学提出如下问题，请你解答： ①如图4， 当时，求出线段的长． ②如图5，当旋转到点是边的中点时，直接写出线段的长． 59．（23-24八年级下·北京·期末）（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 60．（23-24八年级下·北京西城·期末）给定图形和点，，若图形上存在两个不重合的点，，使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合.在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在点，，中，与点关于线段双对合的点是______； (2)点是轴上一动点，的直径为1． ①若点与点关于双对合，求的取值范围； ②当点运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点的横坐标的取值范围． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$