专题09 六类几何最值模型专项训练-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题09. 六类几何最值模型专项训练 本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型。 1．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，已知点是直线上一点，点C是x轴上一定点，四边形是平行四边形，在直线上有一动点P，若的最小值为20，则点B的坐标为 ． 2．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，点，点分别是边上的动点，点在上，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点分别为直线上的动点，过点A做，且. （1）的最小值为 ；（2）的最小值为 .    4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 5．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，动点在射线上，且，当时，则的最小值为 ． 6．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在中，，点，，，为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接．则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 8．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为 ． 9．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，点、、分别在、，上，则周长的最小值为（    ）    A．15 B． C． D．20 10．（2024·陕西汉中·统考一模）如图，在中，，点是上的动点，连接，过点作，过点作交于点，当取得最小值时，则四边形的周长为______．    11．（2024·福建八年级期末）如图，在边长为的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接当的周长最小时，的度数是______． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在等腰直角中，，在斜边上取点，使得为边上一动点，以为直角顶点，为直角边构造等腰直角(在右侧)，当最小时， ． 13．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，． （1） ．（2）周长的最小值是 ．（用含a、b的代数式表示） 14．（22-23八年级上·江苏·期中）如图，在中，，且是内一点，若的最小值为，则 ． 15．（2024上·福建厦门·九年级校考期中）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，      ∵绕点C顺时针旋转得到∴， ∴为_________三角形，∴ ∵∴∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°． ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值； (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．       16．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在等腰中，，，，交于点O，过A作的垂线交BC于D，过D作的垂线交于G．连接并延长交于M．(1)求证：；(2)连接．求证：．(3)作射线，在上是否存在一点K，使的和有最小值，若有请求出这个最小值，并求出此时的长；如果不存在，请说明理由．    17．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为 ． 18．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，将线段绕着点顺时针方向旋转后得到线段，连接，直线交轴于点． (1)求直线的解析式．(2)若点是点关于直线的对称点，沿着直线平移得到，求的最小值，及此时的坐标． 19．（2023.成都市八年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　． 20．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，等腰的直角边长为，，分别为边，上两个动点，且，则的最小值 ． 21．（23-24九年级上·四川·阶段练习）如图，在等边三角形中，，，点、分别是、上的动点，且，则的最小值为 ． 22．（2023·广东广州·三模）如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ． 24．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在中，，，点N是边 上一点，点M为边上一点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ． 25．（2023·广东广州·一模）如图，中，，点在上，且，为上任意一点，若将绕A点逆时针旋转90°得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 ． 26．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，点P为上任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（  ） A． B． C．8 D．4 27．（2024·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．    28．（2024·湖北武汉·九年级统考期中）如图，四边形ABCD中，CD＝BC＝4，AB＝1，E为BC中点，∠AED＝120°，则AD的最大值是_____． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09. 六类几何最值模型专项训练 本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型。 1．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，已知点是直线上一点，点C是x轴上一定点，四边形是平行四边形，在直线上有一动点P，若的最小值为20，则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点， 直线是两坐标轴夹角的角平分线，点与点关于直线成轴对称，， ，将点代入，， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为， 则，，四边形是平行四边形， ，轴，，在中，，即：， 解得：（舍去），，，故答案为：． 2．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，点，点分别是边上的动点，点在上，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则， ∴，， 当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长， ∵，，，∴，，此时，中，， ∴，∴，∵， ∴，的最小值为，故选B． 3．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点分别为直线上的动点，过点A做，且. （1）的最小值为 ；（2）的最小值为 .    【答案】 【详解】解：（）当时，最小，此时， ∵，∴， 则，∴；故答案为：       （）作点A关于的对称点E，连接，交于点M，此时，最小，由（1）得，即，∵，∴ ∵，∴，故答案为：． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，，∴， 即当三点共线时，的最小值为，∵直线垂直于y轴，∴轴， ∵，，∴，∴在中，，故答案为：5 5．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，动点在射线上，且，当时，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：取的中点D，连接，，∵，∴，，， ∴，∴，∴是等边三角形， 又，∴，又∵，∴， ∴点与点D关于对称，∴， 连接，即当D、Q、B在一条直线上时，的值最小，最小值为的长，过点D作于点E，∵，，∴， ∴，， ∴，∴，故答案为：． 6．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在中，，点，，，为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：过点C作，垂足为F，交y轴于E，连接交于P， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴ ∴，，∴点C、E关于对称，∴，∴， 此时，的值最小．最小值为，∵，∴， ∵，∴，故选：C． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接．则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：如图，平移使点落在点处，连接， 则点的对应点为，即，，，点， 作点关于轴的对称点，当点在同一条线上时，最小， ，，连接，则的最小值为，故选：B． 8．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作且使，连接， ∴四边形是平行四边形，，， ∵点，，∴设点1），∴点． 作点关于x轴的对称点连接，，交x轴于点W， ，∴当点在点W处时，最小，最小值是的长． ，的最小值是故答案为 9．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，点、、分别在、，上，则周长的最小值为（    ）    A．15 B． C． D．20 【答案】C 【详解】解：分别作点E关于，的对称点P，Q．连接，，，，，，    则，，，， ∵，∴，即， ∵，∴，过点A作交于点M， ∵，∴，在中，，∴． 过点A作于点H，在中，， ∴的周长为：．故选：C． 10．（2024·陕西汉中·统考一模）如图，在中，，点是上的动点，连接，过点作，过点作交于点，当取得最小值时，则四边形的周长为______．    【答案】 【详解】解：如图，与交于点，    ，，四边形是平行四边形． 当时，取得最小值，四边形是平行四边形，，， ，，是等腰直角三角形．， ，，，，， 四边形的周长为：． 11．（2024·福建八年级期末）如图，在边长为的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接当的周长最小时，的度数是______． 【答案】 【详解】解：如图，连接，、都是等边三角形， ，，， ，， 在和中，，≌，， 如图，作点关于的对称点，连接，，则， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，此时的周长最小， 由轴对称的性质，可得，，是等边三角形，， ，故答案为：． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在等腰直角中，，在斜边上取点，使得为边上一动点，以为直角顶点，为直角边构造等腰直角(在右侧)，当最小时， ． 【答案】 【详解】解：作于点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连结， 是等腰直角三角形，，， ， ，， 在和中，， ， ，， 如图，则点在经过点，且与垂直的直线上运动， 当时，的值最小，如图，，则，延长交于点，连结， ， ，，，， ，，， ，， ，，， ， ， ，，在中， ，，， ， 故答案为． 13．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，． （1） ．（2）周长的最小值是 ．（用含a、b的代数式表示） 【答案】 30 【详解】解：（1）∵，都是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴；故答案为：； （2）∵，∴点E在射线上运动， 作点A关于直线的对称点M，连接交 于，连接，如图所示： 则，∵， ∴当、、F在同一直线上时，的周长最小，即点E在点处时，的周长最小， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴周长的最小值． 故答案为：． 14．（22-23八年级上·江苏·期中）如图，在中，，且是内一点，若的最小值为，则 ． 【答案】 【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到．连接， 则， 是等边三角形，，， ∴当共线时，的值最小，最小值为线段的长， 的最小值为，， ，，， 作于．则 故答案为： 15．（2024上·福建厦门·九年级校考期中）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，      ∵绕点C顺时针旋转得到∴， ∴为_________三角形，∴ ∵∴∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°． ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值； (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．       【答案】(1)①等边，两点之间选的最短，120；②见解析(2)7(3) 【详解】（1）解：①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，，∴为等边三角形，∴， ∵，∴，∴， 由几何公理：两点之间选的最短，可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．       ②当时，∵，∴， ∴，∴顶点A到另两个顶点距离和最小， ∵，∴， ∴当点P和点A重合时，取最小值，即此时的A点为该三角形的“费马点”． （2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， ∵绕点C顺时针旋转得到，∴，， ∵，∴，∵，∴，∴，则 根据勾股定理可得：，∴； （3）解：根据题意可得：总的铺设成本为万元， 将绕点C顺时针旋转得到，连接， ∴，，∴，则， 当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值， ∵，∴，∴， 根据勾股定理可得：，∴， 根据勾股定理可得：， 即最小值为，∴总铺设成本最少为万元．故答案为：．    16．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在等腰中，，，，交于点O，过A作的垂线交BC于D，过D作的垂线交于G．连接并延长交于M．(1)求证：；(2)连接．求证：．(3)作射线，在上是否存在一点K，使的和有最小值，若有请求出这个最小值，并求出此时的长；如果不存在，请说明理由．    【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在这样的一点K．．理由见解析 【详解】（1）如图，连接．         在与中，，∴．∴． 由得，（等边对等角），∴， 即：．∴．再结合可知， ．∴． 由A可知，．∴． 由，得到，，∴． 在与中，，∴．∴． （2）如下图，设与的交点为L，与的交点为N，与交于P点，连接． 在直角与直角中，，再由已证，得：． ∵（已证），∴， 即：．或由已证得，． 在与中，，∴，则． 在直角与直角中，，∴． ∴．∴．∴， 即：．∴（等角对等边）．由知． 在与中，∴，∴． （3）如下图，由已证及已知条件知，， 则是等腰直角三角形，且． 又已证，所以射线在线段的垂直平分线上，即点K一定在线段的垂直平分线上． 如图1，在等腰直角中，K为内部的任意一点，如果存在一点K，使的和有最小值，则以A为旋转中心，顺时针将旋转，得到，则．   图1  图2  图3 ∵，∴为等边三角形．．∴． 当处在同一条直线上时，的和有最小值．如下图2． 此时因，则．． ． ∴仅当K点满足时，的和有最小值． 因此，作等腰直角三角形的斜边的垂直平分线，与交于H，在上取点K，使，如图3，则，可推得， ，因此K点就是使的和有最小值的费马点． ∵，∴．∴． ．．∴． 故． 因此， 在上存在一点K，使的和有最小值，最小值是． 17．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为 ． 【答案】12 【详解】解：如图，作于，于， ， ∵是等边三角形，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴的最小值为，故答案为：． 18．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，将线段绕着点顺时针方向旋转后得到线段，连接，直线交轴于点． (1)求直线的解析式．(2)若点是点关于直线的对称点，沿着直线平移得到，求的最小值，及此时的坐标． 【答案】(1)(2)的最小值为， 【详解】（1）解：∵点A的坐标是，将线段绕着点O顺时针方向旋转后得到线段， ∴是等边三角形，且，∴，， ∴，，∴点C的坐标是，设直线的解析式为， 则，∴，∴直线的解析式为； （2）解：如图，连接，，，，，由平移可得：，， 由（1）可得：为等边三角形，∴，∴， ∵点是点关于直线的对称点，∴，，， ∴，∴为等边三角形，， ∴， ，∴当与重合时， ∴，此时最小，即的最小值为； 如图，，， ∴，过作于，∴，， ∴，∴； 19．（2023.成都市八年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　． 解：如图，过点作，交的延长线于点， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， 故答案为： 20．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，等腰的直角边长为，，分别为边，上两个动点，且，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解： 过点A作，且，连接，如图所示，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴当为最小时，即为最小，∴当点C、D、H三点共线时即为最小， 连接，交于点M， ∵，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴∴的最小值为；故答案为： ． 21．（23-24九年级上·四川·阶段练习）如图，在等边三角形中，，，点、分别是、上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图（1），过点作，且，连接交于点，连接， ∴，在等边三角形中，， ∴，，， ∴，∴，∵，∴， 在与中，∴， ∴，，故当为与的交点时，如图（2） 此时的值最小，又∵为等腰直角三角形， ∴的最小值为：．故答案为：． 22．（2023·广东广州·三模）如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，取的中点D、G，连接，∴，，∴； ∵，∴的最小值转化为求的最小值；    在等边三角形中，，∴，∴，， ∵，∴，∴；过A作，且，连接， 则，∴，∴，∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长； ∵，在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为．故选：C． 23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，连接，在上方作，使，，连接交轴于点，∵，，∴，∴， ∵，，，∴，∴， ∴，（当三点共线时最短） ∵，∴， ∴的最小值是，故答案为． 24．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在中，，，点N是边 上一点，点M为边上一点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ． 【答案】/1.5 【详解】解：如图，连接，∵点D、E分别为的中点，． 当时，的值最小，此时的值也最小． ，，，， 由勾股定理得：，，，．故答案为：． 25．（2023·广东广州·一模）如图，中，，点在上，且，为上任意一点，若将绕A点逆时针旋转90°得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵将绕A点逆时针旋转得到，∴， ∴即， 在和中，，∴，∴， ∵D点在线段上运动，∴当时，的值最小，即线段有最小值， ∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴是等腰直角三角形， ∵，∴，∴由勾股定理得， ∴线段有最小值为，故答案为：． 26．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，点P为上任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（  ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【详解】解：设与交于点O，作于．如图所示： 在中，，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， 当P与重合时，的值最小，则的值最小，∴的最小值．故选：A． 27．（2024·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．    【答案】； 【详解】解：连接交于点O，过点O作于点K，交于点T，过点A作交的延长线于点M，取的中点R，连接，如图：    ∵，，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴， ∵折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，∴，，， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴的最小值为， ∴的最大值为，故答案为：； 28．（2024·湖北武汉·九年级统考期中）如图，四边形ABCD中，CD＝BC＝4，AB＝1，E为BC中点，∠AED＝120°，则AD的最大值是_____． 【答案】7 【详解】解：如图，作出点B关于AE的对称点M，点C关于DE的对称点N，连接AM、EM，MN、DN、EN． 根据轴对称的性质可得： AM＝AB，BE＝EM，CE＝EN，DN＝CD，∠AEB＝AEM，∠DEC＝∠DMN， ∵∠AED＝120°，∴∠AEB+∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣120°＝60°， ∴∠MEN＝∠AED﹣（∠AEM+∠DEN）＝120°﹣60°＝60°， ∵点E是四边形ABCD的边BC的中点，∴BE＝CE，∴EM＝EN，∴△ENM是等边三角形， ∵AD≤AM+MN+DN，∴AD≤7，∴AD的最大值为7，故答案为：7． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$