第六章 平行四边形 单元综合训练 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第六章　平行四边形 考点1　平行四边形的性质与判定 1.（2024春·阳城县校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知BD＝12，AC＝6，△AOB的周长为14，则DC的长为（　　） 第1题图 A.3　　 B.4　　 C.5　　 D.6 2.（2024·龙岗区二模）如图，▱ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2上，l1∥l2，若∠1＝32°，∠B＝66°，则∠2的度数为（　　） 第2题图 A.32°　　 B.34°　　 C.36°　　 D.44° 3.（2024春·福田区期末）如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） 第3题图 A.OB＝OD　　 B.AB＝CD　　 C.AC＝BD　　 D.AD＝BC 4.（2024春·坪山区期末）如图，在▱ABCD中，已知AD＝10 cm，AB＝6 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　） 第4题图 A.3 cm　　 B.4 cm　　 C.5 cm　　 D.6 cm 5.（2024春·福田区期末）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，BF与AD相交于点E，且BE＝EF，AF∥BC. （1）求证：四边形ADCF为平行四边形； （2）若DA＝DC＝3，AC＝4，求△ABC的面积. 考点2　三角形的中位线 1.（2024春·罗湖区期末）如图，小明要测量池塘的宽度AB，选取点O，使D，E分别是OA，OB的中点，现测得DE的长为28米，则池塘的宽AB大约是　　　　米. 2.（2024春·盐田区期末）如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点，EF＝2，则BD长为　　　　. 3.（2024春·南山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是　　　　. 考点3　多边形的内角和与外角和 1.（2023春·宝安区期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（　　） A.五边形　　 B.六边形　　 C.七边形　　 D.八边形 2.（2023春·盐田区期末）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（　　） A.4　　 B.6　　 C.7　　 D.5 3.（2023·龙岗区校级开学）正十边形的一个外角的度数为（　　） A.144°　　 B.120°　　 C.60°　　 D.36° 4.（2022春·南山区期末）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，则∠D＝　　　　. 【课后作业】 一、选择题 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠A－∠B＝50°，则∠A的度数是（　　） 第1题图 A.130°　　 B.115°　　 C.65°　　 D.50° 2.（2022春·光明区期末）五边形的内角和是（　　） A.180°　　 B.360°　　 C.540°　　 D.720° 3.如图，在▱ABCD中，AD＝5，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝12，则△BOC的周长为（　　） 第3题图 A.10　　 B.11　　 C.12　　 D.17 4.如图，已知△ABC，用尺规进行如下操作：①以点A为圆心，BC长为半径画弧；②以点C为圆心，AB长为半径画弧；③两弧交于点D，连接AD，CD.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的依据是（　　） 第4题图 A.两组对边分别相等　　 B.两组对边分别平行 C.对角线互相平分　　 D.一组对边平行且相等 5.（2024春·福田区期末）如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE交AE延长线于点F，垂足为点F，连接FD，若AB＝6，AC＝3，则DF的长为（　　） 第5题图 A.2.5　　 B.2　　 C.1.5　　 D.1 二、填空题 6.（2024春·福田区期末）若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为　　　　. 7.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处.若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为　　　　. 第7题图 8.（2024秋·龙华区期中）如图，在△ABC中，BA＝BC＝5，AC＝6，点D，点E分别是BC，AB边上的动点，连接DE，点F，点M分别是CD，DE的中点，则FM的最小值为　　　　. 第8题图 三、解答题 9.（2024·福田区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点O. （1）试说明AF与DE互相平分； （2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长. 10.（2024春·南山区期末）如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上. （1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：　　　　，使得四边形EGFH是平行四边形，并说明理由； （2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，OE＝OF，AE＋CF＝EF，求EG的长. 11.（2024秋·罗湖区月考）探究一： （1）如图1，在△ABC中，∠A＝64°，BP，CP分别是两个内角∠ABC，∠ACB的平分线，则∠P＝　　　　度. （2）如图2，在△ABC中，∠A＝70°，BP，CP分别是两个外角∠CBD，∠BCE的平分线，则∠P＝　　　　度. 探究二：（1）如图3，在△ABC中，BP是三角形内角∠ABC的平分线，CP是外角∠ACD的平分线.请说明∠P和∠A之间的数量关系？并证明你的结论. （2）如图4，在四边形ABCD中，BP是内角∠ABC的平分线，CP是外角∠DCE的平分线，请直接写出∠P与∠A，∠D之间的数量关系.（不用说明理由） 第六章　平行四边形 考点1　平行四边形的性质与判定 1.C　2.B　3.A　4.B 5.（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE. 又∵FE＝BE，∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝DB. ∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC， ∴四边形ADCF为平行四边形. （2）解：∵DA＝DC＝3，DB＝DC， ∴DA＝DC＝DB＝BC，∴BC＝6， ∵∠ACD＋∠CAD＋∠DAB＋∠DBA＝180°，∠ACD＝∠CAD，∠DAB＝∠DBA， ∴∠CAD＋∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°， ∴AB＝＝＝2， ∴S△ABC＝AB·AC＝×2×4＝4. 考点2　三角形的中位线 1.56　2.4　3.20° 考点3　多边形的内角和与外角和 1.C　2.D　3.D 4.110°　解析：如图， ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，∴∠5＝360°－290°＝70°， ∴∠CDE＝180°－70°＝110°.故答案为110°. 【课后作业】 1.B　2.C　3.B　4.A 5.C　解析：如图，分别延长AC，BF交于点G， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠GAF. ∵BF⊥AE， ∴∠AFB＝∠AFG＝90°. 在△AFB和△AFG中， ∴△AFB≌△AFG（ASA）， ∴AG＝AB＝6，BF＝FG，∴CG＝AG－AC＝6－3＝3. ∵BF＝FG，BD＝DC，∴DF是△BCG的中位线， ∴DF＝CG＝1.5，故选C. 6.12　7.110° 8.　解析：如图，连接CE，过点B作BH⊥AC于H， ∵点F，点M分别是CD，DE的中点，∴MF是△DEC的中位线， ∴MF＝CE. ∵BA＝BC，BH⊥AC，∴AH＝HC＝AC＝3， ∴BH＝＝＝4， 当CE⊥AB时，CE最小，此时AC·BH＝AB·CE， ∴×6×4＝×5CE，解得CE＝， ∴FM的最小值为. 9.解：（1）∵E，F分别是BC，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB且EF＝AB. 又AB＝2AD，即AD＝AB， ∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AF与DE互相平分. （2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12， ∴由勾股定理得AC＝＝＝4. 又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，∴OA＝AC＝， ∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝， ∴由勾股定理，得DO＝＝＝. 10.解：（1）AE＝CF（答案不唯一）.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴∠GAE＝∠HCF. ∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH. ∵AE＝CF，∴△AGE≌△CHF（SAS）， ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE， ∴GE∥HF. 又∵GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形. 故答案为AE＝CF.（答案不唯一） （2）如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD. ∵BD＝10，∴OB＝OD＝5. ∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF. ∵AE＋CF＝EF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE. 又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线， ∴EG＝OB＝2.5.∴EG的长为2.5. 11.解：探究一： （1）∵∠A＝64°，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠ABC＋∠ACB＝116°. ∵BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠PBC＋∠PCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝×116°＝58°. ∵∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°， ∴∠P＝180°－58°＝122°. 故答案为122. （2）∵∠A＝70°，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠ABC＋∠ACB＝110°. ∵BP，CP分别平分∠DBC，∠ECB， ∴∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠ECB， ∴∠PBC＋∠PCB＝（∠DBC＋∠ECB） ＝（180°－∠ABC＋180°－∠ACB） ＝180°－（∠ABC＋∠ACB） ＝180°－×110° ＝125°， ∴∠P＝180°－（∠PBC＋∠PCB）＝180°－125°＝55°. 故答案为55. 探究二： （1）∠A＝2∠P.证明如下： ∵BP是△ABC内角∠ABC的平分线，CP是外角∠ACD的平分线， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD. ∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角， ∴∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠PCD＝∠PBC＋∠P， ∴∠ACD＝∠ABC＋∠A， ∴∠ABC＋∠A＝∠PBC＋∠P， ∴∠A＝2∠P. （2）∠P＝（∠A＋∠D）－90°　解析：由四边形内角和定理，得∠BCD＝360°－∠A－∠D－∠ABC， ∴∠DCE＝180°－（360°－∠A－∠D－∠ABC）＝∠A＋∠D＋∠ABC－180°. 由三角形的外角性质，得∠PCE＝∠P＋∠PBC， ∵BP，CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠DCE， ∴∠P＋∠PBC＝（∠A＋∠D＋∠ABC－180°）＝（∠A＋∠D）＋∠ABC－90°， ∴∠P＝（∠A＋∠D）－90°. 学科网（北京）股份有限公司 $$