专题17 将军饮马模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题17.将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 29 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 53 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 68 79 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____． 【答案】15°##15度 【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD， ∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°， ∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形， ∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°． 例2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，等边中，于点H，点D为的中点，，点E为上一点，连接，如果，那么m的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：连接， ∵等边中，于点H，∴点关于对称，∴， ∴，∵点D为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴m的最小值为4；故答案为：4． 例3．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：如图所示：连接．∵，D是中点，∴于点D， ∵，，∴，∴， ∵垂直平分，∴，∴，    ∴，∴的最小值为6．故选：B． 例4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（    ）    A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如图，作于，交于，连接，，    在中，，，是等边三角形， ，，，， 点关于的对称点为点，，， 当、、在同一直线上且时，的值最小，为， 的最小值是，故选：B． 例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值 ．    【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作交于点，如图所示：    则，∴， ∵点E别是上的动点，∴时，有最小值 ∵，∴故答案为： 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （3）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）∵自来水厂到两村的距离相等，即MA=MB， ∴M在AB的垂直平分线上，如图：厂址应该选在M处； （2）由题意可知，若自来水厂到两村的输水管用料最省，即AN+BN最小， 如图，A′为点A关于CD的对称点，连接A′B，与CD交于点N，则厂址应该选在点N处； （3）若最大，根据三角形两边之差小于第三边，如图， 可知P位于AB与CD交点处时，|PA-PB|最大； 例2．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 【详解】解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC， 又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm）， 在MN上取点P，∵MN垂直平分AC连接PA、PB、PC ∴PA＝PC ∴PA﹣PB＝PC﹣PB 在△PBC中PC﹣PB＜BC 当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm． 例3．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；    由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形，∴， ∴∴是等边三角形 ∴即：的最大值为故选：A． 例4．（2024·湖北·八年级期中）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ． 【答案】123° 【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB， ∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°， 又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°， ∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∵，∴， ∴，∵周长， ∴当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形，∴， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小6，故选C． 例2．（2024·江苏·无锡八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F． 此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF． ∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP， 同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP． ∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α． 又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4， ∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A． 例3．（2024·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM． ∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN， ∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF， ∵FM+EN+EF≥MN，∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值为MN=2CD， ∵CD⊥AB，∴•AB•CD=•AB•AC，∴CD===2.4， ∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选：C． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 例1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，，， 的最小值为的长． ，，，，，， ，△为等边三角形，， 即 的值最小为3；故答案为：3 例2．（2024·湖北·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点． （1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【详解】证明：（1）在中，，， 点是斜边的中点，，是等边三角形； （2）如图，连接， 和都是等边三角形，，， ，垂直平分，， 同理可得：垂直平分，，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 故的最小值为4． 1．（2024·河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作N关于BD的对称点，连结N，与BD交于点O，过C作CE⊥AB于E，则 ∵BD平分 ∠ABC ，∴在AB上，且MN=M，∴CM+MN=， ∴根据两点之间线段最短可得CM+MN 的最小值为，即C点到线段AB某点的连线， ∴根据垂线段最短，CM+MN 的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度， ∵△ABC 的面积为 10 ，∴，∴CE=5，故选B． 2．（2024·甘肃白银·七年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 【答案】A 【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D， ∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小， ∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4， ∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A． 3.（2024•绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 【答案】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°， ∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故选：B． 4．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵，∴，， ∴．∴，故选：B． 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，，是的角平分线，点、点分别是线段和边上的动点，点在边上，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，作点关于的对称点连接 则，， ∴， 当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长， 在中，，∴，∴的最小值为，故选：． 6．（2024·福建厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作E关于直线AG的对称点，连接，交于点C，连接，则点C所在的木杆c应优先选择． ∵点E与点关于对称，∴，∴， 由两点之间线段最短可知此时的值最小．故选C． 7．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，点为射线上一定点，为线段延长线上一定点，且，点A关于射线对称点为，连接，，，若为直线上一个动点，则周长的最小值为（   ）．    A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【详解】解：如图：连接，    ∵点A关于射线对称点为，∴垂直平分，∴， 在和中，、、, ∴，∴, ∵，∴∴， ∵，∴，∴为等边三角形，∴， ∵垂直平分，∴，∴， ∵，∴ 当且仅当P、A、E共线时取等号，即点P点运动到B点时，的最小值为24，此时周长的最小值为36．故选C． 8．（23-24四川省成都市七年级期末）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为1，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，连接， 则：， ∴，∴为等边三角形，∴， ∴的周长， ∴当四点共线时，的周长最小，为的长，即为的长， ∴当最小时，的周长最小，过点作，过点作， ∴，， ∴，，∴点在平行于且距离等于的直线上， ∴当为与的交点时，的长度最小，此时， ∴周长的最小值为；故答案为：． 9．（2024·陕西安康·八年级期末）如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为____________． 【答案】6 【详解】解：如图所示，在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于．∵的面积为24，的长为8，∴，∴， ∵平分，∴又∵，，∴≌（SAS）， ∴，∴， ∵E、F分别是和上的动点，∴，∴ ∴当C、E、共线且点与点H重合时，即，这时的值最小， ∴最小值为6．故答案为：6． 10．（2024·清远市八年级期中）如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________． 【答案】 【详解】解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″， 由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′， ∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F， ∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G， ∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，∴2∠AOB+∠GDF=180°，故答案为2∠AOB+∠GDF=180°． 11．（2024·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）． 【答案】50 【详解】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即， ∴， ∵，∴， ∵，，∴ ， ∴ ．故答案为：50． 12．（2024·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________． 【答案】2 【解析】作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″, 由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R, △PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2, 所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,所以,△OP′P″是等边三角形,所以,PP′=OP′=2．故答案为:2. 13．（2024·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______． 【答案】5 【详解】解：如图， 作点关于射线的对称点，连接、，B'P． 则，，，． ∵ ，∴，∴ 是等边三角形，∴， 在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5． ∴的最大值是5．故答案为：5． 14．（2024·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________． 【答案】3 【详解】解：连接PC， ∵在等边中，，P是的中线上的动点， ∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴=CP-PE， ∵在中，CP-PE＜CE，∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE， ∵E是边的中点，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3． 15．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．    【答案】/90度 【详解】∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，∴点B和点C关于轴对称，连接交于点F，则，    ∴，即：此时，取得最小值， ∵等边的边长为4，，∴E是的中点，∴，∴．故答案是：． 16．（2024·山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点． （1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，； （3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 【答案】（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7 【详解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE， ∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC， ∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE=CD，∴CD与BE始终相等； （2）∵DE∥BC，∴AD=AE，∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5； （3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC， 作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P， ∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E，∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，∴CD′=7，又∠C=60°， ∴△CD′E为等边三角形，∴D'E=CD′=7，∴PD+PE的最小值为7． 17．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）（1）如图1，A、B是直线同旁的两个定点． 请你在直线上确定一点，使的值最小． （2）如图2，，是内一点，． 请你在上找一点，在上找一点，使得的周长最小． 要求：画出图形，并计算这个最小值是 ．       【答案】（1）见解析；（2）作图见解析；10 【详解】解：（1）过点A作，并在上截取，连接交于点，连接，点即为所求，如图：∵垂直平分，∴，∴，       ∵两点之间线段最短，∴此时最小，即最小． （2）作出点关于、的对称点、，连接、，连接交于点Q、R，此时的周长最小，如图：根据对称性可得出：，，，，，∴， ∵两点之间线段最短，∴此时的周长最小，∵，∴， ∵，∴为等边三角形， ∴，∴的周长最小值为．故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17.将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 29 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 53 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 68 79 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____． 例2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，等边中，于点H，点D为的中点，，点E为上一点，连接，如果，那么m的最小值为 ． 例3．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 例4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（    ）    A．5 B．6 C．8 D．9 例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值 ．    模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （3）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 例2．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 例3．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 例4．（2024·湖北·八年级期中）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 例2．（2024·江苏·无锡八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 例3．（2024·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 例1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 例2．（2024·湖北·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点． （1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值． 1．（2024·河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃白银·七年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 3.（2024•绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 4．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，，是的角平分线，点、点分别是线段和边上的动点，点在边上，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·福建厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，点为射线上一定点，为线段延长线上一定点，且，点A关于射线对称点为，连接，，，若为直线上一个动点，则周长的最小值为（   ）．    A．12 B．24 C．36 D．48 8．（23-24四川省成都市七年级期末）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为1，则周长的最小值为 ． 9．（2024·陕西安康·八年级期末）如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为____________． 10．（2024·清远市八年级期中）如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________． 11．（2024·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）． 12．（2024·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________． 13．（2024·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______． 14．（2024·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________． 15．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．    16．（2024·山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点． （1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，； （3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 17．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）（1）如图1，A、B是直线同旁的两个定点． 请你在直线上确定一点，使的值最小． （2）如图2，，是内一点，． 请你在上找一点，在上找一点，使得的周长最小． 要求：画出图形，并计算这个最小值是 ．       1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$