专题20 三角形中的倒角模型专项训练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题20 三角形中的倒角模型专项训练 本专题包含“8”字模型、“A”字模型、三角板模型、高分线模型、双（三）垂直模型、双角平分线模型、燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型、平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型等。 1．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，，则（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江西·阶段练习）如图1，在同一平面内，四条线首尾顺次相接，相交于点O，分别是和的平分线，，．如图2，、相交于点．(1)当时，判断与的大小关系，并说明理由．(2)当时，请直接写出与，的数量关系． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 4．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，，则 ． 5．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则______度，______度，______度；(2)类比探索：请猜想与的关系； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与满足的数量关系式； (4)深入探究：如图2，过点A作直线，若，求的大小． 6．（2024·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 7．（2024·山西吕梁·校联考模拟预测）如图：和是两块直角三角尺，两直角三角尺的斜边AB、DE在同一直线上，其中，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023春·四川成都·七年级统考期末）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目．      (1)若为等腰直角三角形，且；①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么　 　度； ②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程；(2)若为等腰三角形，已知． 丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程． 9．（2024·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．(1)图1中，的度数是______．(2)①求图1中的度数；②图2中，，求的度数．    10．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在中，，，于，平分，与交于点，求． 11．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AE是BC边上的高，AD平分∠BAC．(1)求∠BAD的度数；(2)求∠EAD的度数． 12．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，于点．猜想，，的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： /度 10 30 30 20 20 /度 70 70 60 60 80 /度 30 15 20 30 上表中__________，于是得到，，的数量关系为__________； (2)小明继续探究，如图2，在线段上任取一点，过点作于点，请尝试写出，，之间的数量关系，并说明理由； (3)小明突发奇想，交换，两个字母位置，如图3，过的延长线上一点作交的延长线于点，当，时，的度数为__________． 13．（23-24七年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，且，，， ． 14．（2024·浙江宁波·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是（      ） A． B．1 C．3 D．2 15．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，，，垂足分别为点D、E，AD、CE交于点H，．下列结论：①；②；③；④．你认为正确的有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 16．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，，交于点，是角平分线，延长交的外角的平分线于点，点为上一点，且，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 17．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中． (1)如果，，是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长．(2)如果、分别是和的角平分线．①当时，求的度数．②当时，求的度数． 18．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． (1)当时，求证：；(2)在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由；(3)连接，是线段上的动点，是线段上的动点，当，时，求的最小值． 19．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）普于学习的小亮同学借助数学软件做了以下探究．如图①，已知与的角平分线与相交于点，并且平分的外角．设，，．若不断变化的度数，与的数值大小也发生变化，得到下面几组对应值： 50 60 70 80 90 115 120 130 135 25 30 40 45 (1)直接写出上表中　　　　；　　　　；(2)写出数值与的函数关系　　　　；写出数值与的函数关系　　　　；并对其中的一种函数关系解释理由；(3)如图②，用剪刀剪下，剪痕交、分别于、两点，得到四边形，若，求的度数； (4)如图③，在图①的情况下再作与外角的角平分线相交于点，继续作与外角的角平分线相交于点，以此类推，作与外角的角平分线相交于点．直接写出度数的大小（用的关系式表示）． 20．（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线．试说明的理由． 解：因为平分（已知），所以 （角平分线定义）．同理： ． 因为，， ，所以 （等式性质）．即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程：如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 21．（23-24七年级下·吉林长春·期中）阅读下面材料，并解决问题．【问题情境】如图1，已知在中，，的角平分线交于点O，则；（不需证明）      【问题探究】（1）如图2，在中，若，，的三等分线交于点，．则______，______；（2）如图3，在四边形中，若，，，的三等分线交于点，．求，的度数． 【问题解决】（3）如图4，在四边形中，是四边形的外角，若，，，的三等分线交于点，．则______，______．（用含，的式子表示）． 22．（23-24八年级上·广东·课后作业）（1）如图1，求证：． （2）如图2，，的二等分线（即角平分线），交于点F．已知，，求的度数．    23．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，与的平分线交于点与的平分线交于……依次类推，与角平分线交于点，则的度数为 24．（2024·河南平顶山·八年级统考期末）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接，若，则 ． 25．（2024·云南昆明·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B＝20°，∠D＝25°，则∠BCD等于 度． 26．（2024·新疆·八年级校考期中）如图，，，，则（    ）    A． B． C． D． 27．（2023春·四川南充·七年级校考期中）如图：直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．    28．（2024·重庆·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证：；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数． 29．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（　　） A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180° 30．（2024·四川德阳·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠A＝60°将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′DB＝50°，那么∠A′ED的度数为 ． 31．（2023·河南安阳·八年级校考期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（    ） A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2） C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2 32．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，分别是的高和角平分线，点F在的延长线上，于点G，分别交，，于点M，N，H．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 33．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）【探究学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． 【概念理解】（1）如图1，在中，，平分，则与 （填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； 【概念应用】（3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 34．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，沿图中虚线截去，则的度数是（    ） A． B． C． D． 35．（2024·海南·八年级统考期末）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（    ）    A．20° B．25° C．30° D．50° 36．（2024·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 ． 37．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）    A． B． C． D． 38．（2024·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 39．（2024·山东聊城·八年级校联考期中）如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A． B． C． D． 40．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（　　）    A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF 41．（2024·安徽滁州·八年级统考期末）中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．    （1）如图1，当平分时，若，，则 ； （2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 . 42．（2024广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________． （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长． （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 三角形中的倒角模型专项训练 本专题包含“8”字模型、“A”字模型、三角板模型、高分线模型、双（三）垂直模型、双角平分线模型、燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型、平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型等。 1．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴． ∵，∴．∴．故选：A． 2．（23-24八年级上·江西·阶段练习）如图1，在同一平面内，四条线首尾顺次相接，相交于点O，分别是和的平分线，，．如图2，、相交于点．(1)当时，判断与的大小关系，并说明理由．(2)当时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)；理由见解析(2) 【详解】（1）解：如图2，当时，理由如下：在和中，， 在和中，，∵，∴， ∵、分别是和的平分线， ∴，，∴，∴； （2）解：当时，， ∵，， ∴，，所以． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 【答案】（1）见详解；（2）；（3），理由见详解；（4） 【详解】解：（1）在中，， 在中，，，； （2）、分别平分．， 由（1）的结论得：，①②，得 ． （3）如图3，平分的外角，平分的外角， ，，，， ，， ，； （4）由（1）可知：，，， ，， ，，，，， ，， ， ．故答案为：． 4．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，，则 ． 【答案】/280度 【详解】∵，∴， ∴．故答案为：． 5．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则______度，______度，______度；(2)类比探索：请猜想与的关系； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与满足的数量关系式； (4)深入探究：如图2，过点A作直线，若，求的大小． 【答案】(1)140，90，50；(2)；(3)（2）中的结论不成立，，，；(4)． 【详解】（1）解：由题意，在中，； 在中，∵， ∴．故答案为：140，90，50． （2）解：猜想：．理由：在中，， ∵，∴， ∴，又∵在中，， ∴，∴，∴． （3）解：判断：（2）中的结论不成立．①如图中，结论：． 理由：设交于．∵，∴，∴． ②如图中，结论：． 证明：设交于．∵，∴，∴． ③如图中，结论：． 理由：∵，， ∴，∴． （4）解：延长交于点Q，由题意，∵，∴． 又，,∴．∴． 6．（2024·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】见解析 【详解】解：和是的外角，． 又，． 7．（2024·山西吕梁·校联考模拟预测）如图：和是两块直角三角尺，两直角三角尺的斜边AB、DE在同一直线上，其中，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵由题意得，， ∴，故选：B 8．（2023春·四川成都·七年级统考期末）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目．      (1)若为等腰直角三角形，且；①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么　 　度； ②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程；(2)若为等腰三角形，已知． 丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程． 【答案】(1)①105；②75°(2) 【详解】（1）解：①∵，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：105； ②∵，∴， 如图2，过点P作，∵，∴，    ∴，∴； （2）由②得：，∵，∴， ∵，∴， ∴． 9．（2024·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．(1)图1中，的度数是______．(2)①求图1中的度数；②图2中，，求的度数．    【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：∵，，∴，故答案为：； （2）解：①∵，，∴； ②∵，，∴， 又∵，∴． 10．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在中，，，于，平分，与交于点，求． 【答案】 【详解】解：∵在中，，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴． 11．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AE是BC边上的高，AD平分∠BAC．(1)求∠BAD的度数；(2)求∠EAD的度数． 【答案】(1)30°(2)10° 【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－50°－70°=60°， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=30°． （2）解：∵∠ADE是△ABD的外角，∴∠ADE=∠B+∠BAD=50°+30°=80°， ∵AE是BC边上的高，∴∠DAE=90°－∠ADE=10°． 12．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，于点．猜想，，的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： /度 10 30 30 20 20 /度 70 70 60 60 80 /度 30 15 20 30 上表中__________，于是得到，，的数量关系为__________； (2)小明继续探究，如图2，在线段上任取一点，过点作于点，请尝试写出，，之间的数量关系，并说明理由； (3)小明突发奇想，交换，两个字母位置，如图3，过的延长线上一点作交的延长线于点，当，时，的度数为__________． 【答案】(1)20；(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴，即：． 之间的关系是：． 理由如下：∵，∴， ∵平分， ∴， ∵，∴． 故答案为：20，． （2）解：之间的数量关系是：．理由如下： 如图：过点A作于F，       由（1）可知：，∵，∴． （3）解：如图：过点B作交EF于点G， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴．故答案为： 13．（23-24七年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，且，，， ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，是边上的高，∴， ∵，，，∴．故答案为：． 14．（2024·浙江宁波·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是（      ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：，，，，， 在和中，，，， 则．故选：B． 15．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，，，垂足分别为点D、E，AD、CE交于点H，．下列结论：①；②；③；④．你认为正确的有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：假设成立，∵，∴， ∵，矛盾，∴不成立，故①错误． ∵，，∴， 在和中，∴∴故②正确． ∵，∴故③正确．延长交于点L，    ∵，，∴， ∵，∴，∴，故④正确．故选：B． 16．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，，交于点，是角平分线，延长交的外角的平分线于点，点为上一点，且，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：①，，，， 平分，，， 又，，故结论①正确； ②，，， 是的平分线，， ，，， ，即：，， ，，即：，故结论②正确； ③假设平分，则，由结论②正确得：，则， ，， ，，平分，， ，即：，，， 根据已知条件无法判定，因此假设平分是错误的．故结论③不正确； ④由结论①正确得：，，即：， 由结论②正确得：，则，， ，，， ．故结论④正确．综上所述：正确的结论是①②④．故选：C． 17．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中． (1)如果，，是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长．(2)如果、分别是和的角平分线．①当时，求的度数．②当时，求的度数． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：由三角形三边关系可得：，即， 是能被3整除的偶数，，的周长； （2）解：①，，， 、分别是和的角平分线，，， ， ； ②，，， 、分别是和的角平分线，，， ， ． 18．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． (1)当时，求证：；(2)在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由；(3)连接，是线段上的动点，是线段上的动点，当，时，求的最小值． 【答案】(1)见详解(2)的大小不变，(3)的最小值为4 【详解】（1）如图1 ∵，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴； （2）如图2，的大小不变，．理由如下： ∵，，∴， ∵，，∴， ∵，分别平分，，∴， ∵，∴； （3）如图3，过点作于，过点作于，于， 于， ∵平分，，，∴， ∵平分，，，∴，∴，∴平分， 作点关于的对称点，连接，，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴的最小值为4． 19．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）普于学习的小亮同学借助数学软件做了以下探究．如图①，已知与的角平分线与相交于点，并且平分的外角．设，，．若不断变化的度数，与的数值大小也发生变化，得到下面几组对应值： 50 60 70 80 90 115 120 130 135 25 30 40 45 (1)直接写出上表中　　　　；　　　　；(2)写出数值与的函数关系　　　　；写出数值与的函数关系　　　　；并对其中的一种函数关系解释理由；(3)如图②，用剪刀剪下，剪痕交、分别于、两点，得到四边形，若，求的度数； (4)如图③，在图①的情况下再作与外角的角平分线相交于点，继续作与外角的角平分线相交于点，以此类推，作与外角的角平分线相交于点．直接写出度数的大小（用的关系式表示）． 【答案】(1)125，35；(2)，，理由见解析；(3)(4) 【详解】（1）解：观察表格发现，每增加，和增加， ，，故答案为：125，35； （2）解：数值与的函数关系为：，理由如下： ，，， 、分别平分、，，， ，，即； 值与的函数关系为：，理由如下：是的外角，， 是的外角，， 平分，，，，即； （3）解：四边形的内角和为，且，， 、分别平分、，，， ，； （4）解：由（2）可知，，，，…… 观察发现，． 20．（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线． 试说明的理由． 解：因为平分（已知），所以 （角平分线定义）．同理： ． 因为，， ，所以 （等式性质）．即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程：如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）见解析 【详解】（1）解：因为平分（已知），所以（角平分线定义）．同理：． 因为，（三角形的内角和等于180， 所以（等式性质）． 即：． （2）解：与之间的等量关系是：．理由： 、分别是的两个外角、的平分线， ，，， ，而，， ，， ，， 与之间的等量关系是：． 理由：、分别是的一个内角和一个外角的平分线，， 即： （3）解：因为平分（已知），所以（角平分线定义）． 同理：，． ，（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和）， ． 又（已知），（等式性质）． （平角的定义），． （三角形的内角和等于，（等式性质）． （等量代换）．．（等角对等边）． 21．（23-24七年级下·吉林长春·期中）阅读下面材料，并解决问题． 【问题情境】如图1，已知在中，，的角平分线交于点O，则；（不需证明）    【问题探究】（1）如图2，在中，若，，的三等分线交于点，．则______，______；（2）如图3，在四边形中，若，，，的三等分线交于点，．求，的度数． 【问题解决】（3）如图4，在四边形中，是四边形的外角，若，，，的三等分线交于点，．则______，______．（用含，的式子表示）．    【答案】（1），，（2），，问题解决：，， 【详解】（1）∵，∴， ∵和的三等分线相交于点、， ∴，，，， ∴，， ∴，； （2）四边形可以看做是两个三角形拼接而成，故四边形的内角和可以看做是两个三角形的内角和的和，即四边形的内角和为，∵在四边形中，若，， ∴，∵，的三等分线交于点，， ∴，，，， ∴，， ∴，； 问题解决：∵，的三等分线交于点，， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，∴，， ∵在四边形中，，，∴， ∴， ∴，． 22．（23-24八年级上·广东·课后作业）（1）如图1，求证：． （2）如图2，，的二等分线（即角平分线），交于点F．已知，，求的度数．    【答案】（1）见解析；（2） 【详解】证明：（1）延长交于点D，如图所示：    ∵，，∴； （2）根据解析（1）可知，， ∵，，∴， ∵，的二等分线（即角平分线），交于点F， ∴，，∴， 根据解析（1）可知，， ∴． 23．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，与的平分线交于点与的平分线交于……依次类推，与角平分线交于点，则的度数为 【答案】 【详解】解：，，， 平分，平分，，， 平分，平分，，， 同理可得，，，， ， 故答案为． 24．（2024·河南平顶山·八年级统考期末）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接，若，则 ． 【答案】/260度 【详解】如图，连接， 则，， ∵，∴，∴，故答案为：． 25．（2024·云南昆明·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B＝20°，∠D＝25°，则∠BCD等于 度． 【答案】125 【详解】解：如图，连接AC，延长到E， ∵∠BCE＝∠B+∠BAE，∠DCE＝∠D+∠DAE，∴∠BCE+∠DCE＝∠B+∠BAE+∠D+∠DAE， ∵∠BCD＝∠BCE+∠DCE，∠BAD＝∠BAE+∠DAE，∴∠BCD＝∠B+∠D+∠BAD， ∵∠BAD＝80°，∠B＝20°，∠D＝25°，∴∠BCD＝20°+25°+80°＝125°．故答案为：125． 26．（2024·新疆·八年级校考期中）如图，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的一个外角，∴， ∵是的一个外角，∴，故选：C． 27．（2023春·四川南充·七年级校考期中）如图：直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．    【答案】87° 【详解】解：在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-67°-74°=39°． 在△ADE中，∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-39°-48°=93°， 所以，∠BDF=180°-∠ADE=180°-93°=87°． 28．（2024·重庆·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证：；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）240° 【详解】（1）证明：延长CD交AB于点E，如图： ∵是的外角，∴． ∵是的外角，∴， ∴． （2）解：∵和是对顶角，∴． 由（1）的结论可知，， ∴． 29．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（　　） A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180° 【答案】D 【详解】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x， ∵，∴，，∴γ+β＝∠B+∠C＝α， ∵EB′∥FG，∴∠CFG＝∠CEB′＝y，∴x+2y＝180°①， 根据平行线的性质和翻折的性质可得：，，∴， ∵γ+y＝2∠B，同理可得出：β+x＝2∠C，∴γ+y+β+x＝2α，∴x+y＝α②， ②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，∴∠C′FE＝2α﹣180°．故选：D． 30．（2024·四川德阳·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠A＝60°将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′DB＝50°，那么∠A′ED的度数为 ． 【答案】55°/55度 【详解】解：∵∠ADA′=180°-∠A′DB=180°-50°=130°， ∴根据折叠的性质得：∠A′DE=∠ADE=∠ADA′=65°，∠DA′E=∠A=60°， ∴∠A′ED=180°-∠A′DE-∠DA′E=180°-65°-60°=55°．故答案为：55°． 31．（2023·河南安阳·八年级校考期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（    ） A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2） C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2 【答案】A 【详解】解：根据折叠的性质，得． 在中，，在中，， ∴，即．故选A． 32．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，分别是的高和角平分线，点F在的延长线上，于点G，分别交，，于点M，N，H．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，故①符合题意； ∵，平分，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，故②不符合题意； ∵，，∴， ∵，∴，故③符合题意； ∵，∴， ∵，∴，故④符合题意， 综上所述，正确的有①③④，故答案为：①③④． 33．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）【探究学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． 【概念理解】（1）如图1，在中，，平分，则与 （填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； 【概念应用】（3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3）或或或． 【详解】解：（1）∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴，∴与互为“类似三角形”．故答案为：是． （2）证明：∵，，∴， ∵平分，∴，∴， ∴是等腰三角形，， ∴为的完美分割线． （3）（Ⅰ）当是等腰三角形时，①如图1， 当时，则，∴， ∵，∴；∴，， ∵，∴，∴此种情况符合题意； ②如图2，当时，则， 此时，∴； ∴，，∵， ∴，∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形时，①如图3， 当时，，∴， ∵，∴，∴， ∴；，，∴，， ∵，∴，∴此种情况符合题意； ②如图4，当，时，∴， 由，得，∴， ∴， ∴，； ∴，， ∵，∴，∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在；综上所述：或或或． 34．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，沿图中虚线截去，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，，故选：C． 35．（2024·海南·八年级统考期末）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（    ）    A．20° B．25° C．30° D．50° 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， 由作图可知：平分，∴，故选C． 36．（2024·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 ． 【答案】11 【详解】解：∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB， ∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，∴ME＝BM，EN＝CN， ∵BM＋CN＝11，∴EM＋EN＝11，即MN＝11，答案为：11． 37．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：，的三边，，长分别是，，， ∴．故选：C． 38．（2024·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2 【详解】（1）作，作DHAB垂足分别为F，H ∵BD是的角平分线． ∴DF=DH 则有：= = （2）作BECA垂足为E 则有： = = ∴= （3）由（2）知，= BC=4，AB=6，AC=5， 故答案为：2 39．（2024·山东聊城·八年级校联考期中）如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过D点作于E，如图， ∵是的平分线，，，∴， ∴．故选：B． 40．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（　　）    A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF 【答案】C 【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B， ∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAF，∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF， ∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF．故选C． 41．（2024·安徽滁州·八年级统考期末）中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．    （1）如图1，当平分时，若，，则 ； （2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 . 【答案】 / 9 【详解】解：（1）如图1，过D作于E，于F，是的角平分线，，    ，，，故答案为：； （2），∴，，，平分， 由（1）可知：，， ，故答案为：9． 42．（2024广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________． （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长． （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明． 【答案】（1）5，，20（2）2，，证明见详解，18 （3），证明见详解 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，，∴， ∴等腰三角形有，共计5个，∴，即， ∴的周长， 故答案为：5，，20； （2）若为不等边三角形，∵平分，平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴等腰三角形有，共计2个，故答案为：2； ∵，∴，即； ∴的周长； （3）与、之间的数量关系为：， 证明：∵平分，平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，即与、之间的数量关系为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$