专题06 翻折模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题06 翻折模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是的考查热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，以这个性质为基础，结合相关角度来考查。（本学期受计算工具限制，本专题暂时主要对翻折中的角度问题作探究）本专题以常见图形为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.图形翻折模型 1 37 模型1.图形翻折模型 1）如图，将长方形纸片沿EF翻折，则∠1=∠2= ∠3，三角形EFG是等腰三角形。 2）如图，将△ABC沿DE翻折 （1）若A’落在线段BE上，如图1，则∠1= 2∠A； （2）若A’落在△ABC内部，如图2，则∠1+∠2= 2∠A； （3）若A’落在△ABC外部，如图3，则∠1-∠2= 2∠A。 例1．（23-24八年级上·广东茂名·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠2-∠1=20°，则∠EFC的度数为（　　　） A．100° B．110° C．130° D．135° 例3．（2024·辽宁丹东·九年级阶段练习）如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ．    例4．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，将一张长方形的纸片沿折叠，点B到达点的位置．已知，，则 °． 例5．（2024下·广东惠州·八年级校考期中）如图，已知长方形，将沿对角线折叠，记点的对应点为，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 例6．（23-24七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ． 例7．（2024下·江西赣州·七年级统考期末）综合与实践：折纸中的数学 知识背景：我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线． 知识初探(1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝　 　； 类比再探：(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由． 例8．（2024·山东淄博·七年级统考期中）如图，将沿所在的直线翻折，点B在边上落点记为点E，已知，，那么的度数为 ． 例9．（2024下·吉林松原·七年级统考期末）如图，四边形中，点分别在上，将沿翻折，得，若则的度数为（  ） A． B． C． D． 例10．（2024下·上海杨浦·七年级统考期末）如图，在中，D、E分别是边AB和AC上的点，将纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么 度．    例11．（2024春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1，中，，，．点是边上的定点，点在边上运动，沿折叠，折叠后点落在点处．下面我们来研究折叠后的有一边与原三角形的一边平行时的值．    (1)首先我们来研究边．因为和的、相交，所以只有一种可能的情况（如图2），，此时 ． (2)其次，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行． 当时（如下图），则 ．           当时（如下图），则 ． (3)最后，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行． 当时， ．当时， ． 1．（23-24七年级下·湖北期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠如图，使顶点C、D分别落在、处，交于点G，若，则（  ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，将长方形纸条折叠，若，则（ ）° A．60 B．70 C．80 D．100 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在的位置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，将长方形沿直线折叠后恰好使得点A落到边上的点G处，若，则（      ） A． B． C． D． 5．（2024上·北京丰台·八年级校联考期中）如图，把沿线段折叠，使点落在点处，；若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·重庆铜梁·期末）如图，长方形纸片中，，边上分别有点E，F，将长方形纸片沿翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若，则的度数是 ． 7．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）图1是一张足够长的纸条，其中，点分别在上，如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，若记，则 ．    8．（23-24九年级下·黑龙江·期中）把一张对边平行的纸条（）按照如图所示的方式折叠，为折痕，，则的度数为 °． 9．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图AB//CD，AD//BC，为上一点，将沿翻折得到，点在上，且，，那么的度数为 ． 10．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，＝，＝，点是边上的固定点 （＜），请在上找－点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则为 度 11．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM=∠EFM，则∠DEF的度数为 ． 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）将一张长方形纸片沿折叠后与的交点为，、分别在、的位置上，若，则 ． 13．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为，已知被分成的两个角相差，则图中 ． 14．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图AB//CD，AD//BC，为上一点，将沿翻折得到，点在上，且，，那么的度数为 ． 15．（2024下·重庆·七年级校考期末）如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处．折痕为，若，求的度数．    16．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 17．（22-23七年级下·广东东莞·期末）同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．    (1)王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______． ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图），再将纸片展开铺平（如图）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明； (2)李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图，连接交于点，连接，并在上找一点，使得，试判断线段与的位置关系，并说明理由． 18．（22-23七年级下·河南郑州·期末）综合与实践 问题背景：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，，，点为线段上一动点，将纸片折叠，使点B和点重合，产生折痕，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点．    动手操作：（1）如图1，若点E与点A重合时，则的度数为______． 实践探究：（2）如图2，移动点，其余条件不变． ①小静发现图中无论点如何移动，始终成立，请说明理由； ②小东发现折叠后所形成的角，只要知道其中一个角的度数，就能求出其它任意一角的度数，若，求的大小． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 翻折模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是的考查热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，以这个性质为基础，结合相关角度来考查。（本学期受计算工具限制，本专题暂时主要对翻折中的角度问题作探究）本专题以常见图形为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.图形翻折模型 1 37 模型1.图形翻折模型 1）如图，将长方形纸片沿EF翻折，则∠1=∠2= ∠3，三角形EFG是等腰三角形。 2）如图，将△ABC沿DE翻折 （1）若A’落在线段BE上，如图1，则∠1= 2∠A； （2）若A’落在△ABC内部，如图2，则∠1+∠2= 2∠A； （3）若A’落在△ABC外部，如图3，则∠1-∠2= 2∠A。 例1．（23-24八年级上·广东茂名·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，∵，，∴，， 又由折叠可得，∴，故选：D． 例2．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠2-∠1=20°，则∠EFC的度数为（　　　） A．100° B．110° C．130° D．135° 【答案】C 【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠1+∠2=180°， ∵∠2-∠1=20°，∴∠2=100°，∠1=80°，∴∠DEG=100°，由翻折可知：∠DEF=∠FEG=50°， ∴∠EFG=∠DEF=50°，∴∠EFC=130°．故选：C． 例3．（2024·辽宁丹东·九年级阶段练习）如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ．    【答案】/125度 【详解】解：在中，，∴， 由折叠的性质知：，而，∴， ∵，即，∴，故答案为：． 例4．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，将一张长方形的纸片沿折叠，点B到达点的位置．已知，，则 °． 【答案】/33度 【详解】解：∵长方形的纸片沿折叠，点B到达点的位置，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴．故答案为：． 例5．（2024下·广东惠州·八年级校考期中）如图，已知长方形，将沿对角线折叠，记点的对应点为，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是矩形，， ，，由折叠的性质可得：， ，， ，，故选：B． 例6．（23-24七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ． 【答案】/21度 【详解】解：由折叠得：，，，， 是长方形，，，，， ，，，， 与重合，，，故答案为： 例7．（2024下·江西赣州·七年级统考期末）综合与实践：折纸中的数学 知识背景：我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线． 知识初探(1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝　 　； 类比再探：(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ，，， ，，故答案为：． （2）解：，理由如下：由折叠的性质得：，， ，，，． （3）解：，理由如下：如图，过点作于， ，又，，， 由折叠的性质得：，，． 例8．（2024·山东淄博·七年级统考期中）如图，将沿所在的直线翻折，点B在边上落点记为点E，已知，，那么的度数为 ． 【答案】/60度 【详解】解：根据折叠的性质可得，，， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴．故答案为：． 例9．（2024下·吉林松原·七年级统考期末）如图，四边形中，点分别在上，将沿翻折，得，若则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴ ∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN∴ ∴故答案为：D． 例10．（2024下·上海杨浦·七年级统考期末）如图，在中，D、E分别是边AB和AC上的点，将纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么 度．    【答案】50 【详解】解：∵，∴， 由折叠得：，， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，故答案为：50． 例11．（2024春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1，中，，，．点是边上的定点，点在边上运动，沿折叠，折叠后点落在点处．下面我们来研究折叠后的有一边与原三角形的一边平行时的值．    (1)首先我们来研究边．因为和的、相交，所以只有一种可能的情况（如图2），，此时 ． (2)其次，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行． 当时（如下图），则 ．           当时（如下图），则 ． (3)最后，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行． 当时， ．当时， ． 【答案】(1)(2)或；(3)或； 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，故答案为：； （2）解：当（1）时（如图3），      ∵，，∴， ∴； 当（2）时，∵， ∴，故答案为：或； 当时，，故答案为：； （3）解：当时，或，故答案为：或； 当时，，故答案为：． 1．（23-24七年级下·湖北期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠如图，使顶点C、D分别落在、处，交于点G，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在矩形纸片中，，， ，， ∵折叠，∴，．故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，将长方形纸条折叠，若，则（ ）° A．60 B．70 C．80 D．100 【答案】C 【详解】解：如图，∵，∴， ∵，∴，故选：C． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在的位置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由折叠知，四边形为矩形，，， ， ．故选：D． 4．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，将长方形沿直线折叠后恰好使得点A落到边上的点G处，若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由折叠的性质可得，，， ，∵四边形是长方形，， ．故选：A． 5．（2024上·北京丰台·八年级校联考期中）如图，把沿线段折叠，使点落在点处，；若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据折叠的性质，可得， ∵，，∴，∴， ∴．故选：B． 6．（22-23七年级下·重庆铜梁·期末）如图，长方形纸片中，，边上分别有点E，F，将长方形纸片沿翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若，则的度数是 ． 【答案】/76度 【详解】解：根据题意得：，， ∵，∴，∴， ∵，．故答案为：． 7．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）图1是一张足够长的纸条，其中，点分别在上，如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，若记，则 ．    【答案】/度 【详解】解：如图1所示，∵，∴，∴如图2所示，， ∵，∴，故答案为：． 8．（23-24九年级下·黑龙江·期中）把一张对边平行的纸条（）按照如图所示的方式折叠，为折痕，，则的度数为 °． 【答案】/68度 【详解】解：如图， ∵，，∴，由折叠可知，∴， ∵，∴．故答案为：． 9．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图AB//CD，AD//BC，为上一点，将沿翻折得到，点在上，且，，那么的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵AB//CD，AD//BC∴∠EDF=∠DBC，∠A+∠ABC=180°，∠ABC+∠C=180°， ∴∠A=∠C=50°∴∠ABE+∠EDF+∠EBF=∠ABC=180°-∠A=130° 由折叠的性质可得：∠ABE=∠EBF∴2∠ABE+∠DBC=130° 又∵∠ABE=2∠EDF∴5∠EDF=130°∴∠EDF=26°故答案为：26° 10．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，＝，＝，点是边上的固定点 （＜），请在上找－点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则为 度 【答案】或或 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：，，， 当时，如图，则， ； 当时，如图，则，由折叠性质得：， 综上，的度数为或或．故答案为：或或． 11．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM=∠EFM，则∠DEF的度数为 ． 【答案】108°/108度 【详解】解：由折叠得∠CFE=∠MFE，∵∠BFM=∠EFM，∴∠EFM=2∠BFM， ∵∠BFM+∠EFM+∠CFE=180°，∴∠BFM+2∠BFM+2∠BFM=180°，解得：∠BFM=36°，∴∠CFE=72°， ∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠CFE+∠DEF=180°，∴∠DEF=108°．故答案为：108°． 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）将一张长方形纸片沿折叠后与的交点为，、分别在、的位置上，若，则 ． 【答案】28 【详解】解：，，，， 由折叠的性质可得，， ，．故答案为：． 13．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为，已知被分成的两个角相差，则图中 ． 【答案】或 【详解】解：①当比大时，设，则， ∵长方形沿翻折，∴， ∵，∴，，∴，解得：； ②当比大时，设，则，∴，∴解得：； 综合所得：或故答案为：或． 14．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图AB//CD，AD//BC，为上一点，将沿翻折得到，点在上，且，，那么的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵AB//CD，AD//BC∴∠EDF=∠DBC，∠A+∠ABC=180°，∠ABC+∠C=180°， ∴∠A=∠C=50°∴∠ABE+∠EDF+∠EBF=∠ABC=180°-∠A=130° 由折叠的性质可得：∠ABE=∠EBF∴2∠ABE+∠DBC=130° 又∵∠ABE=2∠EDF∴5∠EDF=130°∴∠EDF=26°故答案为：26° 15．（2024下·重庆·七年级校考期末）如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处．折痕为，若，求的度数．    【答案】 【详解】解：由题意得，， ∵，∴，∵，∴， 由折叠的性质可得，∴， ∵，∴． 16．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）证明：作，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴； （2）∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴； （3），理由： ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴． 17．（22-23七年级下·广东东莞·期末）同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．    (1)王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______． ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图），再将纸片展开铺平（如图）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明； (2)李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图，连接交于点，连接，并在上找一点，使得，试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)    王玲的说法正确，理由见解析．(2)，理由见解析． 【详解】（1）根据折叠的性质可知， 又，∴．∴．故答案为：． 王玲的说法正确．理由如下：根据折叠的性质可知， 又，∴．∴．∴． （2）．理由如下：∵，∴． 又，∴．∴． 18．（22-23七年级下·河南郑州·期末）综合与实践 问题背景：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，，，点为线段上一动点，将纸片折叠，使点B和点重合，产生折痕，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点．    动手操作：（1）如图1，若点E与点A重合时，则的度数为______． 实践探究：（2）如图2，移动点，其余条件不变． ①小静发现图中无论点如何移动，始终成立，请说明理由； ②小东发现折叠后所形成的角，只要知道其中一个角的度数，就能求出其它任意一角的度数，若，求的大小． 【答案】（1）；（2）①理由见解析；② 【详解】解：（1）根据折叠的性质可得， ∵点E与点A重合，∴，即：， 又∵，∴，故答案为：； （2）①∵，∴， ∵，∴，∴． ②，，∴， 由①知，由折叠可知， 又∵，即∴， 又∵，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$