专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 1 11 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例1．（2023下·广东七年级课时练习）如图，，，，则的度数为 °． 例2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角是，第二次拐的是，第三次拐的∠C是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么的度数是（   ）    A． B． C． D． 例3．（2023下·重庆·七年级阶段练习）如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（   ） A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 例4．（2024下·浙江温州·七年级统考期末）图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则 ．    例5．（24-25七年级下·成都·专项训练）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    例6．（23-24七年级下·北京·期中）已知直线，P为平面内一点，连接，．    (1)如图1，已知，，则的度数是 ； (2)如图2，判断，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，，平分，交于点O， ，求的度数． 例7．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　 ．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数． 例8．（2024下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若，求；(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示） 1．（23-24下·河南·七年级校考期末）如图，，，若平分，且满足，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2024下·河北廊坊·七年级校考期中）如图是某次行车路线，共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次转过的角度是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·上海·统考三模）如图，，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·重庆江津·期中）如图，，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 5．（2024下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 7．（23-24七年级下·广东·期中）如图，，，，则 °． 8．（23-24下重庆·七年级校考期末）如图，，，，那么 的度数是 ． 9．（23-24七年级上·广东佛山·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证 °． 10．（2024下·上海闵行·七年级统考期末）我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是 ．    11．（2024下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是 ．    12．（2024下·辽宁丹东·七年级统考期末）如图，若，，，则 ．    13．（2024上·广东广州·八年级校考开学考试）如图，若，则、、的关系是 ．    14．（2024下·山东东营·七年级统考期末）为落实全面推进乡村振兴战略，某乡镇要修建一条公路，从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村．如图所示，若要保持公路与的方向一致，求的度数．    15．（2024下·江西南昌·七年级校考期末）如图，，求∠B，∠C，∠BEC三者之间的数量关系．    16．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）我们发现平行线具有“等角转化”的功能，通过添加平行线可将不同位置的角“凑”在一起，得出角之间的关系．根据平行线的“等角转化”功能，解答下列问题： (1)阅读理解：如图1，，，相交于点，请说明．阅读并补充下面推理过程．    解：过点作 ∴______ ∵ ∴____________ ∴______ ∴ 即． (2)方法掌握：如图2，已知，，交于点．请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展运用：如图3，已知，点在直线上，平分，平分．若，求度数．（用含的式子表示）    17．（2024下·黑龙江佳木斯·七年级校考期末）（1）如图①，直线，是与之间的一点，连接，，易证：．（2）如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：．（3）如图③，，其他条件不变，，则有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明．    18．（2024下·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．    （1）求证：； 证明：如图1，过点作． ，，， ，即：． 【类比应用】已知直线，为平面内一点，连接、． （1）如图2，已知，，求的度数，请说明理由． （2）如图3，设、，猜想、、之间的数量关系为 　 　． 【联系拓展】（3）如图4，直线，为平面内一点，连接、．，平分，若，运用（2）中的结论，直接写出的度数，则的度数为 　 　． 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 1 11 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例1．（2023下·广东七年级课时练习）如图，，，，则的度数为 °． 【答案】90 【分析】作，可得到，由于，故，可得，可得，即可得到的度数． 【详解】解：作，如图所示： ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴．故填：90． 【点睛】本题考查了平行线性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 例2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角是，第二次拐的是，第三次拐的∠C是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，    由题意，得：，∴，∴， ∵，∴，∵，∴；故选C． 例3．（2023下·重庆·七年级阶段练习）如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（   ） A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 【答案】C 【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系． 【详解】解：过点E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠β=∠AEF+∠FED，又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β-∠γ=180°，故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 例4．（2024下·浙江温州·七年级统考期末）图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则 ．    【答案】 42 /76度 【分析】如图2，过点B作，则，利用平行线的性质求出，再利用平行线的性质即可求出；如图3，延长交于H，利用三角形外角的性质求出，利用平行线的性质求出，然后根据的度数列式计算即可． 【详解】解：如图2，过点B作，       ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴；如图3，延长交于H， ∵，，∴， ∵，∴， 又∵，∴，故答案为：42，． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键． 例5．（24-25七年级下·成都·专项训练）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    【答案】/115度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ，，，， ， ，． 例6．（23-24七年级下·北京·期中）已知直线，P为平面内一点，连接，．    (1)如图1，已知，，则的度数是 ； (2)如图2，判断，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，，平分，交于点O， ，求的度数． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出； （3）交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由（2）得：，代入计算即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ，，，，， ，，，故答案为：； （2）解： 理由：如图2，过点作，则， ，， ，， ，故答案为：； （3）解：如图3，设交于点， ，， ∵∴，，， ，，平分，， ，由（2）得：， ， ． 例7．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　 ．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数． 【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°． 【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； （3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°， ∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°， ∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°； （2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ， ∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP， ∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°； ∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； (3)设PD交AN于O，如图， ∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°， 又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB， ∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC， ∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)， 由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD， ∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 例8．（2024下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若，求；(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示） 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据解题得出，进而根据，即可求解； （2）过点分别作的平行线，根据平行线的性质得出设，进而根据平行线的性质得出，，即可得出结论； （3）根据（2）的结论可得，，根据已知，，可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，∴解得：，∵．∴； （2）解：如图所示，过点分别作的平行线， ∴，∴，设， 又∵，∴，， ∴，，∴，； （3）∵，，， 即，∴， 由（2）可得，∵，， ∴，即， ∴，∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 1．（23-24下·河南·七年级校考期末）如图，，，若平分，且满足，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，过点作，得到，根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，∴，∴， ∵平分，，∴， ∴，∴， ∴；故选D． 2．（2024下·河北廊坊·七年级校考期中）如图是某次行车路线，共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次转过的角度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点F．由平行线的性质可知，从而可求出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点F．    由题意可知，∴， ∴，∴．故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 3．（2024·上海·统考三模）如图，，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出即可． 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，注意：平行线的性质有①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 4．（23-24七年级下·重庆江津·期中）如图，，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质：分别过G、H作的平行线和，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】解：如图，分别过G、H作的平行线和，∵，∴， ∴，， ∴， ， ∴， 又，∴，∴， ∴，∴，故选B． 5．（2024下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义得到，，过M作，过N作，再利用平行线的判定与性质得到，，，，经过角度之间的运算得到，，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 过M作，过N作，则，，    ∵，∴，，∴，， ∴，即， 又∵， ∴，即，故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 6．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过，，的顶点，分别作的平行线，根据平行线的性质得出，，，，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线， ∵，∴，∴；同理可得， ∴，，，∴， 则，， 即∴；故答案为：． 7．（23-24七年级下·广东·期中）如图，，，，则 °． 【答案】20° 【分析】作辅助线CF∥AB，平行的性质得出同位角和内错角相等即可求得∠CDE． 【详解】 过点C作CF∥AB，则CF∥AB∥ED∵CF∥AB∴∠CAB+∠ACF=180° 又∴∠CAB=125°，∠ACD=75°∴∠ACF=55°，∠FCD=20°∴∠FCD=∠CDE=20° 【点睛】此题考查了平行的基本性质，解题的关键是作平行线再根据平行线的性质解题． 8．（23-24下重庆·七年级校考期末）如图，，，，那么 的度数是 ． 【答案】/280度 【分析】本题考查的知识点是平行公理的推论、平行线的性质、角度的计算，解题关键是熟练掌握平行线的性质．作交于点，交于点，由平行公理的推论推得，再根据平行线的性质得到，，，最后由进行角度计算即可求解． 【详解】解：作交于点，交于点， ，，，，， 又，，， ，，．故答案为：． 9．（23-24七年级上·广东佛山·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证 °． 【答案】110 【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念是解题的关键． 如图：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，依题意得，则，由此得，进而得，据此可得的度数． 【详解】解：如图所示：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H， 依题意得：， ∴，∴， ∴， ∴，∴．故答案为：110． 10．（2024下·上海闵行·七年级统考期末）我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是 ．    【答案】 【分析】根据转弯角的定义及平行线的性质即可得出α、β和θ三角的关系式． 【详解】根据题干中的“规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角”可知，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，如下图所示．    过点C作，则（两直线平行，则同位角相等）． ∵，∴，∴（两直线平行，则内错角相等）， 又∵，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质和对转弯角名称定义的理解，解题的关键是利用平行线的性质把相关的角联系在一起． 11．（2024下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是 ．    【答案】 【分析】过点作，，根据平行线的性质，可得，，，继而可得． 【详解】解：如图，过点作，过作    ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键． 12．（2024下·辽宁丹东·七年级统考期末）如图，若，，，则 ．    【答案】30 【分析】首先据平行线的性质可得，再有可算出的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得到，代入、的度数即可得到的度数． 【详解】解：延长交于点，如图：    ，，，， ，，．故答案为：30． 【点睛】本题主要利用平行线的性质及三角形外角的性质求解．熟练掌握平行线的性质及添加辅助线的方法是解题的关键． 13．（2024上·广东广州·八年级校考开学考试）如图，若，则、、的关系是 ．    【答案】 【分析】过点E作，则，根据平行线的性质计算求解即可． 【详解】解：如图，过点E作，    ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 14．（2024下·山东东营·七年级统考期末）为落实全面推进乡村振兴战略，某乡镇要修建一条公路，从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村．如图所示，若要保持公路与的方向一致，求的度数．    【答案】 【分析】根据平行线的性质得出的度数以及的度数，进而得出答案． 【详解】如图所示，    由题意可得：，，∴， ∵，∴，∴． 【点睛】此题主要考查了方向角，平行线的性质，正确得出平行线是解题关键． 15．（2024下·江西南昌·七年级校考期末）如图，，求∠B，∠C，∠BEC三者之间的数量关系．    【答案】． 【分析】过点E作，由平行线的性质可知，，故可得，由此即可得出结论． 【详解】解：过点E作，    ∵，∴，∴①，②， ∴①+②得，，即． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 16．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）我们发现平行线具有“等角转化”的功能，通过添加平行线可将不同位置的角“凑”在一起，得出角之间的关系．根据平行线的“等角转化”功能，解答下列问题： (1)阅读理解：如图1，，，相交于点，请说明．阅读并补充下面推理过程．    解：过点作 ∴______ ∵ ∴____________ ∴______ ∴ 即． (2)方法掌握：如图2，已知，，交于点．请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展运用：如图3，已知，点在直线上，平分，平分．若，求度数．（用含的式子表示）    【答案】(1)，，(2)(3) 【分析】（1）如图所述，过点作，根据两直线平行，内错角相等即可求解； （2）如图所示，过点作，根据两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等的知识即可求解；（3）根据三角形的内角和定理，角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所述，过点作，∴，       ∵，∴，∴，∴，即， 故答案为：，，． （2）解：如图所示，过点作，∴，则， ∵，∴，∴， ∵，∴，即． （3）解：在中，，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴， 在中，， ∴，即． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，及角的和差关系，三角形的内角和定理的综合，掌握平行性的判定方法，平行性的性质，三角形内角和定理的运用是解题的关键． 17．（2024下·黑龙江佳木斯·七年级校考期末）（1）如图①，直线，是与之间的一点，连接，，易证：．（2）如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：．（3）如图③，，其他条件不变，，则有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明．    【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）过点E作，由得到，则，即可得到；（2）过点E作，由得到，则，由，即可得到结论； （3）过点E作，由得到，则，由即可得到． 【详解】（1）证明：过点E作，          ∵，∴，∴， ∴，即； （2）证明：过点E作， ∵，∴，∴， ∵，∴， 即； （3）解：过点E作， ∵，∴，∴， ∵， ∴，即． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，添加平行线为辅助线是解题的关键． 18．（2024下·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．    （1）求证：； 证明：如图1，过点作． ， ，， ， 即：． 【类比应用】已知直线，为平面内一点，连接、． （1）如图2，已知，，求的度数，请说明理由． （2）如图3，设、，猜想、、之间的数量关系为 　 　． 【联系拓展】（3）如图4，直线，为平面内一点，连接、．，平分，若，运用（2）中的结论，直接写出的度数，则的度数为 　 　． 【答案】，， 【分析】（1）如图，过点作，根据平行线性质可得，，即可求出的度数；（2）如图，过点作，根据平行线性质可得，，即可得出，从而得出结论；（3）如图，交于，由垂直得出，根据已知得到，根据对顶角和角平分线定义得到，结合，求出的度数． 【详解】解：（1）如图，过点作，          ，，，，， ，； （2）如图，过点作， ，，，， ，， ；故答案为：． （3）如图，交于，，， ，，， ，，平分，， ， 由（2）得，， ，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，对顶角和角平分线定义，熟练掌握平行线的性质正确作出辅助线是解答本题的关键． 16 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$