专题07 平行线的拐点模型专项训练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题07. 平行线的拐点模型专项训练 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。 1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：，，，， 由题意知：，，， ，故答案为：． 2．（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ． 【答案】46 【详解】解：过点B作射线，如图所示， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵， ∴， ∵，∴．故答案为：46． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，记，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示：过点作． ，．，，， ．．同理：． ． ，．故答案为：． 4．（23-24七年级下·山西朔州·期末）综合与实践 数学课上，老师提出问题：如图，钉板上存在三条互相平行的直线，，，图1中弹性皮筋两端点用钉子固定在点，处，拉住皮筋中部的一点至点处固定，点在直线上，．若，求的度数． 数学思考：（1）完成老师提出的问题． 深入探究：（2）老师让同学们在图1的基础上，通过移动点的位置或添加皮筋的方式增设条件来提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图2，在图1的基础上，将另一根弹性皮筋的一端固定在点处，另一端用钉子固定在点处．若，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，在与的交点处用钉子固定点，在与的交点处用钉子固定点，将点移动到点处（点在直线上）．若，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2） ①，②； 【详解】（1）∵∴∴ ∵∴； （2）①∵，∴ ∵∴，∴； ②∵∴， ∴ ∵∴，∴ ∴． 5．（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图①，直线，点P在两平行线之间，点E在上，点F在上，连接，． (1)若，，则的度数为________． (2)如图②，若点，在直线与之间，，，，则的度数为________． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则________． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，…，依次平分下去，则________．（用含，的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【答案】(1)110(2)80(3)，(4) 【详解】（1）解：过点作，如图所示， ，．，， ，，．故答案为: 110． （2）解：过点作，过点作，如图所示， ，．，，． ， ，， ．，，， ．故答案为： 80． （3）解：过点作，如图所示， ，．，， ，． 平分，平分，，．． ，，．按照上述方法可知，平分，平分，． 同理可得，． ．故答案为：，． （4）解：过点作交于点，如图所示，，， ，，， ，，．故答案为：． 6．（23-24七年级下·北京·期中）如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB    观察图形可知，图中有5组同旁内角，则故选D 7．（2024·山西·七年级统考阶段练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保 持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（       ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作，，    ，，， ，， ，，，故选：C． 8．（2024下·浙江·七年级校考期中）如图，，已知，．则 度．    【答案】90 【详解】解：如图，过点P作，    ∵，∴，∴，， ∵，，∴，， ∴，故答案为：90． 9．（23-24七年级下·北京丰台·期末）如图1，线段，为线段上一动点（不与点，重合）．分别连接，．过点在线段的右侧作射线，使，作的角平分线．    (1)如图2，当与重合时，求证：； (2)当与不重合时，直接用等式表示，，之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析(2)或 【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∵，∴， ∵是的角平分线，且与重合，∴，∴． （2）当与不重合()时，如图：    ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵是的角平分线，∴， 又∵，，∴，， ∴，∴，即． 当与不重合()时，如图：    ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵是的角平分线，∴， 又∵，，∴，， ∴，∴，即． 综上，当与不重合时，或． 10．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， (1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析；(2)或． 【详解】（1）解：①如图1：标出和，由格线平行，利用平行的性质可得： ∵∴∴故答案为：； ②，证明如下：证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和 由格线平行可得 ∵∴． （2）解：设与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为， 当射线在的内部，如图：在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出和 由格线平行可得， ∵∴即， ∴ 即 当射线在的外部，如图：∵∴ 由（1）中②知，∴ 综上所述：或． 11．（2024·江苏淮安·七年级统考期中）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知，，，则 ．    【答案】/30度 【详解】解：如图，过点作，    ，，， ，，，， ，， ，故答案为． 12．（2024·辽宁营口·七年级校联考期中）如图，把含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，其中，直角边和斜边分别与直线相交，如果，且，则的度数为 （   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作，∵直线，∴，∴，    ∵，∴，∴．故选：D． 13．（2024·上海浦东新·七年级校考期中）（1）如图a所示，，且点E在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图b所示，仍有，但点E在与的上方．请尝试探索，，三者的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【详解】解：（1）过点E作，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （2）；过点E作，∴， ∵，∴，∴，即， ∴，∴，即． 14．（2024·山西临汾·七年级校考期末）如图1，，点E，F分别是，上的点，点P是和之间的一点，连接，．    (1)若，，求的度数；(2)若点P位于上方（如图2），，，其他条件不变：（用含α和β的代数式表示下列角度数）①求的度数；②若和分别平分和（如图3），请直接写出的度数． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：过点P作，         ，，， ，， ，； （2）解：①过点P作，， ，， ，， ②过Q作，， ， 和分别平分和， ，． 15．（2023上·云南·八年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， ，，故选：A． 16．（2023下·山东威海·七年级统考期末）如图，已知，，，则 °． 【答案】20 【详解】解：∵，∴∴ ∵∴故答案为：20． 17．（2024下·山西吕梁·七年级校考阶段练习）如图，已知． (1)如图1，求证：； (2)点F为、之间一点，交于点M，，平分交于点G． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，H是延长线上一点，． 点N在射线上，， ．请直接写出的度数为__________．          【答案】(1)证明见解析(2)①；②或． 【详解】（1）证明：如图，设与交于点O． ∵，∴．∵，∴；           （2）①解：如图，过点F作．∵，∴， ∴，，． ∵，∴，∴． ∵平分，∴． ∵，∴，∴； ②分类讨论：当点N在线段上时，设，则． 如图，过点作，∴，∴，， ∴，∴． ∵，∴．∴． ∵，∴，∴． ∵平分，，∴， ∴，解得：，即此时； 当点N在线段的延长线上时，如图，同理可得：，∴， 解得：，即此时．综上可知的度数为或．故答案为：或． 18．（2024下·江西吉安·七年级统考期中）求解下列各题 (1)如图（1），，点在外部，若，则____ (2)如图（2），，点在内部，则之间有何数量关系？证明你的结论； (3)在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，求的度数．    【答案】(1)(2)，证明见解析；(3) 【详解】（1）解：，， ∵,∴． （2）解：．理由如下：过点作，       ，， ，． （3）解：过点作交于，过点作， ,， ，,， ∴． 19．（2024下·山东青岛·七年级校考期末）如图，，，，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过点C作．∵，∴．∵，∴．    ∵，∴，∴．故选：D． 20．（2024下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，，设，那么x，y，z的关系式为 ．    【答案】 【详解】解：过作，延长交于，则，即    ，，，，， ，，，故答案为：． 21．（2024下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ，，故选：． 22．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．    【答案】 【详解】解：过点C作，如图：则，∴，，    ∵，∴，∴，∴． 23．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内： 解：作，（ ① ）， ，， ，， （ ② ）， （ ③ ）， ，，． 【类比应用】如图2，，，，则的度数是______； 【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．    【答案】【探究感知】①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；【类比应用】；【拓展延伸】． 【详解】探究感知解：作，（两直线平行，内错角相等）， ，， ，，（平行于同一条直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ，，， 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补； 类比应用，解：如图，过点C作直线，，，， ，，，，，， ，，故答案为：；       拓展延伸解：如图，过点F作， ，，平分，平分， ，，，， ，，，，． 24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    解：过点A作，∴______，， 又∵．∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    【答案】（1），；（2）；（3）． 【详解】（1）解：过点A作，∴，， 又∵，∴；故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，∵，∴，∴，，       ∴∴； （3）过E点作，如图， ∵，∴，∵平分，平分， ∴，，设，， ∵，，∴，， ∵，∴，∵， ∴，， ∵． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07. 平行线的拐点模型专项训练 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。 1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是 ． 2．（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，记，则 ． 4．（23-24七年级下·山西朔州·期末）综合与实践 数学课上，老师提出问题：如图，钉板上存在三条互相平行的直线，，，图1中弹性皮筋两端点用钉子固定在点，处，拉住皮筋中部的一点至点处固定，点在直线上，．若，求的度数． 数学思考：（1）完成老师提出的问题． 深入探究：（2）老师让同学们在图1的基础上，通过移动点的位置或添加皮筋的方式增设条件来提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图2，在图1的基础上，将另一根弹性皮筋的一端固定在点处，另一端用钉子固定在点处．若，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，在与的交点处用钉子固定点，在与的交点处用钉子固定点，将点移动到点处（点在直线上）．若，请直接写出的值． 5．（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图①，直线，点P在两平行线之间，点E在上，点F在上，连接，． (1)若，，则的度数为________． (2)如图②，若点，在直线与之间，，，，则的度数为________． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则________． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，…，依次平分下去，则________．（用含，的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 6．（23-24七年级下·北京·期中）如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 7．（2024·山西·七年级统考阶段练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保 持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（       ）    A． B． C． D． 8．（2024下·浙江·七年级校考期中）如图，，已知，．则 度．    9．（23-24七年级下·北京丰台·期末）如图1，线段，为线段上一动点（不与点，重合）．分别连接，．过点在线段的右侧作射线，使，作的角平分线．    (1)如图2，当与重合时，求证：； (2)当与不重合时，直接用等式表示，，之间的数量关系． 10．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， (1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 11．（2024·江苏淮安·七年级统考期中）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知，，，则 ．    12．（2024·辽宁营口·七年级校联考期中）如图，把含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，其中，直角边和斜边分别与直线相交，如果，且，则的度数为 （   ）    A． B． C． D． 13．（2024·上海浦东新·七年级校考期中）（1）如图a所示，，且点E在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图b所示，仍有，但点E在与的上方．请尝试探索，，三者的数量关系．并说明理由． 14．（2024·山西临汾·七年级校考期末）如图1，，点E，F分别是，上的点，点P是和之间的一点，连接，．    (1)若，，求的度数；(2)若点P位于上方（如图2），，，其他条件不变：（用含α和β的代数式表示下列角度数）①求的度数；②若和分别平分和（如图3），请直接写出的度数． 15．（2023上·云南·八年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 16．（2023下·山东威海·七年级统考期末）如图，已知，，，则 °． 17．（2024下·山西吕梁·七年级校考阶段练习）如图，已知． (1)如图1，求证：； (2)点F为、之间一点，交于点M，，平分交于点G． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，H是延长线上一点，． 点N在射线上，， ．请直接写出的度数为__________．          18．（2024下·江西吉安·七年级统考期中）求解下列各题 (1)如图（1），，点在外部，若，则____ (2)如图（2），，点在内部，则之间有何数量关系？证明你的结论； (3)在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，求的度数．    19．（2024下·山东青岛·七年级校考期末）如图，，，，的度数为（    ）    A． B． C． D． 20．（2024下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，，设，那么x，y，z的关系式为 ．    21．（2024下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 22．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．    23．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内： 解：作，（ ① ）， ，， ，， （ ② ）， （ ③ ）， ，，． 【类比应用】如图2，，，，则的度数是______； 【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．    24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    解：过点A作，∴______，， 又∵．∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$