专题01相交线与平行线易错必刷题型专项训练(20大题型共计60道题)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线全章高频易错点，以20类典型题型为载体，通过“典题特征+易错点剖析”构建概念辨析、判定推理、性质应用的完整方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线基础|9题|垂直定义辨析、垂线段最短应用、距离概念转化|从垂线定义到垂线段性质，构建点线距离计算逻辑链| |三线八角|3题|截线识别+角位置分类|通过图形结构分析三类角的形成条件，强化空间观念| |平行公理及判定|15题|平行公理应用、判定定理条件匹配|从公理到判定定理，形成“角关系→线平行”的推理路径| |平行线性质及应用|18题|性质定理正向计算、动态图形角度转化|以“线平行→角关系”为核心，结合生活情境（光反射、方位）培养应用意识| |平移|9题|平移性质应用、图形拼接计算|通过平移不变性解决长度与面积问题，体现转化思想|

专题01相交线与平行线易错必刷题型专项训练 本专题汇总相交线与平行线全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.垂线的定义理解 题型02.垂线段最短 题型03.点到直线的距离 题型04.同位角.内错角.同旁内角 题型05.平行公理的应用 题型06.同位角相等,两直线平行 题型07.垂直于同一直线的两直线平行 题型08.内错角相等,两直线平行 题型09.同旁内角互补,两直线平行 题型10.两直线平行,同位角相等 题型11.两直线平行.内错角相等 题型12.两直线平行,同旁内角互补 题型13.由平行线性质探究角的关系 题型14.由平行线的性质求角的度数 题型15.平行线性质在生活中的应用 题型16.由平行线性质与判定求角度 题型17.由平行线性质与判定证明 题型18.利用平移的性质求解 题型19.利用平移解决实际问题 题型20.平移综合题 易错必刷题型01.垂线的定义理解. 典题特征：依据相交直线形成的夹角，判定两直线是否互相垂直，区分垂线、垂线段相关几何概念。 易错点：未以90°夹角作为垂直判定标准，将普通相交直线判定为垂直，混淆垂线与垂线段的定义概念。 1．如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义得出，再根据，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，、交于点，，垂足为，，则______． 【答案】 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 与是对顶角， ． 3．汉代初期的《淮南万毕术》所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律探清井底情况的方法．如图是一口深井的示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再结合已知条件求出，最后根据求解即可． 【详解】解：，， ， 且 ， ， 易错必刷题型02.垂线段最短 典题特征：结合实际路径规划题型，选取点到直线之间最短线路，应用线段长短判定定理。 易错点：选取斜线段当作最短路径，不理解垂线段为点到直线间唯一最短线段。 4．张奶奶要把河中的水引到水池处，如图，她认为过点作一条线垂直于河边最省力，理由是_____． 【答案】垂线段最短 【详解】解：理由是垂线段最短． 5．如图所示，在三角形中，，若点P在边上（不含端点）移动，则最短时的值为（ ） A． B． C．5 D．无法计算 【答案】A 【分析】由垂线段最短可知，当时，最短，则，据此求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，最短， 此时满足， ∴， ∴， ∴最短时的值为． 6．如图，点A，O，B，P均在格点上，点在的边上．过点作交于点交于点； 线段的长度是点到的距离，线段_________的长度是点到的距离， 这三条线段的大小关系是_________（用“”连接），理由是_________． 【答案】 垂线段最短 【分析】理解题意，结合，得出线段的长度是点到的距离，再结合垂线段最短以及运用数形结合思想得出，即可作答． 【详解】解：∵过点作交于点 ∴线段的长度是点到的距离， ∵交于点， ∴结合图中信息，得这三条线段的大小关系是， 理由是垂线段最短． 易错必刷题型03.点到直线的距离 典题特征：结合几何图形，确定并计算点到已知直线的距离数值，辨析距离定义内涵。 易错点：将垂线段图形直接等同于距离，不明确距离专指垂线段的长度数值。 7．如图，，垂足为点A，能表示点B到的距离的是（    ）      A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】根据点到直线距离的定义即可得出结论． 【详解】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， ∴点B到的距离是线段的长度． 8．如图，在三角形中，点，在边上，连接，，且，，则点到的距离是线段______的长度． 【答案】 【详解】解：∵，点是垂足， ∴点到的距离是线段的长度． 9．如图，点，在直线上，点在直线外，连接，，若，，则点到直线的距离可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：因为垂线段最短， ∴点P到直线l的距离小于3， 观察四个选项，只有选项A符合题意． 易错必刷题型04.同位角.内错角.同旁内角 典题特征：在三线相交图形中，精准辨别三类角的位置类别，依据位置特征判定角型。 易错点：无法区分截线与被截直线，混淆三类角位置结构，非三线结构擅自判定三线八角。 10．如图，与是同位角的是___（填“”，“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角即可求解． 【详解】解：观察图形可知，与是同位角的是． 11．下列各图中，与不是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此可得答案． 【详解】解：由同旁内角的定义可知，B、C、D这三个选项中的与是同旁内角， A选项中的与不是同旁内角． 12．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的______角； （2）与是直线______被直线______所截形成的_______角； （3）与是直线______被直线_____所截形成的______角； （4）与是直线______被直线____所截形成的______角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 易错必刷题型05.平行公理的应用 典题特征：运用平行公理及推论，判断平行线作图正误，推导多条直线之间位置关系。 易错点：忽略过直线外一点的限定条件，脱离同一平面范围，误用平行判定结论。 13．经过直线外一点，能画几条直线与这条直线平行（       ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，即可得到结果． 【详解】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故选：B． 14．下列说法正确的有（填序号）：_____． ①同位角相等； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】③④/④③ 【分析】根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；   ②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；   ④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；   ⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确． 故答案为③④． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键． 15．按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________． (2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ (3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子． 【答案】(1)图见解析；垂线段最短 (2)这样的平行线有1条，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 (3)体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短 【分析】本题考查画垂线与平行线，垂线段最短，平行公理，掌握垂线段最短和平行公理是解题的关键．注意理解“有”、“且只有”的意义． （1）作于D即可； （2）根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，求解即可； （3）体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 【详解】（1）解：如图，线段的长度即为所求， 依据是：垂线段最短． （2）解：如图，直线即为所求， 过点画出的平行线，这样的平行线只有1条， 理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． （3）解：体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 易错必刷题型06.同位角相等,两直线平行 典题特征：借助同位角相等条件，完成两直线平行的判定与几何推理证明。 易错点：颠倒判定与性质推导逻辑，非同位角等量关系，强行判定直线相互平行。 16．下列图形中，由能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由无法得到，故本选项不符合题意； B、由无法得到，故本选项不符合题意； C、由无法得到，故本选项不符合题意； D、由能得到，故本选项符合题意； 17．如图，，O是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点O按逆时针方向至少旋转 _________，才能使． 【答案】22 【分析】利用平行线的性质得出同位角相等，然后利用角的和差求解． 【详解】解：当时，， ∴． 18．如图，已知，则与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解： （已知） （    ）， ∴（    ） ∥ （    ）， 又 ， （    ）（等式的性质 ）， 同理可得 （    ）， （等量代换）， ∴（    ）∥ （    ）（    ）． 【答案】等量代换；；；；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定定理和垂直的定义，首先利用已知角的度数，通过等量代换得到同位角，依据同位角相等判定与平行；再根据垂直的定义得到直角，计算出和的度数，通过等量代换得到这两个同位角相等，进而判定与平行． 【详解】解：(已知) (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)； 又， (等式的性质)； 同理可得； (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)， 故答案为：等量代换；；；；；；；同位角相等，两直线平行． 易错必刷题型07.垂直于同一直线的两直线平行 典题特征：依据共垂线条件，直接判定两条被截直线的平行位置关系。 易错点：省略同一平面前置条件，跨空间范围套用定理，推导逻辑顺序混乱。 19．如图，木工师傅用直角尺在工件上画出两条平行线段a，b．下列给出的数学原理能够使这两条线段a，b平行不符合的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．同一平面内，同时平行于同一直线的两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同一平面内，同时垂直于同一直线的两直线平行 【答案】B 【详解】解：． 同位角相等，两直线平行，符合两直线平行的判定方法，该选项正确，不符合题意； ． 同一平面内，同时平行于同一直线的两直线平行，但本题未利用该判定条件，该选项正确，符合题意； ． 同旁内角互补，两直线平行，符合两直线平行的判定方法，该选项正确，不符合题意； ． 同一平面内，同时垂直于同一直线的两直线平行， 符合两直线平行的判定方法，该选项正确，不符合题意； 故选：． 20．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是______．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 21．探索与发现（在同一平面内）： (1)若直线，，判断直线与的位置关系，请说明理由； (2)若直线，，，则直线与的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明） (3)现在有2023条直线，，，…，，且有，，，，…，请你探索直线与的位置关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2) (3)直线与的位置关系是 【分析】（1）根据垂直定义和平行线的性质求解即可； （2）根据垂直定义和平行线的性质求解即可； （3）根据垂直定义和平行线的性质，找到变化规律即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，又，根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得 ， 故答案为：； （3）解：直线与，的位置关系分别是，，直线与，的位置关系分别是，，从开始，直线，，…，与直线的位置关系以，，，为一次循环， ∴，， ∴直线与的位置关系是． 【点睛】本题考查垂直定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，得到变化规律是解答的关键． 易错必刷题型08.内错角相等,两直线平行 典题特征：利用内错角等量关系，判定两条直线平行，书写规范几何推理过程。 易错点：认错内错角位置，颠倒因果推导关系，脱离三线结构判定直线平行。 22．写出一个能判定的条件___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定方法，进行作答即可. 【详解】解：当时，（内错角相等，两直线平行）； 当时，（同位角相等，两直线平行）； 当或时，（同旁内角互补，两直线平行）. 23．如图，下列条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，，不符合题意； B．，，不符合题意， C．∵，则，符合题意； D．，，不符合题意． 24．如图，直线，被直线所截，为与的交点，，垂足为． (1)若恰好平分，则的度数为________． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义即可求解． （2）证明即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴. （2）证明：， ， ， ， ， ， ． 易错必刷题型09.同旁内角互补,两直线平行 典题特征：依据同旁内角角度和为180°，判定两条直线平行关系。 易错点：将角度相等替代互补条件，混淆角度数量关系，无序套用判定定理。 25．如图1是小强奶奶编的竹篓，图2是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的判定定理来验证即可． 【详解】解：如图所示， 选项：既不是同位角，也不是内错角，虽然但无法证明； 选项：若，则，无法证明； 选项：根据题意可得，则可得，可得； 选项：无法证明． 26．随着我国科学技术的不断发展，科学展望变为现实．图1是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图2是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围数据如下：①；②；③．垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据_________可判断模型位置能够达标（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】由同旁内角互补，两直线平行．即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选择数据①③可判断模型位置能够达标． 27．如图，点为直线上一点，，，平分，．那么直线和平行吗？为什么？ 【答案】直线和平行，理由见解析 【分析】利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】解：直线和平行，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ． 易错必刷题型10.两直线平行,同位角相等 典题特征：已知两直线平行，推导计算图形内对应同位角的具体度数。 易错点：无平行前提直接判定角相等，认错同位角对应位置，造成角度计算错误。 28．将一副三角板按如图所示摆放（其中），点在EF上，且，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 29．如图，已知，，，那么下列说法不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义得到 ，从而判定 ；进而得到 ，从而判定 ； 与 互余，不一定相等． 【详解】解： ， ， ，故 A 成立 ，故 D 成立 ，故 B 成立 当且仅当时，，故C不一定成立 30．如图1，，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图1，点，在，之间，且在的左侧，若，求∠的度数； (3)如图2，点在，之间，点在上，直线平分交的延长线于点，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得，再由对顶角相等，可得，这样即可证明； （2）过点分别作的平行线，由可得再根据可计算出，然后再根据两直线平行，内错角相等，即可求出； （3）过点作的平行线，过点作作的平行线，首先利用平行线的内错角相等，将转化为，并将转化为，从而得出与、的关系，接着利用得到与、的关系。最后结合题目给出的条件以及角平分线的定义，通过代数运算和等量代换，最终推导出，从而证明平分． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：如图，过点分别作的平行线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：过点作的平行线，过点作的平行线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， 平分． 易错必刷题型11.两直线平行.内错角相等 典题特征：由直线平行条件，求解图形中内错角度数，梳理角度等量关系。 易错点：擅自以角相等反推直线平行，脱离平行基础条件推导角度关系。 31．折射现象指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线．若，则的度数为______ ． 【答案】/28度 【分析】由平行线性质得出的度数，由对顶角相等，可得出的度数，数形结合表示出，即可求出结论． 【详解】解：， ， ， ． 32．如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别过作的平行线和，根据两直线平行内错角相等以及角的和差关系得到，根据垂直的定义得到． 【详解】解：如图，分别过作的平行线和， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 33．如图，已知，平分，已知，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】利用平行线“内错角相等”的性质，先由得出；再根据据角平分线定义，算出；最后再次运用平行线内错角相等的性质，得到． 【详解】解：∵， ∴根据两直线平行，内错角相等，得：， ∵平分， ∴根据角平分线的定义，得：， ∴根据两直线平行，内错角相等，得：． 易错必刷题型12.两直线平行,同旁内角互补 典题特征：根据平行线条件，计算同旁内角度数，明确两角和差数量关系。 易错点：将互补关系记为角度相等，颠倒平行与角度之间的推导因果。 34．如图，已知直线，，则的度数为（    ） A．35° B．55° C．125° D．145° 【答案】C 【分析】直接利用两直线平行、同旁内角互补即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 35．如图，已知，点，分别在，上，且，的三等分线交于点，过点的射线与相交的夹角为，交于点，则的度数为____． 【答案】 【分析】根据，得出的度数，由三等分线，得出的度数，再结合题意得，最终可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的三等分线， ∴， 又∵射线与相交的夹角为， ∴， ∴． 36．某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：； 请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵， ∴（____________）， ∵， ∴（____________）， ∴______， ∵， ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______； (3)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；； (2)82 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与“猪蹄模型”的应用，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质推导角之间的数量关系． （1）通过作平行线，利用平行线的性质填写推理依据，推导角的和差关系； （2）过点作平行线，结合平行线的同旁内角互补求角的度数； （3）过点作平行线，利用平行线的内错角相等推导角的差的关系． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴ ， ∵ ， ∴ （等量代换）． 故答案依次为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；；． （2）解：过点作（点在点的右侧），如图 ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 易错必刷题型13.由平行线性质探究角的关系 典题特征：结合图形折叠、线段旋转题型，推导平行线间角度和差与倍数关系。 易错点：不会作辅助线拆分复杂角度，动态题型未进行分类讨论，推理逻辑不严谨。 37．如图，若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求解即可. 【详解】解：∵， ∴，，， 当时，才有， ∴A符合题意. 38．如图，已知，易得，，根据以上规律求_________． 【答案】/度 【分析】通过作辅助线，利用平行线的性质找出角度和的变化规律． 【详解】解：当有3个角时，和为； 当有4个角时，和为； 从图形可以看出，每增加一个“折点”（即增加一个角），角度和就增加， 对于个角，角度和的公式为：， ． 39．已知射线射线，P为一动点，平分，平分，且与相交于点E． (1)在图1中，当点P运动到线段上时，． ①直接写出的度数______； ②求证：； (2)当点P运动到图2的位置时，猜想与之间的关系，并加以说明； (3)当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出与之间的关系． 【答案】(1)①；②见解析 (2)，见解析 (3)不成立， 【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，最后根据角的和差即可得； ②由①即可证明； （2）过点作，过点作，由（1）得，同理可得，进而求解即可； （3）过点作，过点作，先根据（1）得，再根据平行线的性质得，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ，且点运动到线段上， ， 平分，平分， ， ∵， ， ， ， ， ； ②由①可得，； （2）解：猜想，证明如下： 如图，过点作，过点作， 由（1）得：， 同理可得：， ； （3）解：，证明如下： 如图，过点作，过点作， 由（1）得：， 即， ∵， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， 即． 易错必刷.题型14.由平行线的性质求角的度数 典题特征：综合对顶角、邻补角、平行线知识，分步求解复合型几何角度。 易错点：不会转化基础角与平行线角的关联，基础角度计算失误，忽略多解情况。 40．将一块三角板按如图方式放置，直角顶点落在上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角板可知，即，由平行线的性质得出，进而可得出． 【详解】解：由三角板可知，即， ∵， ∴， ∴． 41．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 【答案】 137 【分析】 根据题意得出 ，，利用平行线的性质分别求出 和 的度数，进而求和． 【详解】解：由题意可知， ，． ， ． ， ． ， ． . ， ． ． 42．探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题提出】如图1，已知，点E是直线之间一点，连接，过点E作，，求的度数； (2)【问题解决】如图2，已知，点B在点A左侧，点D在点C左侧，连接平分，平分，与相交于点E，过点E作，若，求的度数； (3)【问题延伸】如图3，，点A在点B左侧，点D在点C左侧，连接平分，平分，与相交于点E，过点E作，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）①过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； ②设，，则由题意得，，过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）设，，则由题意得，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 解得， ． 易错必刷题型15.平行线性质在生活中的应用 典题特征：以方位路线、光线反射、建筑结构为背景，转化几何模型求解角度。 易错点：无法将实际场景抽象为标准几何图形，方位对应角度判定出现偏差。 43．小明骑自行车自A处沿正北方向前进，到达B处后，右拐继续行驶，若到达C处后，想沿正南方向行驶，则他在C处应（    ）． A．左拐 B．右拐 C．右拐 D．左拐 【答案】C 【分析】过点作，利用平行线的性质求出，即可判断拐弯方向 ． 【详解】解：如图，过点作，延长到点， ∵小明在处右拐， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵小明想沿正南方向行驶，即沿方向， ∴需要转过的角度为， ∴他在处应右拐． 44．如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是___________度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【详解】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 45．如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定方法，由，即可得； （2）根据平行线的性质，由，得，结合已知条件，即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型16.由平行线性质与判定求角度 典题特征：先判定直线平行，再利用平行性质计算角度，综合双向知识点解题。 易错点：混用判定定理与性质定理，折线拐点题型不会添加辅助线拆解图形。 46．如图1是电熨斗的实物图，图2是其剖面示意图．已知，过点D作于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点G作，则，由平行线的性质得到，，再由垂线的定义和角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点G作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 47．如图，，，点在线段上，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据，求出．结合，得出 ．根据，得出，．结合，得出，则，证明，则． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： (1)如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作， ， ， ， ． 运用猜想： (2)如图2，已知，请直接写出的度数； 拓展探究： (3)已知，点A、B在上，C、D在上，且点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数． ②如图4，点B在点A的右侧，若，求度数．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)360度 (3)①45度；② 【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果； （2）过作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果； （3）①过作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质求角即可． 【详解】（1）解：， ，（两直线平行，内错角相等）； ， ； （2）过作， ， ， ， ， ， ， ； （3）①过作， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ； ②如图，过作， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ． 易错必刷题型17.由平行线性质与判定证明 典题特征：书写完整几何证明步骤，求证直线平行或角度相等互补结论。 易错点：证明过程缺少定理依据，因果逻辑颠倒，几何书写格式不符合规范。 49．已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（    ） A．截得的一对同旁内角相等 B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C．截得的一对内错角的角平分线互相平行 D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，结合图形分析平分角之后得到的角之间的位置关系，运用平行线的判定判断是否平行；若不平行，则进一步探究其特殊性． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故该选项说法错误，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成角，即互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等；根据内错角相等，两直线平行可判断角平分线互相平行，故该选项说法正确，符合题意； D、两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等；根据同位角相等，两直线平行可判断角平分线互相平行，而不是互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意． 50．如图，下列说法正确的序号是______． ①若，则；②若，则； ③若，则； ④若，则. 【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 而题中没有说明与相等， ∴不一定等于，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意， ∴符合题意的有①③④． 51．如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）可证明，则； （2）可证明，则，再由平行线的性质得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型18.利用平移的性质求解 典题特征：已知图形平移方向与距离，求解平移后对应线段长度、对应角度。 易错点：找错平移前后对应边角位置，错误更改图形形状大小，算错平移距离。 52．如图，将沿方向平移3个单位得到，若的周长为12，则四边形的周长为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】根据平移的性质，对应点的连线、都等于平移距离，再根据四边形的周长=的周长代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵将沿方向平移3个单位得到， ∴， ∴四边形的周长 的周长 ． 53．如图，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为_________． 【答案】 11 【分析】本题考查平移的性质．根据平移性质得到，，然后计算出阴影部分周长为的周长即可求解．利用平移的性质得到，是解答的关键． 【详解】解：∵将沿方向平移，得到， ∴，， ∴， ∴阴影部分的周长为． 54．如图，将三角形沿射线的方向平移个单位长度到三角形的位置，点，，的对应点分别为点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据图形平移的性质得出，再根据线段的和差关系求解即可； （2）由图形平移的性质得出，，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，， ， ； （2）解：由平移的性质可得，，， ． 易错必刷题型19.利用平移解决实际问题 典题特征：通过平移拼接不规则图形，计算生活场景中的长度与面积数值。 易错点：无法拼接成规则基础图形，统计数据重复计算或遗漏部分线段面积。 55．如图，将长为8，宽为6的长方形先向右平移3，再向下平移2，得到长方形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 20 【分析】利用平移的性质求出阴影部分长方形的长和宽，再利用长方形面积公式求解即可． 【详解】解：∵长方形的长为，向右平移， ∴阴影部分的长为． ∵长方形的宽为，向下平移， ∴阴影部分的宽为． ∴阴影部分的面积为． 56．如图是某公园里一处矩形草地，长，宽，为方便游人行走，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，那么这块草地青草覆盖的面积（图中阴影部分）还有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平移的性质，得出阴影部分为长为，宽为的长方形，然后根据长方形面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据平移得出图中阴影部分可以看作一个长为，宽为， ∴图中阴影部分的面积为： ． 57．如图，某住宅小区内有两长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路，余下部分为绿化，如图、图所示，道路的宽为，分别求出图、图中需要绿化的面积． 【答案】图中需要绿化的面积为，图中需要绿化的面积为 【分析】本题的核心思路是平移法：将分散的绿化部分通过平移拼接成一个完整的新长方形，直接计算其面积，避免复杂的分割计算． 【详解】解：利用平移将图变为 ； 利用平移将图变为 ． 易错必刷题型20.平移综合题 典题特征：融合平行线、角度计算、图形变换，解答多设问几何综合题型。 易错点：分析动态平移位置不全面，无法联动平行知识解题，遗漏多种答案情形。 58．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【答案】B 【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：A．∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．平移距离应该是的长度，由，可知，故B错误，符合题意； C．由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故C正确，不符合题意； D．∵的面积是4，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键． 59．如图，平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中B点坐标为(－1，－1)． (1)将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，画出； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】（1）先找出A点和B点坐标，利用点的坐标平移规律写出点A′、B′、C′的坐标，然后描点连线得到； （2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可得到的面积． 【详解】（1）解：由图可得：，； 经过平移后，，； 如图，为所作； （2）解：如图 ∶ 的面积． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度． 60．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)，3；， (2)秒 (3)见解析 【分析】 （1）利用平移变换的性质求解； （2）设秒后轴，构建方程求解； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【详解】（1） 解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，， 故答案为：，3；，； （2） 设秒后轴，则有， 解得，时，轴； （3） ①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ． ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ． 综上所述，与的关系为：或或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线易错必刷题型专项训练 本专题汇总相交线与平行线全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.垂线的定义理解 题型02.垂线段最短 题型03.点到直线的距离 题型04.同位角.内错角.同旁内角 题型05.平行公理的应用 题型06.同位角相等,两直线平行 题型07.垂直于同一直线的两直线平行 题型08.内错角相等,两直线平行 题型09.同旁内角互补,两直线平行 题型10.两直线平行,同位角相等 题型11.两直线平行.内错角相等 题型12.两直线平行,同旁内角互补 题型13.由平行线性质探究角的关系 题型14.由平行线的性质求角的度数 题型15.平行线性质在生活中的应用 题型16.由平行线性质与判定求角度 题型17.由平行线性质与判定证明 题型18.利用平移的性质求解 题型19.利用平移解决实际问题 题型20.平移综合题 易错必刷题型01.垂线的定义理解. 典题特征：依据相交直线形成的夹角，判定两直线是否互相垂直，区分垂线、垂线段相关几何概念。 易错点：未以90°夹角作为垂直判定标准，将普通相交直线判定为垂直，混淆垂线与垂线段的定义概念。 1．如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，、交于点，，垂足为，，则______． 3．汉代初期的《淮南万毕术》所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律探清井底情况的方法．如图是一口深井的示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型02.垂线段最短 典题特征：结合实际路径规划题型，选取点到直线之间最短线路，应用线段长短判定定理。 易错点：选取斜线段当作最短路径，不理解垂线段为点到直线间唯一最短线段。 4．张奶奶要把河中的水引到水池处，如图，她认为过点作一条线垂直于河边最省力，理由是_____． 5．如图所示，在三角形中，，若点P在边上（不含端点）移动，则最短时的值为（ ） A． B． C．5 D．无法计算 6．如图，点A，O，B，P均在格点上，点在的边上．过点作交于点交于点； 线段的长度是点到的距离，线段_________的长度是点到的距离， 这三条线段的大小关系是_________（用“”连接），理由是_________． 易错必刷题型03.点到直线的距离 典题特征：结合几何图形，确定并计算点到已知直线的距离数值，辨析距离定义内涵。 易错点：将垂线段图形直接等同于距离，不明确距离专指垂线段的长度数值。 7．如图，，垂足为点A，能表示点B到的距离的是（    ）      A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 8．如图，在三角形中，点，在边上，连接，，且，，则点到的距离是线段______的长度． 9．如图，点，在直线上，点在直线外，连接，，若，，则点到直线的距离可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 易错必刷题型04.同位角.内错角.同旁内角 典题特征：在三线相交图形中，精准辨别三类角的位置类别，依据位置特征判定角型。 易错点：无法区分截线与被截直线，混淆三类角位置结构，非三线结构擅自判定三线八角。 10．如图，与是同位角的是___（填“”，“”，“”或“”）． 11．下列各图中，与不是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 12．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的______角； （2）与是直线______被直线______所截形成的_______角； （3）与是直线______被直线_____所截形成的______角； （4）与是直线______被直线____所截形成的______角． 易错必刷题型05.平行公理的应用 典题特征：运用平行公理及推论，判断平行线作图正误，推导多条直线之间位置关系。 易错点：忽略过直线外一点的限定条件，脱离同一平面范围，误用平行判定结论。 13．经过直线外一点，能画几条直线与这条直线平行（       ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 14．下列说法正确的有（填序号）：_____． ①同位角相等； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 15．按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________． (2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ (3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子． 易错必刷题型06.同位角相等,两直线平行 典题特征：借助同位角相等条件，完成两直线平行的判定与几何推理证明。 易错点：颠倒判定与性质推导逻辑，非同位角等量关系，强行判定直线相互平行。 16．下列图形中，由能得到的是（    ） A． B． C． D． 17．如图，，O是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点O按逆时针方向至少旋转 _________，才能使． 18．如图，已知，则与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解： （已知） （    ）， ∴（    ） ∥ （    ）， 又 ， （    ）（等式的性质 ）， 同理可得 （    ）， （等量代换）， ∴（    ）∥ （    ）（    ）． 易错必刷题型07.垂直于同一直线的两直线平行 典题特征：依据共垂线条件，直接判定两条被截直线的平行位置关系。 易错点：省略同一平面前置条件，跨空间范围套用定理，推导逻辑顺序混乱。 19．如图，木工师傅用直角尺在工件上画出两条平行线段a，b．下列给出的数学原理能够使这两条线段a，b平行不符合的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．同一平面内，同时平行于同一直线的两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同一平面内，同时垂直于同一直线的两直线平行 20．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是______．（填“平行”或“垂直”） 21．探索与发现（在同一平面内）： (1)若直线，，判断直线与的位置关系，请说明理由； (2)若直线，，，则直线与的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明） (3)现在有2023条直线，，，…，，且有，，，，…，请你探索直线与的位置关系． 易错必刷题型08.内错角相等,两直线平行 典题特征：利用内错角等量关系，判定两条直线平行，书写规范几何推理过程。 易错点：认错内错角位置，颠倒因果推导关系，脱离三线结构判定直线平行。 22．写出一个能判定的条件___________． 23．如图，下列条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 24．如图，直线，被直线所截，为与的交点，，垂足为． (1)若恰好平分，则的度数为________． (2)若，求证：． 易错必刷题型09.同旁内角互补,两直线平行 典题特征：依据同旁内角角度和为180°，判定两条直线平行关系。 易错点：将角度相等替代互补条件，混淆角度数量关系，无序套用判定定理。 25．如图1是小强奶奶编的竹篓，图2是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 26．随着我国科学技术的不断发展，科学展望变为现实．图1是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图2是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围数据如下：①；②；③．垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据_________可判断模型位置能够达标（填序号）． 27．如图，点为直线上一点，，，平分，．那么直线和平行吗？为什么？ 易错必刷题型10.两直线平行,同位角相等 典题特征：已知两直线平行，推导计算图形内对应同位角的具体度数。 易错点：无平行前提直接判定角相等，认错同位角对应位置，造成角度计算错误。 28．将一副三角板按如图所示摆放（其中），点在EF上，且，则的度数为__________． 29．如图，已知，，，那么下列说法不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 30．如图1，，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图1，点，在，之间，且在的左侧，若，求∠的度数； (3)如图2，点在，之间，点在上，直线平分交的延长线于点，若，求证：平分． 易错必刷题型11.两直线平行.内错角相等 典题特征：由直线平行条件，求解图形中内错角度数，梳理角度等量关系。 易错点：擅自以角相等反推直线平行，脱离平行基础条件推导角度关系。 31．折射现象指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线．若，则的度数为______ ． 32．如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 33．如图，已知，平分，已知，求的度数． 易错必刷题型12.两直线平行,同旁内角互补 典题特征：根据平行线条件，计算同旁内角度数，明确两角和差数量关系。 易错点：将互补关系记为角度相等，颠倒平行与角度之间的推导因果。 34．如图，已知直线，，则的度数为（    ） A．35° B．55° C．125° D．145° 35．如图，已知，点，分别在，上，且，的三等分线交于点，过点的射线与相交的夹角为，交于点，则的度数为____． 36．某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：； 请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵， ∴（____________）， ∵， ∴（____________）， ∴______， ∵， ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______； (3)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 易错必刷题型13.由平行线性质探究角的关系 典题特征：结合图形折叠、线段旋转题型，推导平行线间角度和差与倍数关系。 易错点：不会作辅助线拆分复杂角度，动态题型未进行分类讨论，推理逻辑不严谨。 37．如图，若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 38．如图，已知，易得，，根据以上规律求_________． 39．已知射线射线，P为一动点，平分，平分，且与相交于点E． (1)在图1中，当点P运动到线段上时，． ①直接写出的度数______； ②求证：； (2)当点P运动到图2的位置时，猜想与之间的关系，并加以说明； (3)当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出与之间的关系． 易错必刷.题型14.由平行线的性质求角的度数 典题特征：综合对顶角、邻补角、平行线知识，分步求解复合型几何角度。 易错点：不会转化基础角与平行线角的关联，基础角度计算失误，忽略多解情况。 40．将一块三角板按如图方式放置，直角顶点落在上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 41．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 42．探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题提出】如图1，已知，点E是直线之间一点，连接，过点E作，，求的度数； (2)【问题解决】如图2，已知，点B在点A左侧，点D在点C左侧，连接平分，平分，与相交于点E，过点E作，若，求的度数； (3)【问题延伸】如图3，，点A在点B左侧，点D在点C左侧，连接平分，平分，与相交于点E，过点E作，若，且，求的度数． 易错必刷题型15.平行线性质在生活中的应用 典题特征：以方位路线、光线反射、建筑结构为背景，转化几何模型求解角度。 易错点：无法将实际场景抽象为标准几何图形，方位对应角度判定出现偏差。 43．小明骑自行车自A处沿正北方向前进，到达B处后，右拐继续行驶，若到达C处后，想沿正南方向行驶，则他在C处应（    ）． A．左拐 B．右拐 C．右拐 D．左拐 44．如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是___________度． 45．如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 易错必刷题型16.由平行线性质与判定求角度 典题特征：先判定直线平行，再利用平行性质计算角度，综合双向知识点解题。 易错点：混用判定定理与性质定理，折线拐点题型不会添加辅助线拆解图形。 46．如图1是电熨斗的实物图，图2是其剖面示意图．已知，过点D作于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 47．如图，，，点在线段上，，，则的度数为________． 48．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： (1)如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作， ， ， ， ． 运用猜想： (2)如图2，已知，请直接写出的度数； 拓展探究： (3)已知，点A、B在上，C、D在上，且点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数． ②如图4，点B在点A的右侧，若，求度数．（用含n的代数式表示） 易错必刷题型17.由平行线性质与判定证明 典题特征：书写完整几何证明步骤，求证直线平行或角度相等互补结论。 易错点：证明过程缺少定理依据，因果逻辑颠倒，几何书写格式不符合规范。 49．已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（    ） A．截得的一对同旁内角相等 B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C．截得的一对内错角的角平分线互相平行 D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直 50．如图，下列说法正确的序号是______． ①若，则；②若，则； ③若，则； ④若，则. 51．如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 易错必刷题型18.利用平移的性质求解 典题特征：已知图形平移方向与距离，求解平移后对应线段长度、对应角度。 易错点：找错平移前后对应边角位置，错误更改图形形状大小，算错平移距离。 52．如图，将沿方向平移3个单位得到，若的周长为12，则四边形的周长为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 53．如图，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为_________． 54．如图，将三角形沿射线的方向平移个单位长度到三角形的位置，点，，的对应点分别为点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 易错必刷题型19.利用平移解决实际问题 典题特征：通过平移拼接不规则图形，计算生活场景中的长度与面积数值。 易错点：无法拼接成规则基础图形，统计数据重复计算或遗漏部分线段面积。 55．如图，将长为8，宽为6的长方形先向右平移3，再向下平移2，得到长方形，则图中阴影部分的面积为______． 56．如图是某公园里一处矩形草地，长，宽，为方便游人行走，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，那么这块草地青草覆盖的面积（图中阴影部分）还有（    ） A． B． C． D． 57．如图，某住宅小区内有两长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路，余下部分为绿化，如图、图所示，道路的宽为，分别求出图、图中需要绿化的面积． 易错必刷题型20.平移综合题 典题特征：融合平行线、角度计算、图形变换，解答多设问几何综合题型。 易错点：分析动态平移位置不全面，无法联动平行知识解题，遗漏多种答案情形。 58．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 59．如图，平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中B点坐标为(－1，－1)． (1)将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，画出； (2)求的面积． 60．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $