专题07 平行线的拐点模型专项训练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版2024）

专题07. 平行线的拐点模型专项训练 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·北京·期末）如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ． 3．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，，则与满足 ． 3．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，，，，，，则、、的关系为 ． 4．（23-24七年级下·北京房山·期末）下面是解答一道几何题时添加辅助线的方法，请完成证明． 已知：如图，．求证：． 证明：如图，过点作直线．    5．（23-24七年级下·北京东城·期末）如图，已知．    (1)如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 种．（不要证明） 6．（23-24七年级下·北京·期末）已知直线，点，分别为，上的点，为平面内一点，，平分交于点． (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，直接写出与的数量关系． 7．（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，α。(1)若α，求的值；(2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含α的代数式表示）；(3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若α，，则的值是______．    8．（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图1，点E在上，点F在上，点M在直线之间，且，    (1)求证：；(2)如图2所示，点M、N在之间，且位于的异侧，连，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由． (3)如图3，连接，；，且平分．若，与的三等分线交于N，则__________（用含的式子表示）． 9．（23-24七年级下·北京·期中）如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·北京顺义·期末）如图，，若，，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·北京石景山·期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．    12．（23-24七年级下·北京石景山·期末）已知：直线，O是，间的一点，与直线，分别交于点E，F． (1)如图，，过O点作射线，与互余．求证：； (2)若，，请用含，的式子表示． 13．（23-24七年级下·北京通州·期末）如图1，，，，求度数． 小明的解题思路是：如图2，过点P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；完成下列任务：(1)依据小明的思路写出求的度数的完整解答过程； (2)如图3，，直线与直线，分别相交于点G，H，这样三条直线将平面分成六个区域．点P是平面内任意一点，且满足，．请你直接写出点P分别在6个区域运动时，、、之间的数量关系，并选择点P在某一区域内的情况进行证明．（点P不在直线，，上）    14．（2024下·江苏泰州·七年级统考期末）“抖空竹”是我国独有的一项民族传统健身项目，历史悠久，源远流长，在我国有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则 度．    15．（2024上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，且，则 ．    16．（2024·广东东莞·七年级校考期中）（1）如图①，，，，求的度数．（2）如图②，，，，求的度数； （3）如图③，在的条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数．    17．（2024·山东临沂·七年级统考期末）在综合与实践课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含的直角三角尺（，）．    (1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数；(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系． 18．（2024·广东东莞·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，直线和直线，分别交于点，，直线上有一动点．    (1)如图1，点在，之间运动时，，，之间有什么关系，并说明理由； (2)若点在，两点外侧运动时，如图2和图3（点与，不重合），试直接写出，，之间有什么关系，不必写理由． 19．（2024上·北京西城·八年级校考开学考试）如图，，，，则 ．    20．（2023下·北京朝阳·七年级校考期末）如图，已知，，求的度数．    21．（2024下·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（    ）    A． B． C． D． 22．（2023下·北京海淀·七年级校考期末）如图，已知 ，猜想图①，图②，图③中，，， 之间有何数量关系?请用等式表示出它们的关系，并选择其中的两个等式说明理由．    23．（2024·四川广元·三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（    ） A．50° B．40° C．30° D．20° 24．（2023下·广东梅州·七年级统考期末）某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东方向到B站，从B站沿北偏西方向到C站，为了保持水管与方向一致，则为 °．    25．（2024下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 26．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．    27．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内： 解：作，（ ① ）， ，， ，， （ ② ）， （ ③ ）， ，，． 【类比应用】如图2，，，，则的度数是______； 【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．    28．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践 【课题学习】：平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    解：过点A作， ∴______，， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07. 平行线的拐点模型专项训练 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∴．故选：D． 2．（23-24七年级下·北京·期末）如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ． 【答案】/68度 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵，∴，∵，∴，即， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为：． 3．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，，则与满足 ． 【答案】 【详解】过C作， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，故答案为：． 3．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，，，，，，则、、的关系为 ． 【答案】 【详解】解：延长交于，延长交于． 直角中，；中，， 因为，所以，于是， 故．故答案为： 4．（23-24七年级下·北京房山·期末）下面是解答一道几何题时添加辅助线的方法，请完成证明． 已知：如图，．求证：． 证明：如图，过点作直线．    【答案】见解析． 【详解】证明： ． 5．（23-24七年级下·北京东城·期末）如图，已知．    (1)如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 种．（不要证明） 【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）， 证明：，，，， ； （2），证明：，， ，，， ，； （3）如图1，； 如图2，； 如图3，； 如图4，； 四个角，，，之间的数量关系有4种，故答案为：4．    6．（23-24七年级下·北京·期末）已知直线，点，分别为，上的点，为平面内一点，，平分交于点． (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)或． 【详解】（1）∵，∴ ∵平分交于点∴ ∴ 如图所示，过点C作 ∵∴∴ ∵∴∴ ∵∴； （2）如图所示，过点C作 ∵，设∴ ∵平分交于点∴ ∴ ∵∴∴ ∵∴∴ ∵∴∴； 如图所示，过点C作，∵，设∴ ∵平分交于点∴ ∵∴∴ ∵∴∴ ∵∴∴ 综上所述，与的数量关系为或． 7．（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，α。(1)若α，求的值；(2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含α的代数式表示）；(3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若α，，则的值是______．    【答案】(1)；(2)；(3)4． 【详解】（1）解：过点作，          ∵，∴，∴，， ∴，即， ∵，∴； （2）解：过点作，过点作，延长交于点， ∵平分，平分，∴设，， ∵，，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，，， ∴ ，故的值为； （3）解：如图，设直线与交于点，与交于点，       ∵，∴，∵， ∴，∵， ∴，即， ∵，在内，． ∴， ， ∵，∴同（）得， ∴，∴， 即−，∴，解得．故答案为：． 8．（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图1，点E在上，点F在上，点M在直线之间，且，    (1)求证：；(2)如图2所示，点M、N在之间，且位于的异侧，连，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由． (3)如图3，连接，；，且平分．若，与的三等分线交于N，则__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析(2)，理由见解析(3)或 【详解】（1）如图1，过点作，     ∵，∴．∵，， ∴．∴．∴． （2），理由如下：如图2，过点作，过点作， ∵，，，∴． ∴，，． ∴，． ∴．∵，∴． ∴．∴． （3）或；分两种情况： ①当时，如图3-1，过点作，过点作， ∵平分，，∴，． ∵，，， ∴．∴，． ∵，∴．∴， ∵，，， ∴．∴，． ∴． ②当时，如图3-2，过点作，过点作， 同理可得：，． ∴． 9．（23-24七年级下·北京·期中）如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB    观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则故选D 10．（23-24七年级下·北京顺义·期末）如图，，若，，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作，则， ，，， ．故选：B．    11．（23-24七年级下·北京石景山·期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．    【答案】 【详解】解：过点C作，如图，∴，    ∵，∴， ∵，∴，∵于点B，∴， ∴，∴．故答案为： 12．（23-24七年级下·北京石景山·期末）已知：直线，O是，间的一点，与直线，分别交于点E，F． (1)如图，，过O点作射线，与互余．求证：； (2)若，，请用含，的式子表示． 【答案】(1)证明见解析(2)或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵与互余，∴，∴，∴，∵，∴； （2）解：当如图1，过O作，则， ∴，，∴， ∵，∴，又， ∴，∴； 如图2，过O作，则，∴，， ∴，∴， ∵，∴，又， ∴，∴， 综上，或． 13．（23-24七年级下·北京通州·期末）如图1，，，，求度数． 小明的解题思路是：如图2，过点P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；    完成下列任务：(1)依据小明的思路写出求的度数的完整解答过程； (2)如图3，，直线与直线，分别相交于点G，H，这样三条直线将平面分成六个区域．点P是平面内任意一点，且满足，．请你直接写出点P分别在6个区域运动时，、、之间的数量关系，并选择点P在某一区域内的情况进行证明．（点P不在直线，，上） 【答案】(1)(2)当点P在区域①内时，；当点P在区域②内时，；当点P在区域③内时，；当点P在区域④内时，；当点P在区域⑤内时，；与点P在区域④内同理可得 【详解】（1）解：过点作（如图，则， ∵，，∴，又 ， （2）解：当点P在区域①内时，，          过点P作∴∵∴ ∴∴； 当点P在区域②内时，，过点P作∴ ∵∴∴∴； 当点P在区域③内时，，与点P在区域①内同理可得； 当点P在区域④内时，，过点P作∴ ∵∴∴∴；          当点P在区域⑤内时，，过点P作∴ ∵∴∴ ∴； 当点P在区域⑥内时，，与点P在区域④内同理可得． 14．（2024下·江苏泰州·七年级统考期末）“抖空竹”是我国独有的一项民族传统健身项目，历史悠久，源远流长，在我国有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则 度．    【答案】85 【详解】解：如图，延长，交于点F，    ∵，，∴． ∵，∴．故答案为：85． 15．（2024上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，且，则 ．    【答案】12 【详解】解：如图，延长交于点，令与相交于点，，， 平分，平分，，，， 是的外角，是的外角，，， ，， ，，，故答案为：12    16．（2024·广东东莞·七年级校考期中）（1）如图①，，，，求的度数．（2）如图②，，，，求的度数； （3）如图③，在的条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数．    【答案】（1）90°；（2）70°；（3）35° 【详解】解；（1）如图，过点作，              两直线平行，内错角相等，已知， 平行于同一条直线的两直线平行， 两直线平行，同旁内角互补． 已知，， ，即； （2）如图，过点作， 两直线平行，内错角相等， (已知)，平行于同一条直线的两直线平行， 两直线平行，内错角相等． ； （3）如图，过点作，是的平分线，是的平分线， ，， 两直线平行，内错角相等 已知，平行于同一条直线的两直线平行， 两直线平行，内错角相等． ． 17．（2024·山东临沂·七年级统考期末）在综合与实践课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含的直角三角尺（，）．    (1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数；(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）解：，， 又，，， 又，，； （2）解：，理由：，， 即， 又，． 18．（2024·广东东莞·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，直线和直线，分别交于点，，直线上有一动点．    (1)如图1，点在，之间运动时，，，之间有什么关系，并说明理由； (2)若点在，两点外侧运动时，如图2和图3（点与，不重合），试直接写出，，之间有什么关系，不必写理由． 【答案】(1)；(2)或； 【详解】（1）解：． 理由如下：作，如图1，       ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）如图，作，∵， ∴， ∴，， 即，， 在图2中，， 即； 在图3中，， 即， 综上所述，或. 19．（2024上·北京西城·八年级校考开学考试）如图，，，，则 ．    【答案】/22.5度 【分析】由平行线的性质推出，由外角的性质和，即可可解． 【详解】解：∵，，∴， ∵，，∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 20．（2023下·北京朝阳·七年级校考期末）如图，已知，，求的度数．    【答案】 【详解】解：，， ，，的度数为． 21．（2024下·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：    ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，故选：C． 22．（2023下·北京海淀·七年级校考期末）如图，已知 ，猜想图①，图②，图③中，，， 之间有何数量关系?请用等式表示出它们的关系，并选择其中的两个等式说明理由．    【答案】① ，详见解析；② ，详见解析；③，详见解析 【详解】① ， 理由：如图 ，过点 作 ，       ∵ ，∴ ，∴ ，， ∴ ，即 ； ② ，理由：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，即 ； ③ ，理由：如图 ，延长 交 于点 ，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，即 ． 23．（2024·四川广元·三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（    ） A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】D 【详解】解：过点C作，∴， ∵∴； ∵，∴； 由题意，∴，∴．故选：D 24．（2023下·广东梅州·七年级统考期末）某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东方向到B站，从B站沿北偏西方向到C站，为了保持水管与方向一致，则为 °．    【答案】100 【详解】解：如图所示，    为了保持水管与方向一致，则，由题可得，， ∵，∴，∴， ∴， 又∵，∴，故答案为：100． 25．（2024下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ，，故选：． 26．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．    【答案】 【详解】解：过点C作，如图：    则，∴，， ∵，∴， ∴，∴． 27．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内： 解：作，（ ① ）， ，， ，， （ ② ）， （ ③ ）， ，，． 【类比应用】如图2，，，，则的度数是______； 【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．    【答案】【探究感知】①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；【类比应用】；【拓展延伸】． 【详解】探究感知解：作，（两直线平行，内错角相等）， ，， ，，（平行于同一条直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ，，， 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补； 类比应用，解：如图，过点C作直线，，，， ，，，，，， ，，故答案为：；    拓展延伸解：如图，过点F作， ，，平分，平分， ，，，， ，，，，．    28．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践 【课题学习】：平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    解：过点A作， ∴______，， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    【答案】（1），；（2）；（3）． 【详解】（1）解：过点A作，∴，， 又∵，∴；故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，∵，∴，∴，，       ∴∴； （3）过E点作，如图， ∵，∴，∵平分，平分， ∴，，设，， ∵，，∴，， ∵，∴，∵， ∴，， ∵． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$