专题06 三角形中的倒角模型专项训练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题06 三角形中的倒角模型专项训练 本专题包含“8”字模型、“A”字模型、三角板模型、高分线模型、双（三）垂直模型、双角平分线模型、燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型、平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型等。 1．（23-24七年级下·四川内江·开学考试）如图，，与相交于点O，与的角平分线相交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，如此继续下去，则与、之间的数量关系为（   ） A． B． C． D．没有等量关系 【答案】C 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，∴，∴，， ∴，∵，∴，， ∵、分别平分、，∴，， ∴；同理得：； ；……∴，故选：C． 2．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：． (2)如图2所示，，则的度数为　 　． (3)如图3，若和的平分线和相交于点P，且与，分别相交于点M，N． ①若，，求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“， ”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由．    【答案】(1)见解析(2)(3)①；②，理由见解析 【详解】（1）证明：在图1中，有，， ∵，∴； （2）解：如图2所示，∵，，∴，    ∵，，∴，∴， ∵，∴．故答案为：． （3）解①以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有， ∴，∵、分别平分和， ∴，，∴，∵，∴； ②，其理由是：∵，， ∴，， 以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有， ∴，． ∴，∴． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)由图1可知：______；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N．①以线段为边的“8字型”有____个，以点为交点的“8字型”有____个； ②若，，求的度数；③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． (3)如图3，在四边形中，，，若点E是延长线上的一点，交于点F，分别作、的角平分线，两条角平分线交于点G，直线交于点M，若，则______． 【答案】(1)(2)①3，4；②；③，理由见解析(3)125 【详解】（1）解：，， ，故答案为：． （2）解：①线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”，故答案为：3，4； ②以为交点“8字型”中，有， 以为交点“8字型”中，有，∴， ∵分别平分和，∴，，∴， ∵，，∴； ③，理由如下：由（1）可知，， ∵，，∴，，，∴， 由（2）②可知，， ∴， ∴，∴． （3）解：，，，， ，，，设，， 是的角平分线，是的角平分线，，， 又，，，故答案为：125． 4．（2023·河北沧州·模拟预测）在中，数据如图所示，若比小，则比（    ）    A．大 B．小 C．大 D．小 【答案】A 【详解】根据三角形内角和定理，得， ∴，∴， ∵比小，∴，故选A． 5．（2024·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】见解析 【详解】解：和是的外角，． 又，． 6．（23-24八年级上·河南许昌·期中）（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小；（3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 【答案】（1）50；（2）不变化，；（3） 【详解】解：（1）∵，∴， ∵在直角三角板中，，∴， ∴，即． （2）不发生变化，理由如下：∵，∴， ∵在直角三角板中，，∴， ∴，即． （3）∵，∴， ∵在直角三角板中，，∴， ∴， 即． 7．（2024·山西吕梁·校联考模拟预测）如图：和是两块直角三角尺，两直角三角尺的斜边AB、DE在同一直线上，其中，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵由题意得，， ∴，故选：B 8．（2023春·四川成都·七年级统考期末）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目．      (1)若为等腰直角三角形，且；①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么　 　度； ②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程；(2)若为等腰三角形，已知． 丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程． 【答案】(1)①105；②75°(2) 【详解】（1）解：①∵，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：105； ②∵，∴， 如图2，过点P作，∵，∴，    ∴，∴； （2）由②得：，∵，∴， ∵，∴， ∴． 9．（2024·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．(1)图1中，的度数是______．(2)①求图1中的度数；②图2中，，求的度数．    【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：∵，，∴，故答案为：； （2）解：①∵，，∴； ②∵，，∴， 又∵，∴． 10．（2024·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，，即，∴ ∵是中线，即点是的中点，∴，故选：C． 11．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，平分于点交于点F．若，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵平分，∴． ∵，∴．∴． 12．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）(1)如图①，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°.求∠DAE的度数；(2)如图②，已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，延长AE至点F，过点F作FD⊥BC于点D，若∠B＝x°，∠C＝(x＋36)°. ①∠CAE＝________(含x的代数式表示)；②求∠F的度数． 【答案】(1)∠DAE=10°；（2）①72°﹣x°，②∠F=18°． 【详解】(1) ∵∠B=30°，∠C=50°，∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°. ∵AE是△ABC的角平分线，即AE平分∠BAC，∴. ∵AD是△ABC的高，即AD⊥BC，∴在Rt△ADC中，∠CAD=90°-∠C=90°-50°=40°， ∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°. (2) ①∵∠B=x°，∠C=(x+36)°，∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-x°-(x+36)°=(144-2x)°. ∵AF平分∠BAC，∴.故本小题应填写：. ②∵AF平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=72°-x°. ∵∠AEC是△ABE的一个外角，∴∠AEC=∠BAE+∠B=72°-x°+x°=72°，∴∠FED=∠AEC=72°. ∵FD⊥BC，∴在Rt△EDF中，∠F=90°-∠FED=90°-72°=18°. 13．（2024·河北保定·八年级校联考阶段练习）如图，，都是的高，则与一定相等的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，都是的高， ∴．∴． A、当时，可得，该选项不符合题意； B、当时，可得，该选项不符合题意； C、根据题意可知，该选项符合题意； D、当时，可得，该选项不符合题意．故选：C． 14．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图1，在中，，垂足为．如图2，将沿所在直线翻折，使点落在边上，记为．    (1)若，求的度数．(2)若，则的度数为______（用含的代数式表示）． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，，，由翻折的性质可得出， ∵，； （2）∵，且点落在线段上时，∵， ， 由翻折可知． 15．（2024·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，∵，∴， ∵在和中，∴，∴， 则，故C正确．故选：C． 16．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，D为垂足． (1)求证：；(2)若，求的值 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）解：在中，，， ，，； （2）解：，，． 17．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，，，垂足分别为点D、E，AD、CE交于点H，．下列结论：①；②；③；④．你认为正确的有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：假设成立，∵，∴， ∵，矛盾，∴不成立，故①错误．∵，，∴， 在和中，∴∴故②正确． ∵，∴故③正确．延长交于点L，    ∵，，∴， ∵，∴，∴，故④正确．故选：B． 18．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是的角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为______； (2)若是的角平分线，试说明与的数量关系． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∴与的周长差为：，故答案为：； （2）∵、是的角平分线，∴，， ∴， ∴， 又∵，∴，∴． 19．（23-24七年级下·河南南阳·期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值， ①如果，则的度数为 ；如果，则的度数为 ； ②于是猜想与的数量关系为 ；请你说明理由． (2)小明继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点D．若，，则的度数为 ； (3)小明又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角与外角．的角平分线所在的直线相较于点P，当，时，的度数为 ． 【答案】(1)①；；②，证明见解析；(2)(3) 【详解】（1）解：①平分，平分，， ， ∵，则；∵，则； ②猜想：，理由如下：平分，平分，， ； （2）解：延长交于点P，     ，，，， 在中，，由（1）结论得： （3）解：如图，延长，延长交于点， ∵，，∴， ∵，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相较于点P，∴分别平分，由（2）的结论可得：； 20．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． (1)当时，求证：；(2)在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由；(3)连接，是线段上的动点，是线段上的动点，当，时，求的最小值． 【答案】(1)见详解(2)的大小不变，(3)的最小值为4 【详解】（1）如图1∵，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∵平分，∴， ∴，∴； （2）如图2，的大小不变，．理由如下： ∵，，∴， ∵，，∴， ∵，分别平分，，∴， ∵，∴； （3）如图3，过点作于，过点作于，于， 于， ∵平分，，，∴， ∵平分，，，∴，∴，∴平分， 作点关于的对称点，连接，，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴的最小值为4． 21．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）普于学习的小亮同学借助数学软件做了以下探究．如图①，已知与的角平分线与相交于点，并且平分的外角．设，，．若不断变化的度数，与的数值大小也发生变化，得到下面几组对应值： 50 60 70 80 90 115 120 130 135 25 30 40 45 (1)直接写出上表中　　　　；　　　　； (2)写出数值与的函数关系　　　　；写出数值与的函数关系　　　　；并对其中的一种函数关系解释理由；(3)如图②，用剪刀剪下，剪痕交、分别于、两点，得到四边形，若，求的度数；(4)如图③，在图①的情况下再作与外角的角平分线相交于点，继续作与外角的角平分线相交于点，以此类推，作与外角的角平分线相交于点．直接写出度数的大小（用的关系式表示）． 【答案】(1)125，35；(2)，，理由见解析；(3)(4) 【详解】（1）解：观察表格发现，每增加，和增加， ，，故答案为：125，35； （2）解：数值与的函数关系为：，理由如下： ，，， 、分别平分、，，， ， ，即； 值与的函数关系为：，理由如下： 是的外角，， 是的外角，， 平分，，，，即； （3）解：四边形的内角和为，且，， 、分别平分、，，， ，； （4）解：由（2）可知，，，，…… 观察发现，． 22．（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线．试说明的理由． 解：因为平分（已知），所以 （角平分线定义）．同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）．即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）见解析 【详解】（1）解：因为平分（已知），所以（角平分线定义）．同理：． 因为，（三角形的内角和等于180， 所以 （等式性质）．即：． （2）解：与之间的等量关系是：．理由： 、分别是的两个外角、的平分线，，， ，， 而，， ，， ，， 与之间的等量关系是：． 理由：、分别是的一个内角和一个外角的平分线，， 即： （3）解：因为平分（已知），所以（角平分线定义）． 同理：，． ，（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和）， ．又（已知），（等式性质）． （平角的定义），． （三角形的内角和等于， （等式性质）．（等量代换）．．（等角对等边）． 23．（23-24七年级下·吉林长春·期中）阅读下面材料，并解决问题． 【问题情境】如图1，已知在中，，的角平分线交于点O，则；（不需证明）    【问题探究】（1）如图2，在中，若，，的三等分线交于点，．则______，______； （2）如图3，在四边形中，若，，，的三等分线交于点，．求，的度数． 【问题解决】（3）如图4，在四边形中，是四边形的外角，若，，，的三等分线交于点，．则______，______．（用含，的式子表示）．    【答案】（1），，（2），，问题解决：，， 【详解】（1）∵，∴， ∵和的三等分线相交于点、， ∴，，，， ∴，， ∴，； （2）四边形可以看做是两个三角形拼接而成，故四边形的内角和可以看做是两个三角形的内角和的和，即四边形的内角和为，∵在四边形中，若，， ∴，∵，的三等分线交于点，， ∴，，，， ∴，， ∴，； 问题解决：∵，的三等分线交于点，， ∴，，，， ∵，，∴，， ∴，， ∵，∴，， ∵在四边形中，，，∴， ∴， ∴，． 24．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）问题背景：在小学我们了解到三角形内角和等于（内角和定理），学完平行线相关知识后我们可以对内角和定理进行证明． （1）如图1，过的顶点作直线，求证：（即三角形内角和为）． 尝试应用：请利用内角和定理的结论解答下列问题（仅限于本题） （2）已知内部两条射线、交于点， ①如图2：若，则______度（直接写出答案即可） ②如图3：若，、分别平分、，求的度数 拓展创新：（3）如图4：在四边形中，、的角平分线交于点E，求，和之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）①，②；（3） 【详解】（1）证明：∵，∴，， ∵，∴． （2）解：①∵，， ∴，故答案为：． ②∵，，∴， ∵、分别平分、，∴，， ∴，则． （3）连接，如图： ∵、的角平分线交于点E，∴，， ∵，∴， 即，整理得：， 则， 即，整理得：． 25．（2024·成都市·七年级期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用（1）直接应用：①如图2，，则__________； ②如图3，__________； （2）拓展应用：①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________； ②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为__________． 【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0 【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°； ②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°； （2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-（∠ABO+∠ACO） =∠BOC-（∠BOC-∠A）=∠BOC-（120°-50°）=120°-35°=85°； ②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）=120°-（120°-50°）=120°-21°=99°； ③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）=180°-（120°-44°）=142°； ④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，联立得：∠B-∠C+2∠D=0． 26．（2024·河南平顶山·八年级统考期末）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接，若，则 ． 【答案】/260度 【详解】如图，连接，则，，∵，∴， ∴，故答案为：． 27．（2024·云南·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B＝20°，∠D＝25°，则∠BCD等于 度． 【答案】125 【详解】解：如图，连接AC，延长到E， ∵∠BCE＝∠B+∠BAE，∠DCE＝∠D+∠DAE，∴∠BCE+∠DCE＝∠B+∠BAE+∠D+∠DAE， ∵∠BCD＝∠BCE+∠DCE，∠BAD＝∠BAE+∠DAE，∴∠BCD＝∠B+∠D+∠BAD， ∵∠BAD＝80°，∠B＝20°，∠D＝25°，∴∠BCD＝20°+25°+80°＝125°．故答案为：125． 28．（2024·四川南充·七年级校考期中）如图：直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．    【答案】87° 【详解】解：在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-67°-74°=39°． 在△ADE中，∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-39°-48°=93°，所以，∠BDF=180°-∠ADE=180°-93°=87°． 29．（2024·新疆·八年级校考期中）如图，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的一个外角，∴， ∵是的一个外角，∴，故选：C． 30．（2024·江苏扬州·七年级统考期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，依题意，    ∴ 即 ， ∵∴ ∴∴∴故选：C． 31．（2024·山东济宁·八年级统考期末）如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝ 度． 【答案】40． 【详解】∵△ABC沿着DE翻折，∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°， ∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°， ∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°，∴∠B＝40°．故答案为：40°． 32．（2024·河南安阳·八年级校考期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（    ） A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2） C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2 【答案】A 【详解】解：根据折叠的性质，得． 在中，，在中，， ∴，即．故选A． 33．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，分别是的高和角平分线，点F在的延长线上，于点G，分别交，，于点M，N，H．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，故①符合题意； ∵，平分，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，故②不符合题意； ∵，，∴， ∵，∴，故③符合题意； ∵，∴， ∵，∴，故④符合题意，综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 34．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）【探究学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． 【概念理解】（1）如图1，在中，，平分，则与 （填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； 【概念应用】（3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3）或或或． 【详解】解：（1）∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴，∴与互为“类似三角形”．故答案为：是． （2）证明：∵，，∴， ∵平分，∴，∴， ∴是等腰三角形，， ∴为的完美分割线． （3）（Ⅰ）当是等腰三角形时，①如图1， 当时，则，∴， ∵，∴；∴，， ∵，∴，∴此种情况符合题意； ②如图2，当时，则， 此时，∴； ∴，，∵， ∴，∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在；（Ⅱ）当是等腰三角形时，①如图3， 当时，，∴， ∵，∴，∴， ∴；，，∴，， ∵，∴，∴此种情况符合题意； ②如图4，当，时，∴， 由，得，∴， ∴， ∴，； ∴，， ∵，∴，∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在；综上所述：或或或． 35．（24-25八年级上·浙江·课后作业）如图，在中，沿图中虚线截去，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【详解】解：∵，∴． 在中，由三角形内角和定理，得．故答案为：． 36．（2024·四川泸州·八年级统考期中）如图，的三边、、长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过O点作，，，垂足分别为，，， 的三条角平分线交于点O，，，，， ．故选C． 37．（2024·广东·七年级专题练习）如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于D，交于E，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：∵和的平分线相交于点F，∴，， ∵，∴，， ∴，，∴，，∵， ∴的周长为：．故选：B． 38．（2024·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点为的边上一点，点分别在边上，连接，若，则的度数为 ．    【答案】 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，∴， ∵，∴，∴是的角平分线，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为．    39．（2024广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________． （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长． （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明． 【答案】（1）5，，20（2）2，，证明见详解，18 （3），证明见详解 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，，∴， ∴等腰三角形有，共计5个，∴，即， ∴的周长， 故答案为：5，，20； （2）若为不等边三角形，∵平分，平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴等腰三角形有，共计2个，故答案为：2； ∵，∴，即； ∴的周长； （3）与、之间的数量关系为：， 证明：∵平分，平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，即与、之间的数量关系为． 40．（2024·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2 【详解】（1）作，作DHAB垂足分别为F，H ∵BD是的角平分线． ∴DF=DH 则有：= = （2）作BECA垂足为E 则有： = = ∴= （3）由（2）知，= BC=4，AB=6，AC=5， 故答案为：2 41．（2024·安徽滁州·八年级统考期末）中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．    （1）如图1，当平分时，若，，则 ； （2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 . 【答案】 / 9 【详解】解：（1）如图1，过D作于E，于F，是的角平分线，，    ，，，故答案为：； （2），∴，，，平分， 由（1）可知：，， ，故答案为：9． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形中的倒角模型专项训练 本专题包含“8”字模型、“A”字模型、三角板模型、高分线模型、双（三）垂直模型、双角平分线模型、燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型、平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型等。 1．（23-24七年级下·四川内江·开学考试）如图，，与相交于点O，与的角平分线相交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，如此继续下去，则与、之间的数量关系为（   ） A． B． C． D．没有等量关系 2．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：． (2)如图2所示，，则的度数为　 　． (3)如图3，若和的平分线和相交于点P，且与，分别相交于点M，N． ①若，，求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“， ”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由．    3．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)由图1可知：______；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N．①以线段为边的“8字型”有____个，以点为交点的“8字型”有____个； ②若，，求的度数；③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． (3)如图3，在四边形中，，，若点E是延长线上的一点，交于点F，分别作、的角平分线，两条角平分线交于点G，直线交于点M，若，则______． 4．（2023·河北沧州·模拟预测）在中，数据如图所示，若比小，则比（    ）    A．大 B．小 C．大 D．小 5．（2024·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 6．（23-24八年级上·河南许昌·期中）（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小；（3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 7．（2024·山西吕梁·校联考模拟预测）如图：和是两块直角三角尺，两直角三角尺的斜边AB、DE在同一直线上，其中，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023春·四川成都·七年级统考期末）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目．      (1)若为等腰直角三角形，且；①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么　 　度； ②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程；(2)若为等腰三角形，已知． 丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程． 9．（2024·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．(1)图1中，的度数是______．(2)①求图1中的度数；②图2中，，求的度数．    10．（2024·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 11．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，平分于点交于点F．若，求的度数． 12．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）(1)如图①，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°.求∠DAE的度数；(2)如图②，已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，延长AE至点F，过点F作FD⊥BC于点D，若∠B＝x°，∠C＝(x＋36)°. ①∠CAE＝________(含x的代数式表示)；②求∠F的度数． 13．（2024·河北保定·八年级校联考阶段练习）如图，，都是的高，则与一定相等的角是（    ）    A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图1，在中，，垂足为．如图2，将沿所在直线翻折，使点落在边上，记为．    (1)若，求的度数．(2)若，则的度数为______（用含的代数式表示）． 15．（2024·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．1 D．2 16．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，D为垂足． (1)求证：；(2)若，求的值 17．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，，，垂足分别为点D、E，AD、CE交于点H，．下列结论：①；②；③；④．你认为正确的有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是的角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为______； (2)若是的角平分线，试说明与的数量关系． 19．（23-24七年级下·河南南阳·期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值， ①如果，则的度数为 ；如果，则的度数为 ； ②于是猜想与的数量关系为 ；请你说明理由． (2)小明继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点D．若，，则的度数为 ； (3)小明又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角与外角．的角平分线所在的直线相较于点P，当，时，的度数为 ． 20．（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． (1)当时，求证：；(2)在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由；(3)连接，是线段上的动点，是线段上的动点，当，时，求的最小值． 21．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）普于学习的小亮同学借助数学软件做了以下探究．如图①，已知与的角平分线与相交于点，并且平分的外角．设，，．若不断变化的度数，与的数值大小也发生变化，得到下面几组对应值： 50 60 70 80 90 115 120 130 135 25 30 40 45 (1)直接写出上表中　　　　；　　　　； (2)写出数值与的函数关系　　　　；写出数值与的函数关系　　　　；并对其中的一种函数关系解释理由；(3)如图②，用剪刀剪下，剪痕交、分别于、两点，得到四边形，若，求的度数；(4)如图③，在图①的情况下再作与外角的角平分线相交于点，继续作与外角的角平分线相交于点，以此类推，作与外角的角平分线相交于点．直接写出度数的大小（用的关系式表示）． 22．（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线．试说明的理由． 解：因为平分（已知），所以 （角平分线定义）．同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）．即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 23．（23-24七年级下·吉林长春·期中）阅读下面材料，并解决问题． 【问题情境】如图1，已知在中，，的角平分线交于点O，则；（不需证明）    【问题探究】（1）如图2，在中，若，，的三等分线交于点，．则______，______； （2）如图3，在四边形中，若，，，的三等分线交于点，．求，的度数． 【问题解决】（3）如图4，在四边形中，是四边形的外角，若，，，的三等分线交于点，．则______，______．（用含，的式子表示）．    24．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）问题背景：在小学我们了解到三角形内角和等于（内角和定理），学完平行线相关知识后我们可以对内角和定理进行证明． （1）如图1，过的顶点作直线，求证：（即三角形内角和为）． 尝试应用：请利用内角和定理的结论解答下列问题（仅限于本题） （2）已知内部两条射线、交于点， ①如图2：若，则______度（直接写出答案即可） ②如图3：若，、分别平分、，求的度数 拓展创新：（3）如图4：在四边形中，、的角平分线交于点E，求，和之间的数量关系． 25．（2024·成都市·七年级期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用（1）直接应用：①如图2，，则__________； ②如图3，__________； （2）拓展应用：①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________； ②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为__________． 26．（2024·河南平顶山·八年级统考期末）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接，若，则 ． 27．（2024·云南·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B＝20°，∠D＝25°，则∠BCD等于 度． 28．（2024·四川南充·七年级校考期中）如图：直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．    29．（2024·新疆·八年级校考期中）如图，，，，则（    ）    A． B． C． D． 30．（2024·江苏扬州·七年级统考期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ） A． B． C． D． 31．（2024·山东济宁·八年级统考期末）如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝ 度． 32．（2024·河南安阳·八年级校考期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（    ） A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2） C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2 33．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，分别是的高和角平分线，点F在的延长线上，于点G，分别交，，于点M，N，H．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 34．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）【探究学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． 【概念理解】（1）如图1，在中，，平分，则与 （填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； 【概念应用】（3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 35．（24-25八年级上·浙江·课后作业）如图，在中，沿图中虚线截去，若，则的度数为 ． 36．（2024·四川泸州·八年级统考期中）如图，的三边、、长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，等于（　　） A． B． C． D． 37．（2024·广东·七年级专题练习）如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于D，交于E，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 38．（2024·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点为的边上一点，点分别在边上，连接，若，则的度数为 ．    39．（2024广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________． （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长． （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明． 40．（2024·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 41．（2024·安徽滁州·八年级统考期末）中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．    （1）如图1，当平分时，若，，则 ； （2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 . 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$