第9章 轴对称、平移与旋转（12大压轴题型）（专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

第9章 轴对称、平移与旋转（12大压轴题型） 【经典例题一 轴对称图形的识别】 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）第33届夏季奥运会于2024年7月26日在法国巴黎举行，下列图标是巴黎奥运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、是轴对称图形，故选项符合题意； 故选：． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）在“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有 个． 【答案】3 【分析】根据轴对称图形的概念分析判断即可得出结果． 【详解】解：线段、角、圆都是轴对称图形，三角形不一定是轴对称图形， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的概念，正确的掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 3．（23-24八年级上·山东·课后作业）找出下列每个轴对称图形的对称轴并画在图上. 【答案】详见解析. 【分析】根据轴对称图形的性质作图即可. 【详解】 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的性质. 【经典例题二 成轴对称的两个图形的识别】 4．（22-23八年级上·湖北十堰·期末）如图的四组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的有（     ） A．1组 B．2组 C．3组 D．0组 【答案】A 【分析】:欲分析两个图形是否成中心对称,主要把一个图形绕一个点旋转180°,观察是否能和另一个图形重合即可． 【详解】根据中心对称的概念,知①、②、③都是中心对称;④是轴对称 故选：A． 【点睛】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心 5．（2024·浙江杭州·模拟预测）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可） 【答案】都是轴对称图形 【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征． 【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形， 故答案为：都是轴对称图形． 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征． 6．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，△ABC 和△关于直线 PQ 对称，△和△关于直线 MN对称. （1）用无刻度直尺画出直线MN； （2）直线 MN 和 PQ 相交于点 O，试探究∠AOA2 与直线 MN，PQ 所夹锐角α的数量关系. 【答案】(1)见解析;(2) ∠AO=2α. 【分析】（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理． 【详解】解：（1）如图，连接． 作线段的垂直平分线MN． 则直线MN是△和△的对称轴． （2）∠AO 是直线 MN，PQ 所夹锐角α的2倍， 理由：∵△和△关于直线MN对称，∴ 与关于MN对称， ∴. 又∵△ABC 和△关于直线 PQ 对称， ∴∠AOP=∠OP． ∴∠AO =+∠AOP+∠OP =2（ +∠OP）=2α 即∠AO=2α． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称的性质求角的度数是解题的关键. 【经典例题三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 7．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，正六边形关于直线l成轴对称的图形是正六边形，有下列说法：①；②；③直线；④．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．    【答案】①③④ 【分析】根据轴对称的性质，多边形的内角和求解，然后判断作答即可． 【详解】解：由轴对称的性质可得，，直线，， ∴①③④正确，故符合要求；②错误，故不符合要求； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，多边形的内角和．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，，则是最短路线．能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，， ∴，， ∴， 根据“两点之间，线段最短”知，此时是最短为， ∴所走路线即为． 【经典例题四 折叠问题】 10．（24-25七年级上·广东揭阳·期末）如图，为长方形纸片的边上一点，将纸片沿折叠，点落在点处，将纸片沿折叠，点落在点处． 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的定义，由得，由折叠的性质得，，进而得到，据此即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，， ∴ ， 故选：． 11．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，将沿折叠，使点落在点处． 嘉嘉认为此题与，的关系为： 淇淇认为此题与，的关系为： 老师说她俩的答案都有错误，同学们，你们认为与，的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，由折叠可得，进而由三角形外角性质可得，再根据三角形外角性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，由折叠可得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·甘肃白银·期末）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1)填空：______，______． (2)若固定点A，将线段折叠，使点B与点A重合，则折叠后点O与哪个数表示的点重合？ (3)若点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度相向而行，则几秒后A，B两点相距3个单位长度？ 【答案】(1)；8 (2) (3)经过3秒或秒后，A，B两点相距3个单位长度 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、非负数的性质、数轴上两点间的距离等知识点，掌握数形结合思想以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性和为0求出a、b的值即可； （2）计算点A、点B间的距离找到折叠点表示的数，确定与点O重合的点表示的数； （3）分相遇前相距3个单位长度和相遇后相距3个单位长度，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：；8． （2）解：∵，， ∴点A、点B都距离折叠点9个单位长度， ∴折叠点表示， ∴折叠后，点O与表示的点重合． （3）解：设x秒后A，B两点相距3个单位长度． ①若A，B两点相遇前相距3个单位长度，则有，解得； ②若A，B两点相遇后相距3个单位长度，则有，解得． 答：经过3秒或秒后，A，B两点相距3个单位长度． 【经典例题五 画对称轴】 13．（2024九年级·全国·竞赛）下列图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（    ） A．菱形 B．正三角形 C．正方形 D．正五边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质以及以及菱形、三角形、等腰梯形和正五边形的性质等知识．轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，而这条直线就是这个图形的对称轴． 根据轴对称图形的特点以及菱形、三角形、等腰梯形和正五边形的性质逐项判断即可． 【详解】A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误； B、正三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确； C、正方形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故C选项错误； D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一个等腰三角形与一个等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故D选项错误． 故选：B． 14．（21-22八年级上·全国·课后作业）角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条． 【答案】 角平分线所在的直线 圆的直径所在的直线 n 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折，使两侧能够完全重合，这条直线叫对称轴，根据定义解答． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线；圆的对称轴是圆的直径所在的直线；正n边形的对称轴有n条， 故答案为：角平分线所在的直线；圆的直径所在的直线；n． 【点睛】此题考查图形的对称轴定义，熟记定义是解题的关键． 15．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 【答案】(1) (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称图形与轴对称的性质是解题关键． （1）结合网格，利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得； （2）连接对应点，，利用网格作出，的垂直平分线即可得； （3）连接，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：的面积为 ． 故答案为：． （2）解：直线即为所求，如图： （3）解：点即为所求，如图： 【经典例题六 找旋转中心、旋转角、对应点】 16．（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】如图：连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心；掌握旋转中心的确定方法是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵绕某点旋转一定的角度，得到， ∴连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线， ∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B． 故选：B． 17．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的定义和旋转，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键．根据“对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心”即可找到答案． 【详解】解：如图，连接，，作线段，的垂直平分线，交点就是旋转中心． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，线段的两个端点和点都在小方格的格点上．请根据下列要求用无刻度直尺作图． (1)将线段平移，使平移后的线段经过点． ①请在图中画出一条符合要求的线段； ②写出线段平移至线段的方法； (2)第（1）问的线段也可由线段旋转得到，请作出其旋转中心． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，作旋转中心； （1）①根据平移的性质，使得点平移至，点平移至点，即可求解； ②将线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段； （2）连接交于点，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，线段即为所求； ②将线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段，线段经过点． （2）解：如图所示，点即为所求． 【经典例题七 根据旋转的性质说明线段或角相等】 19．（2024·山东东营·二模）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角的运用是解题的关键．根据旋转的性质和三角形外角的定义和性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，． ∵， ∴， ∴，故选项A正确，符合题意； 无法证明，故选项B不正确，不符合题意； ∵， 又∵， ∴，故选项C不正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴是等腰三角形，但无法证明是等边三角形， 故选项D不正确，不符合题意． 故选：A 20．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】①根据旋转的性质，可得，结合，即可判断， ③根据旋转的性质，可证，得到，即可判断， ④由，，在中，应用勾股定理，即可判断， ②根据与的关系，判断与的关系，即可判断， 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ，， ， ，故①正确， ， ，即：平分，故③正确， ， ， 在中，，即：，故④正确， 与不一定相等， 与不一定相等，故②不正确， 综上所述，①③④正确， 故答案为：①③④． 21．（23-24七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图1，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图2，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析；或 (3)；理由见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换，余角的定义和性质以及角平分线，关键是明确同角的余角相等，灵活运用角的和差关系进行计算． （1）根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）分两种情况画图，根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据角平分线定义与角的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，当与重合时， 三角形和三角形，，，，， ，； （2）如图3，， ， 如图4，， ， 综上所述：度数为或； （3），理由如下： 如图2，平分， ， 平分， ， ． 【经典例题八 旋转的性质及辨析】 22．（24-25八年级上·山东烟台·期中）一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是（   ） A．对应线段平行； B．对应线段相等； C．对应角相等； D．不改变图形的形状和大小， 【答案】A 【分析】本题考查了平移和旋转的性质，熟知平移和旋转的性质是解题的关键． 根据平移和旋转的性质分析即可得出答案． 【详解】A．平移后对应线段平行或共线，旋转对应线段不一定平行，故本选项说法错误，符合题意； B．无论平移还是旋转，对应线段相等，故本选项正确，不符合题意； C．无论平移还是旋转，对应角相等，故本选项正确，不符合题意； D．无论平移还是旋转，图形的形状和大小都没有发生变化，故本选项正确，不符合题意； 故选：A． 23．（22-23八年级下·全国·课后作业）在平面内把一个图形绕着某 沿着某个方向转动 的图形变换叫做旋转．这个点O叫做 ，转动的角叫做 ．因此，图形的旋转是由 ， 和 决定的． 【答案】 点O 一个角度 旋转中心 旋转角 旋转中心 旋转方向 旋转角 【分析】根据旋转的定义解答即可. 【详解】在平面内把一个图形绕着某点O沿着某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转．这个点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．因此，图形的旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角决定的． 故答案为：点O；一个角度；旋转中心；旋转角；旋转中心；旋转方向；旋转角 【点睛】此题考查了旋转的定义，掌握定义是解答此题的关键. 24．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF. （1）∠FDC=∠EBC，相等吗？ （2）△DCF能与△BCE重合吗？ （3）BE与DF垂直吗？ 【答案】（1）相等，（2）△DCF能与△BCE重合；（3）BE⊥DF 【分析】（1）相等，根据正方形的性质和已知条件证明△DCF≌△BCE即可； （2）能，根据（1）可得结论； （3）BE⊥DF．延长BE交DC于M，证明∠DME=90°即可． 【详解】解：（1）相等； ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠DCF=∠BCE=90°， 在△DCF和△BCE中， ， ∴△DCF≌△BCE， ∴∠FDC=∠EBC， 故答案为相等； （2）∵△DCF≌△BCE， ∴△DCF能与△BCE重合， 故答案为能； （3）垂直， 理由如下：延长BE交DC于M， ∵△DCF≌△BCE， ∴∠CDF=∠EBC， ∵∠EBC+∠BEC=90°， ∴∠CDF+∠DEM=90°， ∴∠DME=90°， ∴BE⊥DF， 故答案为垂直． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及垂直的判定，解本题的关键是△BCE≌△DCF的求证． 【经典例题九 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 25．（22-23九年级上·黑龙江伊春·期末）已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，将菱形绕点逆时针旋转，得到菱形，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作与点D，由可得，从而得到，从而可得到点B的坐标，再根据旋转的性质，可得到的坐标． 【详解】如图，过点B作轴于点D， ∵， ∴， ∴， ∴点B(，)， 将菱形OABC绕O逆时针旋转，则点与点B关于点 O对称， ∴点的坐标为(，)， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查坐标与图形变化旋转，掌握旋转的性质是解题的关键． 26．（23-24九年级上·云南玉溪·期末）在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A(4，5)逆时针旋转180°，得到的点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，由点A(4，5)逆时针旋转180°，得到的点B推出OA=OB，点A、O、B在同一直线上，证明△AOC≌△BOD，得到OD=OC=4，BD=AC=5，根据点B在第三象限，确定坐标． 【详解】作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， ∵点A（4,5）， ∴OC=4，AC=5， ∵点A(4，5)逆时针旋转180°，得到的点B， ∴OA=OB，点A、O、B在同一直线上， ∴∠AOC=∠BOD， ∵∠ACO=∠BDO=， ∴△AOC≌△BOD， ∴OD=OC=4，BD=AC=5， ∵点B在第三象限， ∴B（-4，-5）， 故答案为：（-4，-5）． ． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，直角坐标系中点的坐标，正确证得△AOC≌△BOD是解题的关键． 27．（23-24九年级上·湖北孝感·期中）如图，△ABC的顶点坐标分别为（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（2，﹣1）． （1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，直接写出点C1的坐标为　 　． （2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为　 　． （3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转180°的对应点为Q，则Q的坐标为　 　． 【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，；（3） 【分析】（1）分别画出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）分别画出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． （3）根据中心旋转图形的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣2，1）． 故答案为：（﹣2，1）． （2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）． （3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转180°的对应点为Q，则Q的坐标为（﹣m，﹣n）． 故答案为：（﹣m，﹣n）． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题十 坐标与旋转规律问题】 28．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】研究图形旋转的规律，每三次旋转为一个周期，相当平移一个三角形的周长12个单位，说明三个循环直角回坐标轴上，三角形⑩和三角形①的状态一样． 【详解】∵对连续作如图所示的旋转变换， ∴每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了个单位， 而， ∴三角形⑩和三角形①的状态一样， 则三角形⑩与三角形⑨的直角顶点相同， ∴三角形⑩的直角顶点的横坐标为，纵坐标为0． 三角形⑩的直角顶点的坐标为：． 故选：B． 【点睛】本题考查图形旋转规律探索题涉及点的坐标，旋转与平移关系，掌握点的坐标的求法，会用旋转与平移关系解释旋转规律是解题关键． 29．（2023·吉林松原·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，，若将绕点顺时针旋转，得到，绕点顺时针旋转，得到，绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是掌握求点的坐标的常用方法．由旋转的性质可得，，进而求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， 由旋转可得，， 点的坐标为． 故答案为：． 30．（2023·安徽淮北·三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为． 观察应用：    (1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　． (2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设，利用题中公式分别计算出和的值即可； （2）利用中心对称的性质画图可得到点、，从而得到它们的坐标． 【详解】（1）设， 点、的对称中心是点， ，， 点坐标为， 故答案为：； （2）点、的坐标分别为，．   故答案为：，． 【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 【经典例题十一 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 31．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】A．， ∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； B．， ∵， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； C．， ∵， ∴此选项不正确，符合题意； D．点B与点E是对应点， ∵点B与点E是对应点， ∴此选项正确，不符合题意． 故选：C． 32．（21-22八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 33．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【答案】(1)是中心对称，图见详解 (2) 【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明四边形使得平行四边形可得结论； （2）利用中心对称图形的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：是 ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是中心对称图形， 如图，对角线的交点即为旋转中心． （2）因为平分四边形的面积， 所以点是的中点， 设，则有， ， ． 故答案为：． 【经典例题十二 图形的全等】 34．（22-23八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意； B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意； C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意； D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键． 35．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法正确的是 （填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查了全等形的定义与性质，掌握完全重合的两个图形是全等形成为解题的关键． 根据全等图形的定义和性质逐个判断即可． 【详解】解：①形状相同，大小相等的图形是全等形，错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确． 所以，正确的说法有②④⑤． 故答案为：②④⑤． 36．（22-23七年级下·安徽·课后作业）找出七巧板中（如图）全等的图形． 【答案】见详解 【分析】本题考查的是全等形的概念；熟练掌握七巧板中各图形的特点是解答本题的关键． 能够完全重合的两个图形叫做全等形，做题时认真观察图形，根据是否重合去判断． 【详解】解：由图知：与与与， 四边形与四边形， 四边形与四边形是全等的图形． 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 轴对称、平移与旋转（12大压轴题型） 【经典例题一 轴对称图形的识别】 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）第33届夏季奥运会于2024年7月26日在法国巴黎举行，下列图标是巴黎奥运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）在“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有 个． 3．（23-24八年级上·山东·课后作业）找出下列每个轴对称图形的对称轴并画在图上. 【经典例题二 成轴对称的两个图形的识别】 4．（22-23八年级上·湖北十堰·期末）如图的四组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的有（     ） A．1组 B．2组 C．3组 D．0组 5．（2024·浙江杭州·模拟预测）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可） 6．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，△ABC 和△关于直线 PQ 对称，△和△关于直线 MN对称. （1）用无刻度直尺画出直线MN； （2）直线 MN 和 PQ 相交于点 O，试探究∠AOA2 与直线 MN，PQ 所夹锐角α的数量关系. 【经典例题三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 7．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，正六边形关于直线l成轴对称的图形是正六边形，有下列说法：①；②；③直线；④．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．    9．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【经典例题四 折叠问题】 10．（24-25七年级上·广东揭阳·期末）如图，为长方形纸片的边上一点，将纸片沿折叠，点落在点处，将纸片沿折叠，点落在点处． 若，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，将沿折叠，使点落在点处． 嘉嘉认为此题与，的关系为： 淇淇认为此题与，的关系为： 老师说她俩的答案都有错误，同学们，你们认为与，的关系是 ． 12．（24-25七年级上·甘肃白银·期末）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1)填空：______，______． (2)若固定点A，将线段折叠，使点B与点A重合，则折叠后点O与哪个数表示的点重合？ (3)若点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度相向而行，则几秒后A，B两点相距3个单位长度？ 【经典例题五 画对称轴】 13．（2024九年级·全国·竞赛）下列图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（    ） A．菱形 B．正三角形 C．正方形 D．正五边形 14．（21-22八年级上·全国·课后作业）角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条． 15．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 【经典例题六 找旋转中心、旋转角、对应点】 16．（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 17．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ． 18．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，线段的两个端点和点都在小方格的格点上．请根据下列要求用无刻度直尺作图． (1)将线段平移，使平移后的线段经过点． ①请在图中画出一条符合要求的线段； ②写出线段平移至线段的方法； (2)第（1）问的线段也可由线段旋转得到，请作出其旋转中心． 【经典例题七 根据旋转的性质说明线段或角相等】 19．（2024·山东东营·二模）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 20．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是 ． 21．（23-24七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图1，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图2，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 【经典例题八 旋转的性质及辨析】 22．（24-25八年级上·山东烟台·期中）一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是（   ） A．对应线段平行； B．对应线段相等； C．对应角相等； D．不改变图形的形状和大小， 23．（22-23八年级下·全国·课后作业）在平面内把一个图形绕着某 沿着某个方向转动 的图形变换叫做旋转．这个点O叫做 ，转动的角叫做 ．因此，图形的旋转是由 ， 和 决定的． 24．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF. （1）∠FDC=∠EBC，相等吗？ （2）△DCF能与△BCE重合吗？ （3）BE与DF垂直吗？ 【经典例题九 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 25．（22-23九年级上·黑龙江伊春·期末）已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，将菱形绕点逆时针旋转，得到菱形，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·云南玉溪·期末）在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A(4，5)逆时针旋转180°，得到的点B的坐标为 ． 27．（23-24九年级上·湖北孝感·期中）如图，△ABC的顶点坐标分别为（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（2，﹣1）． （1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，直接写出点C1的坐标为　 　． （2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为　 　． （3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转180°的对应点为Q，则Q的坐标为　 　． 【经典例题十 坐标与旋转规律问题】 28．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（　　） A． B． C． D． 29．（2023·吉林松原·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，，若将绕点顺时针旋转，得到，绕点顺时针旋转，得到，绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 30．（2023·安徽淮北·三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为． 观察应用：    (1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　． (2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　． 【经典例题十一 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 31．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 32．（21-22八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 33．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【经典例题十二 图形的全等】 34．（22-23八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 35．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法正确的是 （填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 36．（22-23七年级下·安徽·课后作业）找出七巧板中（如图）全等的图形． 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$