第18练 统计-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

第18练 统计 35 第18练 统计 一、单选题 1.某校的数学全国联赛的代表队由77名高 三学生、63名高二学生和14名高一学生组 成,现用分层抽样的方法抽取一个44人的 样本,那么应在高三、高二、高一的学生中 各抽取的人数分别为 ( )…………… A.24,4,18 B.11,9,2 C.22,18,4 D.18,22,4 2.用简单随机抽样方法从含有10个个体的 总体中,抽取一个容量为3的样本,其中某 一个体a“第一次被抽到”的可能性、“第二 次被抽到”的可能性分别是 ( )……… A.110, 1 10 B. 3 10, 1 5 C.15, 3 10 D. 3 10, 3 10 3.某工厂对一批元件进行抽样检测.经检测, 抽出的元件的长度(单位:mm)全部介于 93 mm至105 mm之间.将抽出的元件的 长度以2为组距分成6组:[93,95),[95, 97),[97,99),[99,101),[101,103),[103, 105].得到如图所示的频率分布直方图.若 长度在[97,103)内的元件为合格品,根据 频率分布直方图,估计这批元件的合格率 是 ( )………………………………… A.80% B.90% C.20% D.85.5% 4.在某次测量中得到的 A 样本数据如下: 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是A 样本数据每个数都加2 后所得的数据.则A,B 两样本的下列数字 特征相同的是 ( )…………………… A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 5.在如图所示的两种分布形态中 ( )… A.(1)中的中位数大于平均数 B.(1)中的众数大于平均数 C.(2)中的众数小于中位数 D.(2)中的平均数小于中位数 6.已知数据x1,x2,x3,x4,x5,x6 的平均数 为10,方差为1,数据y1,y2,y3,y4 的平均 数为5,方差为3,将两组数据合在一起组 成一个容量为10的新样本,则新样本的方 差为 ( )……………………………… A.4.2 B.4.8 C.7.8 D.9.2 二、多选题 7.某中学组织三个年级的学生进行党史知识 竞赛.经统计,得到前200名学生分布的扇 形图(如图)和前200名中高一学生排名分 布的频率条形图(如图),则下列结论正确 的是 ( )……………………………… A.成绩前200名的学生中,高一人数比高 二人数多30人 B.成绩前100名的学生中,高一人数不超 过50人 C.成绩前50名的学生中,高三人数不超过 32人 D.成绩第51名到第100名的学生中,高二 人数比高一人数多 36 8.为了实现绿色发展,避免浪费能源,某市政 府计划对居民用电采用阶梯收费方法.为 此,相关部门在该市随机调查了1 500户居 民六月份的用电量(单位:kW·h),以了解 这个城市家庭用电量的情况.通过收集、整 理数据,得到如图所示的频率分布直方图. 则下列选项正确的是 ( )…………… A.直方图中x=0.004 4 B.在被调查的用户中,用电量不超过200 kW·h 的户数为900 C.这1 500户居民六月份用电量的平均数 小于中位数 D.估计该市居民六月份用电量的第45百 分位数约为175 三、填空题 9.某学校有高二学生600人,其中男生360 人,女生240人.有人为了获得该校全体高 二学生的身高信息,采用分层抽样的方法 抽取了容量为100的总样本(观测数据单 位:cm),若已知男生样本的平均数为172, 女生样本的平均数为162,则总样本的平均 数是 . 10.浙江省中药材研发中心整合省农业科技 创新中心、省创新联盟相关资源和力量, 为全省中药材产业链延链、补链、强链提 供科技支撑,某科研机构研究发现,某品 种中医药的药物成分甲的含量x(单位: g)与药物功效y(单位:药物单位)之间满 足y=15x-2x2,检测这种药品一个批次 的6个样本,得到成分甲的含量x 的平均 值为5 g,标准差为 5 g,则估计这批中医 药的药物功效y 的平均值为 药物单位. 四、解答题 11.如图,小明统计了他爸爸9月的手机通话 明细清单,发现他爸爸该月共通话60次. 小明按每次通话时间长短进行分组(每组 为左闭右开的区间),画出了频率分布直 方图. (1)通话时长在区间[15,20),[20,30)内 的次数分别为多少? (2)若小明爸爸通话时间的众数是第p 百 分位数,求p 的值. 12.某学校为提升中学生的数学素养,激发学 生学习数学的兴趣,举办了一次“数学文 化知识大赛”,并从中随机抽取了100名 学生的成绩,绘制成如图所示的频率分布 直方图. (1)试根据频率分布直方图求出这100名 学生中成绩低于60分的人数; (2)试估计这100名学生成绩的第75百 分位数; (3)若采用分层抽样的方法从成绩在[70, 80),[80,90),[90,100]的学生中共抽 取6人.再从这6人中随机抽取2人 进行培训,求 抽 取 的2人 成 绩 都 在 [80,100]的概率. 精英1号 学考笔记 数学 66 又△BCD 为正三角形,即∠DCB=60°, 因此FG=CGtan 60°= 3. (2)如图,取CD 的中点 M,连接 AM,BM,则有 AM⊥ CD,BM⊥CD, 因此∠AMB 是二面角A-CD-B 的平面角,显然 AM= BM=33, 由 余 弦 定 理 得 cos∠AMB = AM 2+BM2-AB2 2AM·BM = (33)2+(33)2-92 2×33×33 =- 1 2, 所以二面角A-CD-B 的余弦值为-12. (3)由(2)知,CD⊥平面AMB,而CD⊂平面BCD,则平面 AMB⊥平面BCD, 在平面AMB 内过点A 作AH⊥BM 于H, 又平面AMB∩平面BCD=BM,所以AH⊥平面BCD, AH=AMsin∠AMH=33sin π3= 9 2, 则点E 到平面BCD 距离d=13AH= 3 2, 由(1)知△CDF 的面积S△CDF=12CD·FG=33,DF= DG2+FG2= 52+(3)2=27, DE= DG2+EG2 = 52+(3)2 =27,显然CF=2, CF CB= 1 3= CE CA , 则EF∥AB,EF=13AB=3,在△DEF 中,cos∠DEF= 1 2EF DE = 3 47, sin∠DEF = 1-(347) 2 = 10347 ,△DEF 的 面 积 S△DEF=12×27×3× 103 47 = 3 103 4 , 设点C 到平面DEF 的距离为h,由VC-DEF=VE-CDF,得 1 3S△DEF·h= 1 3S△CDF·d, 因此h=S△CDF·dS△DEF = 33×32 3 103 4 =6 309103 , 所以点C 到平面DEF 的距离为6 309103 . 第18练 统计 1.【答案】C 【解析】由题意抽样比为 4477+63+14= 2 7,故从高三学生中 抽取的人数为77×27=22,从高二学生中抽取的人数为 63×27=18,从高二学生中抽取的人数为14× 2 7=4.故 选C. 2.【答案】A 【解析】简单随机抽样中每个个体被抽取的概率都相等,都 为 1 10,故选A. 3.【答案】A 【解析】由频率分布直方图可知元件长度在[97,103)内的频 率为1-(0.027 5+0.027 5+0.045 0)×2=0.8,故这批元 件的合格率为80%,故选A. 4.【答案】D 【解析】只有标准差不变,其中众数、平均数和中位数都相差 2,故选D. 5.【答案】D 【解析】众数是最高的矩形的中点横坐标,因此(1)中的众数 在第二列矩形的中点处,(1)中的数据第二、三列较多,且右 侧拖尾,所以平均数大于中位数,即在(1)中,众数<中位 数<平均数;同理在(2)中,平均数<中位数<众数.故 选D. 6.【答案】C 【解析】因为数据x1,x2,x3,x4,x5,x6 的平均数为10,方 差为1, 数据y1,y2,y3,y4 的平均数为5,方差为3, 所以新样本的平均数为z -=610×10+ 4 10×5=8, 方差为s2=610[1+(10-8)2]+ 4 10[3+(5-8)2]=7.8.故 选C. 7.【答案】ABC 【解析】由扇形图知,成绩前200名的200人中,高一人数比 高二人数多200×(45%-30%)=30,A正确; 由条形图知高一学生在前200名中,前100和后100人数 相等,因此高一人数为200×45%×12=45<50,B正确; 成绩前50名的50人中,高一人数为200×45%×0.2=18, 因此高三最多有32人,C正确; 第51名到第100名的50人中,高一人数为200×45%× 0.3=27,故高二最多有23人,因此高二人数比高一少,D 错误.故选ABC. 8.【答案】ABD 【解析】对于A,由频率分布直方图矩形面积之和为1,得 50×(0.002 4+0.003 6+0.006+x+0.002 4+0.001 2)=1, 解得x=0.0044,故A正确; 对于B,用电量不超过200 kW·h的频率为50×(0.002 4+ 0.003 6+0.006)=0.6,所以户数为1500×0.6=900,故B 正确; 对于C,平均数为x-=(75×0.002 4+125×0.003 6+175× 答案解析 67 0.006+225×0.004 4+275×0.002 4+325×0.001 2)× 50=186, 设中位数为x,则x 在第三组[150,200), 即50×(0.002 4+0.003 6)+(x-150)×0.006=0.5,解 得x≈183.33, 故平均数大于中位数,故C错误; 对于D,设第45百分位数为y,则y 在第三组[150,200), 50×(0.002 4+0.003 6)+(y-150)×0.006=0.45,解得 y=175,故D正确.故选ABD. 9.【答案】168 【解析】由题意可知,男、女生所占的频率分别为360600= 3 5, 240 600= 2 5, 则抽取的男、女生人数分别为35×100=60, 2 5×100=40, 所以总样本的平均数x -=60×172+40×162100 =168. 故答案为:168. 10.【答案】15 【解析】设6个样本中药物成分甲的含量分别为x1,x2, x3,x4,x5,x6, 因为成分甲的含量的平均值为5 g,所以∑6 i=1xi=5×6= 30,标准差为 5 g, 所以 1 6∑ 6 i=1 (xi-5)2=16(∑ 6 i=1x 2 i-10∑6 i=1xi+150)=5,可得 ∑6 i=1x 2 i=180. 又因为y=15x-2x2,所以∑6 i=1yi=15∑ 6 i=1xi-2∑ 6 i=1x 2 i=90, 所以这批中医药的药物功效的平均值为 1 6∑ 6 i=1yi=15. 故答案为:15. 11.【解析】(1)由频率分布直方图的性质,可得(0.06+0.046+ 0.024+0.030+2a)×5=1,解得a=0.020, 所以通话时长在区间[15,20)内的次数为0.030×5× 60=9次; 通话时长在区间[20,30)内的次数为0.040×5×60= 12次. (2)由图可得通话时长众数为2.5,所以0.06×2.5=0.15, 则小明爸爸通话时间的众数是第15百分位数,即p=15. 12.【解析】(1)由频率分布直方图中数据可知,成绩低于60分 的人数为(0.002+0.016)×10×100=18. (2)成绩低于80分的频率为10×(0.002+0.016+0.022+ 0.030)=0.7,成绩在[80,90)的频率为10×0.020=0.2,因 为0.7<0.75<0.9, 所以这100名学生成绩的第75百分位数在[80,90)内, 所以随机抽取的100名学生成绩的第75百分位数为80+ 10×0.75-0.70.9-0.7=82.5. (3)因为成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的学生人数所 占比例为3∶2∶1, 所以从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]所抽取人数分 别为3,2,1. 记抽取成绩在[70,80)的3人为a,b,c,成绩在[80,100] 为D,E,F. 从这6人中随机抽取2人的所有可能为(a,b),(a,c), (a,D),(a,E),(a,F),(b,c),(b,D),(b,E),(b,F),(c, D),(c,E),(c,F)(D,E),(D,F),(E,F),共15种, 抽取的2人成绩都在[80,100]的是(D,E),(D,F),(E, F),共3种, 抽取的2人成绩都在[80,100]的概率为315= 1 5. 第19练 概率 1.【答案】B 【解析】设事件A 为“一枚正面朝上,一枚反面朝上”,基本 事件数是4,事件A 包含2种,故概率为P(A)=24= 1 2, 故选B. 2.【答案】C 【解析】从4支不同的水彩笔中任取2支,共有C24=6种 情况, 取到1支黑笔1支红笔,共有C12C11=2种情况, 根据古典概型计算公式,得所求概率为26= 1 3.故选C. 3.【答案】C 【解析】记甲中靶为事件A,乙中靶为事件B, 则P(A)=0.4,P(A-)=1-0.4=0.6,P(B)=0.5,P(B-)= 1-0.5=0.5, 甲、乙两人各射击一次恰有一人中靶,分甲中乙不中和甲不 中乙中两种情况, 则甲、乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率为 P=P(A)·P(B-)+P(B)·P(A-)=0.4×0.5+0.6×0.5= 0.5.故选C. 4.【答案】A 【解析】由题知该电路正常工作指的是A 元件正常工作且 B,C 中至少有一个能正常工作, 设该电路正常工作为事件 D,则P(D)=P(A){1-[1- P(B)]·[1-P(C)]}=13× 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 1- 1-12 1-35 􀭤􀭥􀪁􀪁 = 4 15,故选A. 5.【答案】C 【解析】记事件Ai=“出现i点(其中i=1,2,3,4,5,6)”, 则A=A1∪A3∪A5,B=A1∪A2∪A3,A∩B=A1∪A3, 所以P(A)=36= 1 2,P(B)= 3 6= 1 2,P(AB)= 2 6= 1 3, 所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=23.故选C. 6.【答案】B 【解析】对于A,“恰好摸到1个红球”为1红1白,“至少摸 到1个白球”包含1红1白、2白, 所以,“恰好摸到1个红球”与“至少摸到1个白球”不是互 斥事件,A错误; 对于B,“恰好没摸到红球”为2白,“至多摸到1个白球”包 含2红、1红1白, 所以,“恰好没摸到红球”与“至多摸到1个白球”是对立事 件,B正确; 对于C,2个红球分别记为a,b,2个白球分别记为A,B, 从2个红球和2个白球中一次性随机摸出2个球,所有的 基本事件有ab,aA,aB,bA,bB,AB,