第17练 空间直线、平面的平行和垂直-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

精英1号 学考笔记 数学 64 所以VN-MCD=VM-NCD=23VB-NCD= 2 3VN-BCD= 1 3VP-BCD= 1 6VP-ABCD= 1 6× 1 3×4× 14= 2 9 14. 第17练 空间直线、平面的平行和垂直 1.【答案】D 【解析】用一个平面去截正方体,截面不可能是直角三角形. 故选D. 2.【答案】A 【解析】连接B1D1⇒AO1⊥B1D1,B1D1∥O2O3,故选A. 3.【答案】A 【解析】不妨设 AC=1,则点 D1 到平面 ACB1 的距离为 6 3,故直 线 D1C 与 平 面 ACB1 所 成 角 的 正 弦 值 为 6 3. 故选A. 4.【答案】D 【解析】对于A,若α⊥β,l∥β,则l∥α或l⊂α或l与α相交, A错误;对于B,要得到l⊥α,则需要l与平面α 内两条相 交直线垂直,只有l⊥m,m⊂α 得不到l⊥α,B错误;对于 C,若m⊂α,l∥β,l∥m,则α∥β或α与β相交,C错误;对于 D,若m⊥α,l∥β,l∥m,由面面垂直的判定定理可得α⊥β, D正确.故选D. 5.【答案】D 【解析】对 于 A,依 题 意 有 DA⊥平 面 ABC,DA⊂平 面 DAC,所以平面ABC⊥平面DAC,A正确; 对于B,DA⊥平面ABC,CB⊂平面ABC,则有DA⊥CB, AC 是圆O 的直径,B 为圆周上不与点A,C 重合的点,则 有AB⊥CB,DA∩AB=A,DA,AB⊂平面 BAD,所以 CB⊥平面BAD,B正确; 对于C,CB⊥平面BAD,AN⊂平面 BAD,CB⊥AN,又 AN⊥DB 于N,CB∩DB=B,CB,DB⊂平面BCD,所以 AN⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,则AN⊥CD,又AM⊥ DC 于 M,AN,AM ⊂平 面 AMN,AN∩AM =A,所 以 CD⊥平面AMN,C正确; 对于D,平面AMN∩平面 DAB=AN,DB⊂平面 DAB, AN⊥DB 于N, 若平面AMN⊥平面DAB,则必有DB⊥平面AMN, 而 MN⊂平面AMN,则必有DB⊥MN, 因为CB⊥平面BAD,DB⊂平面DAB,则有CB⊥DB, 又 MN,BC⊂平面DBC,则必有 MN∥BC, 由于 DA 垂 直 于 圆 O 所 在 的 平 面,∠DCA =45°, 则DA=AC, 而AM⊥DC 于M,则 M 为DC 的中点, 因为AC 是圆O 的直径,B 为圆周上不与点A,C 重合的 点,AB<AC=DA,AN⊥DB 于点N, 则 N 不是DB 中点(否则会得到AB=AD,但这与AB< AD 矛盾), MN∥BC 不成立,所以平面AMN⊥平面 DAB 的结论不 正确,即D错误.故选D. 6.【答案】D 【解析】如图,取PC 的中点E,连接AE,EN,AC 交BD 于 O,连接 MO, 因为 PM ∶MC=3∶1,PC 的 中 点E, 所 以 EM =MC,又 O 是 AC 的 中点, 所 以 MO ∥AE,又 AE ⊄ 平 面 BDM,OM⊂平面BDM, 所以 AE∥平面 BDM,又 AN∥平 面BDM,AE∩AN=A 所以平面ANE∥平面BDM, 因为平面 PBC 交平面BDM,平面 ANE,且交线分别是 NE,MB, 所以 NE∥MB, 所以PN∶NB=PE∶EM=2∶1.故选D. 7.【答案】ABD 【解析】如图,连接B1C,BC1,因为 DA1∥B1C,所以直线 BC1 与B1C 所成的角即为直线BC1 与DA1 所成的角, 因为四边形 BB1C1C 为正方 形,则 B1C⊥BC1,故 直 线 BC1 与DA1 所成的角为90°,A正确; 连接 A1C,因 为 A1B1 ⊥ 平 面 BB1C1C,BC1 ⊂ 平 面 BB1C1C,则A1B1⊥BC1, 因为 B1C ⊥BC1,A1B1 ∩B1C =B1,所 以 BC1 ⊥ 平 面A1B1C, 又A1C⊂平面A1B1C,所以BC1⊥CA1,故B正确; 连接A1C1,设A1C1∩B1D1=O,连接BO, 因为BB1⊥平面 A1B1C1D1,C1O⊂平面 A1B1C1D1,则 C1O⊥B1B, 因为 C1O⊥B1D1,B1D1 ∩B1B=B1,所 以 C1O⊥ 平 面BB1D1D, 所以∠C1BO 为直线BC1 与平面BB1D1D 所成的角, 设正方体棱长为1,则C1O= 22,BC1= 2,sin∠C1BO= C1O BC1= 1 2, 所以 直 线 BC1 与 平 面 BB1D1D 所 成 的 角 为30°,故 C 错误; 答案解析 65 因为C1C⊥平面ABCD,所以∠C1BC 为直线BC1 与平面 ABCD 所 成 的 角,易 得 ∠C1BC =45°,故 D 正 确.故 选ABD. 8.【答案】ACD 【解析】对于A,如图1所示,取AC 的中点G,连接EG,则 EG∥A1C,EG⊂平面BDE,A1C⊄平面BDE, 故A1C∥平面BDE,且点F∈A1C, 所以点F 到平面BDE 的距离为定值,A正确; 取CC1 的中点 M,连接BE,MB,D1M,在正方体内四边形 BED1M 是平行四边形, 所以BM∥D1E,则直线D1E 与直线BF 所成角即为直线 BM 与直线BF 的夹角, 因为BF⊂平面A1BCD1, 由线面角的最小性可知直线BM 与直线BF 的夹角的最小 值为BM 与平面A1BCD1 所成线面角, 点 M 在平面A1BCD1 内的射影恰为线段CD1 的靠近C 的四等分点H, 在△BHM 中,HM=12× 2= 2 2,BM= 12+22= 5, sin∠HBM=HMBM = 2 2 5= 10 10 , 易求得该角的正弦值为 10 10 ≠sin π 6= 1 2,B错误; 因为∠BCD=90°, 所以线段BD 恰为三棱锥F-BCD 外接球被平面BCD 所 截形成的截面圆的直径, 显然外接球直径2R≥BD=2BG=22, 当R 最小为 2,即线段BD 恰好为该外接球的直径时, 三棱锥F-BCD 外接球的表面积最小, 此时R=FG=BG=CG=DG= 2, 三棱锥F-BCD 表面积的最小值为4πR2=8π,C正确; 如图2所示,可知外包装正方形的对角线长为3×2+2× 1=8, 该正方形面积的最小值为 1 2×82=32,D正确.故选ACD. 9.【答案】12 【解析】如图,过点C1 作平面 ACB、直线BC,AC 的垂线, 交点分别为O,D,E,连接OD,OC,OE,则C1O 即为三棱 柱的高, 由C1O⊥平面ACB,AC⊂平面ACB,可得C1O⊥AC, 又AC⊥C1E,C1O∩C1E=C1,C1O⊂平面C1OE,C1E⊂ 平面C1OE, 所以AC⊥平面C1OE,又OE⊂平面C1OE, 所以AC⊥OE,同理可得OD⊥BC,又∠ACB=90°, 所以四边形OECD 为矩形, 在Rt△ECC1 和 Rt△DCC1 中,∠ACC1=60°,∠BCC1= 45°,侧棱CC1 的长为1, 则CE=12CC1= 1 2,CD=C1D= 2 2, 所以OD=CE=12, 所以OC1= DC21-OD2=12, 即三棱柱的高为 1 2. 故答案为:12. 10.【答案】45° 【解析】如图,在平面 ABP 中, 过点 A 作 AH ⊥BP,垂 足 为 H,连接CH, ∵平面ABP⊥平面BPDC, ∴AH⊥平面BCDP. ∴AH⊥BH,AH⊥CH, ∴在Rt△ABH 中,AH=3sin θ,BH=3cos θ. 在△BHC 中,由余弦定理得 CH2=(3cos θ)2+42-2×4×3cos θ×cos(90°-θ)= 9cos2θ+16-12sin 2θ, ∴在Rt△ACH 中, AC2=25-12sin 2θ, 当且仅当θ=45°时sin 2θ取得最大值1, ∴当且仅当θ=45°时,AC 长最小. 故答案为:45°. 11.【证明】(1)如图,连接AC1,交A1C 于点E,连接DE, 因为四边形AA1C1C 是矩形, 所以E 为AC1 的中点, 因为点D 是AB 的中点, 所以DE∥BC1, 因为 DE ⊂ 平 面 CA1D,BC1 ⊄ 平 面CA1D, 所以BC1∥平面CA1D. (2)因为AC=BC,点D 是AB 的中点, 所以AB⊥CD, 因为AA1⊥⊥平面ABC,CD⊂平面ABC, 所以AA1⊥CD, 因为AA1∩AB=A,AA1,AB⊂平面AA1B1B, 所以CD⊥平面AA1B1B, 因为CD⊂平面CA1D, 所以平面CA1D⊥平面AA1B1B. 12.【解析】(1)依题意,直线CD⊥平面EFG,而EG,FG⊂平 面EFG,则CD⊥EG,CD⊥FG, 由AE=2EC,得 EC=2,由 △ACD 为 正 三 角 形,得 ∠ECG=60°,则EG= 3,CG=1, 精英1号 学考笔记 数学 66 又△BCD 为正三角形,即∠DCB=60°, 因此FG=CGtan 60°= 3. (2)如图,取CD 的中点 M,连接 AM,BM,则有 AM⊥ CD,BM⊥CD, 因此∠AMB 是二面角A-CD-B 的平面角,显然 AM= BM=33, 由 余 弦 定 理 得 cos∠AMB = AM 2+BM2-AB2 2AM·BM = (33)2+(33)2-92 2×33×33 =- 1 2, 所以二面角A-CD-B 的余弦值为-12. (3)由(2)知,CD⊥平面AMB,而CD⊂平面BCD,则平面 AMB⊥平面BCD, 在平面AMB 内过点A 作AH⊥BM 于H, 又平面AMB∩平面BCD=BM,所以AH⊥平面BCD, AH=AMsin∠AMH=33sin π3= 9 2, 则点E 到平面BCD 距离d=13AH= 3 2, 由(1)知△CDF 的面积S△CDF=12CD·FG=33,DF= DG2+FG2= 52+(3)2=27, DE= DG2+EG2 = 52+(3)2 =27,显然CF=2, CF CB= 1 3= CE CA , 则EF∥AB,EF=13AB=3,在△DEF 中,cos∠DEF= 1 2EF DE = 3 47, sin∠DEF = 1-(347) 2 = 10347 ,△DEF 的 面 积 S△DEF=12×27×3× 103 47 = 3 103 4 , 设点C 到平面DEF 的距离为h,由VC-DEF=VE-CDF,得 1 3S△DEF·h= 1 3S△CDF·d, 因此h=S△CDF·dS△DEF = 33×32 3 103 4 =6 309103 , 所以点C 到平面DEF 的距离为6 309103 . 第18练 统计 1.【答案】C 【解析】由题意抽样比为 4477+63+14= 2 7,故从高三学生中 抽取的人数为77×27=22,从高二学生中抽取的人数为 63×27=18,从高二学生中抽取的人数为14× 2 7=4.故 选C. 2.【答案】A 【解析】简单随机抽样中每个个体被抽取的概率都相等,都 为 1 10,故选A. 3.【答案】A 【解析】由频率分布直方图可知元件长度在[97,103)内的频 率为1-(0.027 5+0.027 5+0.045 0)×2=0.8,故这批元 件的合格率为80%,故选A. 4.【答案】D 【解析】只有标准差不变,其中众数、平均数和中位数都相差 2,故选D. 5.【答案】D 【解析】众数是最高的矩形的中点横坐标,因此(1)中的众数 在第二列矩形的中点处,(1)中的数据第二、三列较多,且右 侧拖尾,所以平均数大于中位数,即在(1)中,众数<中位 数<平均数;同理在(2)中,平均数<中位数<众数.故 选D. 6.【答案】C 【解析】因为数据x1,x2,x3,x4,x5,x6 的平均数为10,方 差为1, 数据y1,y2,y3,y4 的平均数为5,方差为3, 所以新样本的平均数为z -=610×10+ 4 10×5=8, 方差为s2=610[1+(10-8)2]+ 4 10[3+(5-8)2]=7.8.故 选C. 7.【答案】ABC 【解析】由扇形图知,成绩前200名的200人中,高一人数比 高二人数多200×(45%-30%)=30,A正确; 由条形图知高一学生在前200名中,前100和后100人数 相等,因此高一人数为200×45%×12=45<50,B正确; 成绩前50名的50人中,高一人数为200×45%×0.2=18, 因此高三最多有32人,C正确; 第51名到第100名的50人中,高一人数为200×45%× 0.3=27,故高二最多有23人,因此高二人数比高一少,D 错误.故选ABC. 8.【答案】ABD 【解析】对于A,由频率分布直方图矩形面积之和为1,得 50×(0.002 4+0.003 6+0.006+x+0.002 4+0.001 2)=1, 解得x=0.0044,故A正确; 对于B,用电量不超过200 kW·h的频率为50×(0.002 4+ 0.003 6+0.006)=0.6,所以户数为1500×0.6=900,故B 正确; 对于C,平均数为x-=(75×0.002 4+125×0.003 6+175× 第17练 空间直线、平面的平行和垂直 33 第17练 空间直线、平面的平行和垂直 一、单选题 1.用一个平面去截正方体,所得的截面不可 能是 ( )……………………………… A.六边形 B.菱形 C.梯形 D.直角三角形 2.如图所示,正方体 ABCD- A1B1C1D1 的 面 A1C1, B1C,CD1 的 中 心 分 别 为 O1,O2,O3,则直线AO1 与 直线O2O3 所成的角为 ( )………… A.90° B.60° C.45° D.30° 3.如 图,已 知 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1,则直线 D1C 与 平面ACB1 所成角的正弦值 为 ( )………………… A.63 B. 3 3 C.13 D. 6 6 4.已知l,m 是两条不同的直线,α,β 为两个 不同的平面,则下面四个命题中,正确的命 题是 ( )……………………………… A.若α⊥β,l∥β,则l⊥α B.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α C.若m⊂α,l∥β,l∥m,则α∥β D.若m⊥α,l∥β,l∥m,则α⊥β 5.如 图,AC 是 圆O 的 直 径,∠DCA=45°,DA 垂 直于圆O 所在的平面,B 为圆周上不与点A,C 重 合的点,AM⊥DC 于点 M,AN⊥DB 于点N,则 下列结论不正确的是 ( )…………… A.平面ABC⊥平面DAC B.CB⊥平面BAD C.CD⊥平面AMN D.平面AMN⊥平面DAB 6.如图,四棱锥P-ABCD 的 底面ABCD 是平行四边 形,M,N 分别为线段PC, PB 上 一 点,若 PM ∶ MC=3∶1,且 AN∥平 面BDM,则PN∶NB= ( )…………………………………… A.4∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.2∶1 二、多选题 7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则 ( ) …… …………………………………… A.直线BC1 与DA1 所成的角为90° B.直线BC1 与CA1 所成的角为90° C.直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成的角 为45° D.直 线 BC1 与 平 面 ABCD 所 成 的 角 为45° 8.在边长为2的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为线段AA1 中点,F 为线段A1C 上 的动点,则 ( )………………………… A.点F 到平面BDE 的距离为定值 B.直线 D1E 与直线BF 所成角的最小值 为π6 C.三棱锥F-BCD 的外接球的表面积最小 值为8π D.若用一张正方形的纸把此正方体完全包 住,不将纸撕开,则所需纸面积的最小 值是32 三、填空题 9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,∠ACB= 90°,∠ACC1=60°,∠BCC1=45°,侧棱CC1 的长为1,则该三棱柱的高为 . 34 10.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4, P 在 AD 上运动,设 ∠ABP=θ,将△ABP 沿BP 折起,使得平面 ABP 垂直于平面 BPDC,当AC长最小时,θ的值为 . 四、解答题 11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,侧棱垂 直于底面,AC=BC,点D 是AB 的中点. (1)求证:BC1∥平面CA1D; (2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B. 12.如图,在三棱锥A-BCD 中,AB=9,其余 各棱的长均为6,点E 在棱AC 上,AE= 2EC,过点E 的平面与直线CD 垂直,且 与BC,CD 分别交于点F,G. (1)求线段FG 的长度; (2)求二面角A-CD-B 的余弦值; (3)求点C 到平面DEF 的距离.