第16练 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

答案解析 61 对于C,ab = sin A sin B= sin 2B sin B =2cos B, 因为B∈ π6, π 4 ,所以cos B∈ 22,32 ,2cos B∈(2,3), 即 a b 的取值范围为(2,3),故C正确; 对于D, 1tan B- 1 tan A+2sin A=cos B sin B- cos A sin A+2sin A= sin(A-B) sin Asin B+2sin A= 1sin A+2sin A≥2 1sin A×2sin A= 22, 当且仅当 1 sin A=2sin A,即sin A= 22时取等号, 但因为B∈ π6, π 4 ,所以 A=2B∈ π3,π2 ,sin A∈ 3 2,1 ,无法取到等号,故D错误.故选ABC. 9.【答案】3 【解析】∵sin∠BAC=sin π2+∠BAD =cos∠BAD, ∴cos∠BAD=223 . 在△ABD 中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD=(3 2)2+32-2×3 2×3×223 =3, ∴BD= 3. 故答案为:3. 10.【答案】53 【解析】如图所示,设甲船航行到点C,同时 乙船航行到点D, 由已知得AB=10,∠ABD=120°, 设BD=AC=x,则BC=10-x, 在△BCD 中,由余弦定理得CD2=BC2+ BD2-2BC·BD·cos 120°, 代入得CD2=(10-x)2+x2-2(10-x)x -12 = x2-10x+100=(x-5)2+75, 所以当x=5时,CD 取最小值为 75=53,即甲、乙两 船的最近距离为53千米. 故答案为:53. 11.【解析】(1)∵A+B=3C, ∴π-C=3C,即C=π4, 又2sin(A-C)=sin B=sin(A+C), ∴2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, ∴sin Acos C=3cos Asin C, ∴sin A=3cos A, 即tan A=3,所以0<A<π2, ∴sin A= 310= 3 10 10 . (2)由(1)知,cos A= 110= 10 10 , 由sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= 2 2 3 1010 + 1010 =255 , 由正弦定理 c sin C= b sin B,可得b= 5×255 2 2 =2 10, 设AB 边上的高为h,则12AB·h= 1 2AB·AC·sin A, ∴h=b·sin A=2 10×3 1010 =6. 12.【解析】(1)(2a-c)BA→·BC→=cCB→·CA→, 由平面向量数量积定义可得(2a-c)cacos B=cabcos C, ∴2acos B=bcos C+ccos B, 由正弦定理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B= sin(B+C)=sin A, ∵A∈(0,π),∴sin A ≠0,∴cos B=12, ∵B∈(0,π),∴B=π3. (2)∵|BA→-BC→|=|CA→|=b=2, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, ∴4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac, 当且仅当a=c=2时取“等号”,∴ac的最大值为4, ∴S△ABC=12acsin B= 34ac≤ 3. 故△ABC 面积的最大值为 3. 第16练 基本立体图形、简单几何体的 表面积和体积 1.【答案】C 【解析】由条件可知,S△A'B'C'=12×4×3× 3 2=33, 由 S△A'B'C' S△ABC = 33 S△ABC= 2 4,解得S△ABC=66.故选C. 2.【答案】B 【解 析】设 圆 柱 的 底 面 半 径 为 r,则 圆 锥 的 母 线 长 为 r2+3, 而它们的侧面积相等,所以2πr× 3=πr× 3+r2, 即23= 3+r2,故r=3,故圆锥的体积为 13π×9× 3=33π.故选B. 3.【答案】A 【解析】设底面圆半径为r,由AB⊥CD,易得 BC=AC=BD=AD, 如图,取AB 的中点O,连接OC,OD, 则AB⊥OC,AB⊥OD,又 OC∩OD=O, OC,OD⊂平面OCD, 所以AB⊥平面OCD,所以VA-BCD=13S△OCD· AB=13× 1 2×2r×4×2r= 8 3, 解得r=1,所以圆柱表面积为2πr2+4×2πr=10π. 故选A. 精英1号 学考笔记 数学 62 4.【答案】C 【解析】如图所示,设球O 与圆锥底面 相切于点N,与母线BS 相切于点M, 根据已知得BN=6,OM=3, 设母线长 BS=l,则在 Rt△SBN 中, SN= BS2-BN2= l2-36, 因为△SNB∽△SMO,所以OSOM= BS BN 即 l2-36-3 3 = l 6,化简得l2-4l-60=0, 解得l=10,或l=-6(舍去), 所以圆锥的侧面积为π·BN·l=π×6×10=60π. 故选C. 5.【答案】C 【解析】设A1B1=BB1=a,则AB=2a. 因为该四棱台为正四棱台,所以各个侧面都为等腰梯形, 上、下底面为正方形, 在四边形ABB1A1 中,过点A1 作A1E⊥AB 于点E, 则AE=12(2a-a)= a 2,所以A1E= 3 2a, 所以SABB1A1=a+2a2 · 3 2a= 33 4a2=33,解得a=2, 在平面ACC1A1 中,过点A1 作A1F⊥AC 于点F, 易知A1F 为正四棱台的高,则AF=12(42-22)= 2, 所以A1F= A1A2-AF2= 4-2= 2.故选C. 6.【答案】A 【解析】将正四面体补形成正方体,如图, 因为AB∥α,IJ∥AB,所以IJ∥α, 又CD∥α,CD,IJ 是平面CIDJ 内的相交直线,所以平面 CIDJ∥平面α, 因为AB,CD 到平面α的距离分别是3和9,所以正方体棱 长为12, 结合正方体对称性可知,球心O 到平面α的距离为3, 记正四面体的外接球的半径为R,则4R2=3×122,解得 R=63, 则外接球被平面α截得的截面半径r= R2-32=3 11, 所以,截面面积为πr2=99π.故选A. 7.【答案】BCD 【解析】对于A,在多面体ABF-DCE 中,由直线AF∩DE= P,得平面ABF 与平面DCE 不平行,显然多面体ABF-DCE 中不存在平行的两个面,则该多面体不是三棱柱,A错误; 对于B,由E,F 分别是棱PD,PA 的中点,得EF∥AD∥ BC,BF⊂平面BCEF,C∈平面BCEF,P∉平面BCEF, C∉BF,因此直线BF 与PC 互为异面直线,B正确; 对于C,由AD∥BC,BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,则 AD∥平面PBC,令平面PBC∩平面PAD=l,而AD⊂平 面PAD,则l∥AD∥EF,C正确; 对于D,连接AC,CF,令四棱锥P-ABCD 的体积为V,由 E,F 分 别 是 棱 PD,PA 的 中 点,得 VP-BCF =VB-PCF = 1 2VB-PCA= 1 2VP-ABC= 1 4V,VP-CEF=VC-PEF= 1 4VC-PDA= 1 4VP-ADC= 1 8V, 因此四棱锥 P-BCEF 的体积VP-BCEF=VP-BCF+VP-CEF= 3 8V,D正确.故选BCD. 8.【答案】ACD 【解析】对于A,球的体积为V=4πr 3 3 = 32π 3 ,圆柱的体积V'= πr2×(2r)=16π,则球与圆柱的体积之比为2∶3,A正确; 对于B,设d 为点E 到平面BCD 的距离,0<d≤r=2,而 平面BCD 经过线段EF 的中点O1, 四面体CDEF 的体积VC-DEF=2VE-O1DC=23S△O1DC·d= 2 3× 1 2×4×4×d= 16d 3 ≤ 32 3,B错误; 对于 C,过 点 O 作OH ⊥DO1 于 点 H,如 图,而 O1O2 ⊥DO2, 则sin∠DO1O2=OHOO1= DO2 DO1 ,又 DO1= r2+(2r)2 = 25,于是OH=25, 设截面圆的半径为r1,球心O 到平面DEF 的距离为d1, 则d1≤25, 又r1= r2-d21 = 4-d21 ≥ 4-45 = 4 5,则平面DEF 截球的截面圆面积S=πr21≥16π5 ,C正确; 对于D,令经过点P 的圆柱的母线与下底面圆的公共点为 Q,连接QE,QF, 答案解析 63 当点Q 与E,F 都不重合时,设∠QFE=θ,则QF=4cos θ, QE=4sin θ, 当点Q 与点E 或点F 重合时,上式也成立, 因此QF=4cos θ,QE=4sin θ,θ∈ 0,π2 , 则PE+PF= PQ2+QE2+ PQ2+QF2= 2( 1+4sin2θ+ 1+4cos2θ), 令t= 1+4sin2θ+ 1+4cos2θ, 则t2=6+2 5+4sin22θ, 而0≤2θ<π,即0≤sin 2θ≤1,因此6+25≤t2≤12,解得 1+ 5≤t≤23, 所以PE+PF 的取值范围为[2+2 5,4 3],D正确. 故选ACD. 9.【答案】1615π 【解析】设底面ABC 的外接圆圆心为 O1,半径为r,三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的球心为O,半径为R, 取 AC 的 中 点 D,可 知 O1 ∈BD, OO1=12AA1=2且OO1∥AA1, 则 BD = AB2-AD2 = 5, sin∠BAC=BDAB= 5 3, 可得r= BC2sin∠BAC= 95 10,R2=r2+OO21= 161 20, 所以三棱柱ABC-A1B1C1 的外接球表面积为S球=4πR2= 161 5π. 10.【答案】7 【解析】连接BC1,得△A1BC1,以A1B 所在直线为轴,将 △A1BC1 所在平面旋转到平面ABB1A1, 设点C1 的新 位 置 为 C',连 接 AC',则 有 AP+PC1= AP+PC'≥AC',如图, 当A,P,C'三点共线时,则AC'即为AP+PC1 的最小值. 在△ABC 中,AB=BC= 3,cos∠ABC=13, 由余 弦 定 理 得 AC= AB2+BC2-2AB·BCcos B = 3+3-2×3×13 =2, 所以A1C1=2,即A1C'=2, 在△A1AB 中,AA1=1,AB= 3, 由勾股定理可得 A1B= AA21+AB2 = 1+3=2,且 ∠AA1B=60°. 同理可求得C1B=2,因为A1B=BC1=A1C1=2, 所以△A1BC1 为等边三角形,所以∠BA1C1=60°, 所以 在△AA1C'中,∠AA1C'=∠AA1B+∠BA1C'= 120°,AA1=1,A1C'=2, 由余弦定理得AC'= 1+4-2×1×2× -12 = 7. 11.【解析】(1)如图,连接BC1,因为G,M 分别是棱C1C,BC 的中点,故GM∥BC1 且GM=12BC1, 又 AD1 = 2,MG = 12 BC1 = 2 2,AM = D1G = 12+ 12 2= 52, 所以 四 边 形 AMGD1 的 周 长 = 2+ 22 +2× 5 2 = 32 2 + 5. (2)多面体CMG-DAD1 为三棱台, 又S△CMG=12× 1 2× 1 2= 1 8,S△DAD1= 1 2×1×1= 1 2, 高h=CD=1, 所以VCMG-DAD1=13 12+18+ 12×18 ×1=724. 12.【解析】(1)如图,作PE⊥BC,垂足为E, 由正四 棱 锥 性 质 可 知,E 为 BC 的 中 点,所 以 PE= PB2-BE2= 42-12= 15, 所以SP-ABCD=4+4×12×2× 15=4+4 15. (2)如图,作PO⊥平面ABCD,由正四棱锥性质可知O 为 BD 的中点, 因为OB=12BD= 1 2 BC2+CD2= 2, 所以PO= PB2-OB2= 14, 又PM=2MB,N 是PD 的中点, 精英1号 学考笔记 数学 64 所以VN-MCD=VM-NCD=23VB-NCD= 2 3VN-BCD= 1 3VP-BCD= 1 6VP-ABCD= 1 6× 1 3×4× 14= 2 9 14. 第17练 空间直线、平面的平行和垂直 1.【答案】D 【解析】用一个平面去截正方体,截面不可能是直角三角形. 故选D. 2.【答案】A 【解析】连接B1D1⇒AO1⊥B1D1,B1D1∥O2O3,故选A. 3.【答案】A 【解析】不妨设 AC=1,则点 D1 到平面 ACB1 的距离为 6 3,故直 线 D1C 与 平 面 ACB1 所 成 角 的 正 弦 值 为 6 3. 故选A. 4.【答案】D 【解析】对于A,若α⊥β,l∥β,则l∥α或l⊂α或l与α相交, A错误;对于B,要得到l⊥α,则需要l与平面α 内两条相 交直线垂直,只有l⊥m,m⊂α 得不到l⊥α,B错误;对于 C,若m⊂α,l∥β,l∥m,则α∥β或α与β相交,C错误;对于 D,若m⊥α,l∥β,l∥m,由面面垂直的判定定理可得α⊥β, D正确.故选D. 5.【答案】D 【解析】对 于 A,依 题 意 有 DA⊥平 面 ABC,DA⊂平 面 DAC,所以平面ABC⊥平面DAC,A正确; 对于B,DA⊥平面ABC,CB⊂平面ABC,则有DA⊥CB, AC 是圆O 的直径,B 为圆周上不与点A,C 重合的点,则 有AB⊥CB,DA∩AB=A,DA,AB⊂平面 BAD,所以 CB⊥平面BAD,B正确; 对于C,CB⊥平面BAD,AN⊂平面 BAD,CB⊥AN,又 AN⊥DB 于N,CB∩DB=B,CB,DB⊂平面BCD,所以 AN⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,则AN⊥CD,又AM⊥ DC 于 M,AN,AM ⊂平 面 AMN,AN∩AM =A,所 以 CD⊥平面AMN,C正确; 对于D,平面AMN∩平面 DAB=AN,DB⊂平面 DAB, AN⊥DB 于N, 若平面AMN⊥平面DAB,则必有DB⊥平面AMN, 而 MN⊂平面AMN,则必有DB⊥MN, 因为CB⊥平面BAD,DB⊂平面DAB,则有CB⊥DB, 又 MN,BC⊂平面DBC,则必有 MN∥BC, 由于 DA 垂 直 于 圆 O 所 在 的 平 面,∠DCA =45°, 则DA=AC, 而AM⊥DC 于M,则 M 为DC 的中点, 因为AC 是圆O 的直径,B 为圆周上不与点A,C 重合的 点,AB<AC=DA,AN⊥DB 于点N, 则 N 不是DB 中点(否则会得到AB=AD,但这与AB< AD 矛盾), MN∥BC 不成立,所以平面AMN⊥平面 DAB 的结论不 正确,即D错误.故选D. 6.【答案】D 【解析】如图,取PC 的中点E,连接AE,EN,AC 交BD 于 O,连接 MO, 因为 PM ∶MC=3∶1,PC 的 中 点E, 所 以 EM =MC,又 O 是 AC 的 中点, 所 以 MO ∥AE,又 AE ⊄ 平 面 BDM,OM⊂平面BDM, 所以 AE∥平面 BDM,又 AN∥平 面BDM,AE∩AN=A 所以平面ANE∥平面BDM, 因为平面 PBC 交平面BDM,平面 ANE,且交线分别是 NE,MB, 所以 NE∥MB, 所以PN∶NB=PE∶EM=2∶1.故选D. 7.【答案】ABD 【解析】如图,连接B1C,BC1,因为 DA1∥B1C,所以直线 BC1 与B1C 所成的角即为直线BC1 与DA1 所成的角, 因为四边形 BB1C1C 为正方 形,则 B1C⊥BC1,故 直 线 BC1 与DA1 所成的角为90°,A正确; 连接 A1C,因 为 A1B1 ⊥ 平 面 BB1C1C,BC1 ⊂ 平 面 BB1C1C,则A1B1⊥BC1, 因为 B1C ⊥BC1,A1B1 ∩B1C =B1,所 以 BC1 ⊥ 平 面A1B1C, 又A1C⊂平面A1B1C,所以BC1⊥CA1,故B正确; 连接A1C1,设A1C1∩B1D1=O,连接BO, 因为BB1⊥平面 A1B1C1D1,C1O⊂平面 A1B1C1D1,则 C1O⊥B1B, 因为 C1O⊥B1D1,B1D1 ∩B1B=B1,所 以 C1O⊥ 平 面BB1D1D, 所以∠C1BO 为直线BC1 与平面BB1D1D 所成的角, 设正方体棱长为1,则C1O= 22,BC1= 2,sin∠C1BO= C1O BC1= 1 2, 所以 直 线 BC1 与 平 面 BB1D1D 所 成 的 角 为30°,故 C 错误; 第16练 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 31 第16练 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 一、单选题 1.已知△ABC 的斜二测画法 的 直 观 图 为 △A'B'C',若A'B'=4,B'C'=3,∠A'B'C'= 60°,则△ABC 的面积为 ( )…………… A.33 B.364 C.66 D.126 2.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积 相等,且它们的高均为 3,则圆锥的体积为 ( )………………………………… A.23π B.33π C.63π D.93π 3.如图,圆柱的母线长为4,AB, CD 分别为该圆柱的上底面和 下底面直径,且AB⊥CD,三棱 锥A-BCD 的体积为83,则圆柱 的表面积为 ( )…………… A.10π B.92π C.4π D.8π 4.某圆锥的底面半径为6,其内切球半径为 3,则该圆锥的侧面积为 ( )………… A.20π B.30π C.60π D.90π 5.将一个正四棱台物件放入有一定深度的电 解槽中,对其表面进行电泳涂装.如图所 示,已知该物件的上底边长与侧棱长相等, 且为下底边长的一半,一个侧面的面积为 33,则该物件的高为 ( )…………… A.32 B.1 C.2 D.3 6.已知在正四面体ABCD 中,E 是棱AC 上 一点,过E 作平面α,满足AB∥α,CD∥α, 若AB,CD 到平面α的距离分别是3和9, 则正四面体 ABCD 的外接球被平面α 截 得的截面面积为 ( )………………… A.99π B.100π C.103π D.108π 二、多选题 7.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形, E,F 分别是棱PD,PA 的中点,下列说法正确 的有 ( )………… A.多 面 体 ABF-DCE 是三棱柱 B.直线BF 与PC 互为异面直线 C.平面 ADP 与平面BCP 的 交 线 平 行 于EF D.四棱锥P-ABCD 和四棱锥P-BCEF 的 体积之比为8∶3 8.如图,圆柱内有一个内切 球,这个球的直径恰好与 圆柱 的 高 相 等,O2,O1 分别为圆柱上、下底面的 圆心,O 为球心,EF 为 底面圆O1 的一条直径, 若球的半径r=2,则 ( )…………… A.球与圆柱的体积之比为2:3 B.四面体CDEF 的体积的取值范围为(0, 32] C.平面 DEF 截得球的截面面积最小值 为16π5 D.若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点, 则PE+PF 的取值范围为[2+2 5, 43] 32 三、填空题 9.已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1=4,AB=BC=3,AC=4,则三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球表面积为 . 10.如 图 所 示,在 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=1, AB=BC=3,cos∠ABC= 1 3,点 P 是线段A1B 上 的一动点,则线段AP+PC1 的最小值为 . 四、解答题 11.如 图,在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中,G,M 分别是棱C1C,BC 的中点. (1)求四边形AMGD1 的周长; (2)求多面体CMG-DAD1 的体积. 12.如图,在正四棱锥P-ABCD 中,AB=2, PA=4,M 是PB 上的点且PM=2MB, N 是PD 的中点.求: (1)四棱锥P-ABCD 的表面积; (2)三棱锥N-MCD 的体积.