第13练 平面向量的坐标表示及坐标运算-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

第13练 平面向量的坐标表示及坐标运算 25 第13练 平面向量的坐标表示及坐标运算 一、单选题 1.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2, 4),则c= ( )………………………… A.-a+3b B.3a-b C.a-3b D.-3a+b 2.已知点A=(-4,-1),B=(-1,3),则与 向量AB→ 同方向的单位向量为 ( )… A.35,- 4 5 B.45,-35 C.-35, 4 5 D.-45,35 3.已知AB→=(2,3),AC→=(3,t),BC→=1,则 AB→·BC→= ( )……………………… A.-3 B.-2 C.2 D.3 4.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b= -6,则cos<a,a+b>= ( )…………… A.-3135 B.- 19 35 C.1735 D. 19 35 5.在直角坐标平面xOy 内,O 为坐标原点, 已知点A -12,- 3 2 ,将向量OA→ 绕原点 按逆时针方向旋转π2得到OA' →,则OA'→的 坐标为 ( )…………………………… A.- 32, 1 2 B. 32,-12 C.12,- 3 2 D.-12,32 6.已知a 与b 为单位向量,且a⊥b,向量c 满足|c-a-b|=2,则|c|的可能取值有 ( )………………………………… A.6 B.5 C.4 D.3 二、多选题 7.已知平面向量a=(1,0),b=(1,23),则 下列说法正确的是 ( )……………… A.|a+b|=16 B.(a+b)·a=2 C.向量a+b与a的夹角为30° D.向量a+b在a上的投影向量为2a 8.已知O 为坐标原点,点P1(cos α,sin α), P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+ β)),A(1,0),则 ( )………………… A.|OP1→|=|OP2→| B.|AP1→|=|AP2→| C.OA→·OP→3=OP1→·OP2→ D.OA→·OP1→=OP2→·OP3→ 三、填空题 9.已知OA→=(-2,1),OB→=(0,2),若AC→∥OB→, BC→⊥AB→,则点C 的坐标为 . 10.若a,b,c 均为单位向量,且a·b=0, (a+b)·(b+c)的最大值为 . 26 四、解答题 11.设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β, 4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a 与b-2c 垂直,求tan(α+β) 的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若tan αtan β=16,求证:a∥b. 12.如图,点A 是单位圆O 与x 轴正半轴的 交点,点B 是圆O 上第一象限内的动点, 将点B 绕原点O 逆时针旋转π3至点C,记 ∠AOB=θ. (1)若点B 的坐标为 35, 4 5 ,求点C 的 坐标; (2)若f(θ)=BC→·OA→,求f(θ)的单调递 增区间. 答案解析 57 法2: (1)AB→·AD→=|AB→|·|AD→|cos 60°=2×4×12=4. (2)AF→=AE→+λAD→⇒EF→=λAD→,∴EF→∥AD→, ∵BD→⊥AF→,BD→⊥AB→, ∴点F 与点B 重合, ∴λ=-12. 12.【解析】(1)∵AN=14AB,∴AN →=14AB→=14a, DN→=AN→-AD→=14a-b, ∵BM=23BC,∴BM →=23BC→=23b, ∴AM→=AB→+BM→=a+23b; (2)∵A,O,M 三点共线,设AO→=λAM→=λa+23λb, ∵D,O,N 三点共线, ∴DO→=μDN→,AO→-AD→=μAN→-μAD→, ∴AO→=μAN→+(1-μ)AD→=μ4a+(1-μ)b, ∵a,b不共线,所以 λ=14μ 2 3λ=1-μ 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得 λ=314 μ=67 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , AO→=314AM→,OM→=1114AM→,∴AO∶OM=3∶11. 第13练 平面向量的坐标表示及坐标运算 1.【答案】C 【解析】设c=xa+yb,则(-2,4)=x(1,1)+y(1,-1), ∴ -2=x+y4=x-y ,解得 x=1y=-3 , ∴c=a-3b.故选C. 2.【答案】A 【解析】AB→=(3,-4),所以|AB→|=5,与AB→ 同方向的单位 向量是 1 5AB →= 35,-45 .故选A. 3.【答案】C 【解析】由 BC→ =AC→ -AB→ = (1,t-3),|BC→|= 12+(t-3)2=1,得t=3,则 BC→=(1,0),AB→·BC→= (2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C. 4.【答案】D 【解析】∵|a|=5,|b|=6,a·b=-6,∴a·(a+b)= |a|2+a·b=52-6=19. |a + b | = (a+b)2 = a2+2a·b+b2 = 25-2×6+36=7, 因此,cos<a,a+b>= a·(a+b)|a|·|a+b|= 19 5×7= 19 35.故选D. 5.【答案】B 【解析】设A'(x,y),且x>0,y<0,则A'A→= -12-x, - 32-y ,OA'→=(x,y), 所以 -12-x 2+ - 32-y 2=2 x2+y2=1 ,解得 x= 32y=-12􀮠􀮢􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 则OA→= 32,-12 . 故选B. 6.【答案】D 【解析】根据题意,设OA→=a,OB→=b,OC→=c, 以O 为坐标原点,OA→ 的方向为x 轴的正方向,OB→ 的方向 为y 轴的正方向建立坐标系, 则A(1,0),B(0,1),设C(x,y),则c-a-b=(x-1,y-1), 若|c-a-b|=2,则有(x-1)2+(y-1)2=4, 则点C 在以(1,1)为圆心,半径为2的圆上, 设(1,1)为点 M,则|OM|= 2,则有r-|OM|≤|OC|≤ r+|OM|, 即2- 2≤|OC|≤2+ 2,则|c|的取值范围为[2- 2,2+ 2].故选D. 7.【答案】BD 【解析】由 题 意 得 a+b= (2,2 3),所 以|a+b|= 22+(23)2=4,故A错误;(a+b)-a=(2,23)·(1, 0)=2×1+2 3×0=2,故 B正 确;cos<a+b,a>= (a+b)·a |a+b|·|a|= 2 4×1= 1 2,又<a+b,a>∈[0,π],所以<a+ b,a>= π3,故 C错误;向量a+b 在a 上的投影向量为 a·(a+b) |a| · a |a|=2a,故D正确.故选BD. 8.【答案】AC 【解析】对于A,OP1→=(cos α,sin α),OP2→=(cos β,-sin β), 所以 |OP1→ | = cos2α+sin2α = 1,|OP2→ | = (cos β)2+(-sin β)2=1,故|OP1→|=|OP2→|,故A正确; 对于B,AP1→=(cos α-1,sin α),AP2→=(cos β-1,-sin β), 所 以 | AP1→ | = (cos α-1)2+sin2α = cos2α-2cos α+1+sin2α= 2(1-cos α)= 4sin2α2 = 2|sin α2|,同理|AP2 →|= (cos β-1)2+sin2β=2|sin β2|,故 |AP1→|,|AP2→|不一定相等,故B错误; 对于C,由题意得OA→·OP3→=1×cos(α+β)+0×sin(α+β)= cos(α+β),OP1→·OP2→=cos α·cos β+sin α·(-sin β)= cos(α+β),故C正确; 对于D,由题意得OA→·OP1→=1×cos α+0×sin α=cos α, OP2→·OP3→=cos β×cos(α+β)+(-sin β)×sin(α+β)= cos(β+(α+β))=cos(α+2β),故一般来说OA→·OP1→≠ OP2→·OP3→,故D错误;故选AC. 9.【答案】(-2,6) 【解析】设点C 的坐标为(x,y),则 AC→=OC→-OA→=(x+2,y-1),BC→=OC→-OB→=(x,y-2), 因为OA→=(-2,1),OB→=(0,2),所以 AB→=OB→-OA→= (2,1), 精英1号 学考笔记 数学 58 因为AC→∥OB→,BC→⊥AB→,所以 (x+2)×2-0×(y-1)=02x+y-2=0 , 解得 x=-2 y=6 ,所以点C 的坐标为(-2,6). 故答案为:(-2,6). 10.【答案】1+ 2 【解析】因为a,b,c均为单位向量,且a·b=0, 设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos θ,sin θ), ∴(a+b)·(b+c)=(1,1)·(cos θ,1+sin θ)=cos θ+ 1+sin θ= 2sinθ+π4 +1, 故(a+b)·(b+c)的最大值为1+ 2. 故答案为:1+ 2. 11.【解析】(1)∵a 与b-2c 垂直,∴a·(b-2c)=a·b- 2a·c=0,4cos α·sin β+sin α·4cos β-2[4cos α·cosβ+ sin α·(-4sin β)]=0,即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0, ∴tan(α+β)=2. (2)b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β), |b+c|2 =sin2β+2sin βcos β+cos2β+16cos2β- 32cos βsin β+16sin2β=17-30sin βcos β=17-15sin 2β, ∴|b+c|2 的最大值为32,∴|b+c|的最大值为42. (3)证明:由tan αtan β=16,得sin αsin β=16cos αcos β, 即4cos α·4cos β-sin αsin β=0,故a∥b. 12.【解析】(1)由三角函数的定义可得sin θ=45,cos θ=35, 且点C 的坐标为 cos θ+π3 ,sin θ+π3 , 所以cos θ+π3 =12cos θ- 32sin θ=3-4310 , sin θ+π3 =12sin θ+ 32cos θ=4+3310 , 故点C 的坐标为 3-4310 , 4+33 10 . (2)f(θ)=BC→·OA→=(OC→-OB→)·OA→=OC→·OA→- OB→·OA→ =|OC→|·|OA→|cos θ+π3 -|OB→|·|OA→|cos θ =cos θ+π3 -cos θ=12cos θ- 32sin θ-cos θ =- 32sin θ+12cos θ =-sinθ+π6 , ∵0<θ<π2,则 π 6<θ+ π 6< 2π 3,由 π 2<θ+ π 6< 2π 3,解 得 π 3<θ< π 2, 故函数f(θ)的单调递增区间为 π3, π 2 . 第14练 平面向量的数量积 1.【答案】B 【解析】因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2= 2a·b, 又因为|a|=1,|a+2b|=2, 所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4, 从而|b|= 22.故选B. 2.【答案】B 【解析】对于 A,a·(b+a)=a·b+a2=5|b|2≠0,故 A 错误; 对于B,b·(b-a)=b2-b·a=b2-b2=0,所以b⊥(b- a),故B正确; 对于C,b·(b+a)=b2+a·b=2|b|2≠0,故C错误; 对于D,a·(b-a)=a·b-a2=-3|b|2≠0,故D错误. 故选B. 3.【答案】A 【解析】由(BC→+BA→)·AC→=|AC→|2,得(BC→+BA→)·AC→- AC→2=(BC→+BA→-AC→)·AC→=(BC→+BA→+CA→)·AC→= 2BA→·AC→=0,所以BA⊥AC,又无法判断边长之间的关 系,故△ABC 为直角三角形.故选A. 4.【答案】C 【解析】由题意知,∀t∈R,|a-tb|≥|a-b|, ∴∀t∈R,|a|2+t2|b|2-2ta·b≥|a|2+|b|2-2a·b, 即t2|b|2-6t|b|2cos<a,b>-|b|2+6|b|2cos<a,b>≥0. ∵|b|≠0, ∴∀t∈R,t2-6tcos<a,b>-1+6cos<a,b>≥0, ∴Δ=36cos2<a,b>-4(6cos<a,b>-1)=36(cos<a,b>- 1 3)2≤0, ∴cos<a,b>-13=0,即cos<a,b>= 1 3.故选C. 5.【答案】A 【解析】设BP=λBC(0≤λ≤1). AP→·(AB→+AC→)=(AB→+BP→)·(AB→+AC→)=AB→2+ AB→·AC→+λBC→·(AB→+AC→), 因为λBC→·(AB→+AC→)=λ(BA→+AC→)·(AB→+AC→)= λ(AC→2-AB→2)=0, cos A=AB 2+AC2-BC2 2AB·AC = 9+9-16 2×3×3= 1 9, 所以AP→·(AB→+AC→)=AB→2+AB→·AC→=32+3×3· cos A=10. 故选A. 6.【答案】A 【解析】根据题意画出图形,并建立平面直角坐标系,如图: 由题意可知A(0,0),B(3,0),C(3,3),D(0,3). 设点P(cos θ,sin θ)0≤θ≤π2 , 则PB→·PD→=(3-cos θ,-sin θ)·(-cos θ,3-sin θ)= -cos θ·(3-cos θ)-sin θ(3-sin θ)=1-3sin θ-3cos θ= 1-32sinθ+π4 .又0≤θ≤π2,则π4≤θ+π4≤3π4, 所以 2 2≤sinθ+ π 4 ≤1,