第12练 平面向量的概念和线性运算-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

第12练 平面向量的概念和线性运算 23 第12练 平面向量的概念和线性运算 一、单选题 1.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,则EB→= ( )…………… A.34AB →-14AC → B.14AB →-34AC → C.34AB →+14AC → D.14AB →+34AC → 2.已知点A,B,C 不共线,λ,μ 为实数,AP→= λAB→+μAC→,则“0<λ+μ<1”是“点P 在 △ABC 内(不含边界)”的 ( )……… A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在△ABC 中,点D 在边AB 的延长线上, AB=2BD,CB→=mCA→+nCD→ 则 ( ) ……… ………………………………… A.m=23,n= 1 2 B.m=13,n= 2 3 C.m=23,n= 1 3 D.m=-13,n= 4 3 4.如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过 点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的 两点M,N,若AB→=mAM→,AC→=nAN→,则 m+n= ( )…………………………… A.1 B.2 C.32 D.3 5.在△ABC 中,D 为△ABC 所在平面内一 点,且AD→=13AB →+12AC →,则S△BCD S△ABD= ( ) … ………………………………… A.16 B. 1 3 C.12 D. 2 3 6.如图,在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2, 点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆 上,∠BCP=3π4.若AP →=λAB→+μAD→,则 λ+μ 的值为 ( )……………………… A.2 B.2- 1010 C.3 D.3- 1010 二、多选题 7.如图,在平行四边形ABCD 中,已知F,E 分别是靠近C,D 的四等分点,则下列结论 正确的是 ( )………………………… A.EF→=12AB → B.AF→=-34AB →+AD→ C.BE→=34AB →+AD→ D.BE→·AF→=(AD→)2-916(AB →)2 24 8.在△ABC 中,点D 满足BD→=DC→,当点E 在线 段 AD 上 移 动 时,记 AE→=λAB→+ μAC →,则 ( )…………………………… A.λ=2μ B.λ=μ C.(λ-1)2+μ2 的最小值为14 D.(λ-1)2+μ2 的最小值为12 三、填空题 9.如图,在同一个平面内,向量 OA→,OB→,OC→ 的模分别为1, 1,2,OA→ 与OC→ 的夹角为α, 且tan α=7,OB→ 与OC→ 的夹 角为45°.若OC→=mOA→+nOB→(m,n∈R), 则m+n= . 10.已知P 为△ABC 内一点,2PA→+3PB→+ 5PC→=0,则△APC,△BPC 的面积之比 为 . 四、解答题 11.已知平行四边形ABCD 中,AB=2,BC=4, ∠DAB=60°,点E 是线段BC 的中点. (1)求AB→·AD→ 的值; (2)若AF→=AE→+λAD→,且BD→⊥AF→,求 λ的值. 12.如图所示,在▱ABCD 中,AB→=a,AD→= b,BM=23BC,AN= 1 4AB. (1)试用向量a,b来表示DN→,AM→; (2)AM 交DN 于O 点,求AO∶OM 的值. 答案解析 55 得sin 32x=0,或sin 3 2x+ 3cos 3 2x=0,又x∈ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 0,π2 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 , 解得x1=0,x2=4π9,故B正确; 由f(x)=sin2ωx+ 3sin ωx·cos ωx=12(1-cos 2ωx)+ 3 2sin 2ωx=sin 2ωx-π6 +12, 由x∈ 0,π2 ,得-π6≤2ωx-π6≤πω-π6, 若f(x)在 0,π2 上恰有2个零点x1,x2, 令f(x)=sin2ωx-π6 +12=0,得sin 2ωx- π6 = -12,在- π 6≤2ωx- π 6≤πω- π 6仅有2个解,故 7π 6≤ πω-π6< 11π 6 ,所以 4 3≤ω<2,故C正确; 由x∈ 0,π6 得-π6≤2ωx-π6≤π3ω-π6, 又因为 4 3≤ω<2,所以 5π 18≤ π 3ω- π 6 < π 2,故f(x)在 0,π6 上单调递增,故D正确,故选BCD. 9.【答案】-2425 【解 析】由 tan α+π4 = - 43,得 tan π 4+tan α 1-tan π4·tan α = 1+tan α 1-tan α=- 4 3,解得tan α=7, 故cos 2α=cos 2α-sin2α cos2α+sin2α= 1-tan2α 1+tan2α= 1-49 1+49=- 24 25. 故答案为:-2425. 10.【答案】3 【解析】由三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式, 可得 tan 20°+4sin 20°=sin 20° cos 20°+4sin 20°= sin(60°-40°)+4sin 20°cos 20° cos 20° = 3 2cos 40°-12sin 40°+2sin 40° cos 20° = 3cos(60°-40°) cos 20° = 3. 11.【解析】(1)选择第四个式子计算:sin230°+cos230°-3sin 30°· cos 30°=14+ 3 4- 3 4= 1 4. (2)根 据(1)的 计 算 结 果,推 广 为 三 角 恒 等 式:sin2α+ cos2(60°-α)- 3sin2αcos(60°-α)=14. 证明:sin2α+cos2(60°-α)- 3sin αcos(60°-α) =sin2α+ 12cos α+ 32sin α 2- 3sin α 12cos α+ 3 2sin α =sin2α+14cos2α+ 3 2sin αcos α+34sin2α- 3 2sin αcos α- 3 2sin2α= 1 4. 12.【解析】(1)由题知,弧AB 长为π3×2= 2π 3,故扇形 AOB 的周长为 2π 3+4. (2)设∠AOC=θ,θ∈ 0,π3 ,OC=2,则OF=OC·cos θ, DE=CF=DC·sin θ,OE= DEtan 60°= 2sin θ 3 , 以EF=OF-OE=2cos θ=2sin θ 3 , 所以矩形CDEF 的面积S=EF·CF= 2cos θ-2sin θ 3 · 2sin θ=2sin 2θ-23(1-cos2θ)3 = 43 3 32sin 2θ+ 1 2cos 2θ -233 =433sin2θ+π6 -233 ≤233 , 2θ+π6∈ π 6, 5π 6 ,所以当θ=π6时,S 取得最大值233 , 即当C 在弧AB 中点时,矩形CDEF 的面积最大,最大值 为 23 3 . 第12练 平面向量的概念和线性运算 1.【答案】A 【解析】在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中 点,∴EB→=AB→-AE→=AB→-12AD→=AB→-12×12(AB→+ AC→)=34AB→-14AC→.故选A. 2.【答案】B 【解析】若AP→=λAB→+μAC→,且λ+μ=1,可知P,B,C 三 点共线, 若AP→=λAB→+μAC→,点P 在△ABC 内部(不含边界),则 0<λ+μ<1; 反之不成立,例如λ=-13,μ= 1 2时,此时 P 在△ABC 外部, 所以“0<λ+μ<1”是“点P 在△ABC 内(不含边界)”的必 要不充分条件.故选B. 3.【答案】B 【解析】因为点 D 在边AB 的延长线上,AB=2BD,所以 AB→=2BD→,即CB→-CA→=2(CD→-CB→), 所以CB→=13CA→+23CD→. 又CB→=mCA→+nCD→,由平面向量基本定理可得 m=13, n=23.故选B. 4.【答案】B 【解析】如图,连接 AO,由 O 为BC 的中 点,可得AO→=12(AB→+AC→)=m2AM→+ n 2AN →, ∵M,O,N 三点共线, 精英1号 学考笔记 数学 56 ∴m2+ n 2=1, ∴m+n=2.故选B. 5.【答案】B 【解析】如图,因为 AD→= 13AB→+ 1 2AC →,过点D 分别作AC,AB 的平 行线交AB,AC 于点E,F, 则F 为AC 的中点,E 为AB 的靠 近A 的三等分点, 则S△ABD=12S△ABC,S△ACD= 1 3S△ABC, 所以S△BCD= 1-12- 1 3 S△ABC=16S△ABC, ∴S△BCDS△ABD= 1 6S△ABC 1 2S△ABC =13.故选B. 6.【答案】B 【解析】设圆C 的半径为r,则r=BC·CDBD = 2 5= 25 5 , 以点C 为坐标原点,BC,CD 所在直线分别为x 轴、y 轴建 立如图所示的平面直角坐标系, 则A(-2,1),B(-2,0),D(0,1),P 105 , 105 , AB→=(0,-1),AD→=(2,0),AP→= 105 +2, 105 -1 , 由AP→=λAB→+μAD→,得 105 +2,105 -1 =λ(0,-1)+ μ(2,0)=(2μ,-λ), 所以 2μ= 105 +2 -λ= 105 -1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解 得 μ= 1010 +1 λ=1- 105 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,因 此,λ+μ= 2- 1010 .故选B. 7.【答案】AD 【解析】因为在平行四边形ABCD 中,F,E 分别是靠近C, D 的四等分点,所以EF→=12DC→=12AB→,故A正确; AF→=AD→+34AB→=34AB→+AD→,故B错误; BE→=BC→+CE→=BC→-34DC→=-34AB→+AD→,故C错误; BE→·AF→=(-34AB→+AD→)·(34AB→+AD→)=(AD→)2- 9 16(AB →)2,故D正确.故选AD. 8.【答案】BD 【解析】因为BD→=DC→,所以AD→=12AB→+12AC→. 又AE→=λAB→+μAC→,点E 在线段AD 上移动, 所以AE→∥AD→,则 1 2 λ = 1 2 μ ,即λ=μ(0≤λ≤12),故 A错 误,B正确; 所以t=(λ-1)2+μ2=(λ-1)2+λ2=2λ2-2λ+1= 2λ-12 2+12, 当λ=12时,t的最小值是 1 2.故C错误,D正确.故选BD. 9.【答案】3 【解析】由tan α=7可得sin α=7210,cos α= 210,由OC →= mOA→+nOB→ 得 OC→·OA→=mOA→2+nOB→·OA→ OC→·OB→=mOB→·OA→+nOB→2 , 即 2cos α=m+ncos(α+45°) 2cos 45°=mcos(α+45°)+n ,两式相加,得 2(cos α+cos 45°)=(m+n)(1+cos(α+45°)),所以 m+n= 2cos α+ 2cos 45° 1+cos(α+45°) = 2× 210+ 2× 2 2 1+ 210× 2 2- 72 10× 2 2 = 3,所以m+n=3. 10.【答案】32 【解析】由2PA→+3PB→+5PC→= 0,得2(PA→+PC→)=-3(PB→+ PC→), 如图所示,取AC 的中点F,BC 的中点G,则2PF→=-3PG→, 所以 S△APC S△BPC= 1 2PC·h1 1 2PC·h2 =PFPG= 3 2. 故答案为:32. 11.【解析】法1: (1)以点A 为坐标原点,AB 所在直线 为x 轴,建立如图所示的平面直角坐 标系,则 A(0,0),C(4,2 3),E(3, 3),B(2,0),D(2,23), AD→=(2,23),AB→=(2,0), ∴AB→·AD→=4. (2)AF→=AE→+λAD→,AF→=(3+2λ,3+23λ),BD→=(0, 23), ∵BD⊥AF,∴BD→·AF→=23(3+23λ)=0, ∴λ=-12. 答案解析 57 法2: (1)AB→·AD→=|AB→|·|AD→|cos 60°=2×4×12=4. (2)AF→=AE→+λAD→⇒EF→=λAD→,∴EF→∥AD→, ∵BD→⊥AF→,BD→⊥AB→, ∴点F 与点B 重合, ∴λ=-12. 12.【解析】(1)∵AN=14AB,∴AN →=14AB→=14a, DN→=AN→-AD→=14a-b, ∵BM=23BC,∴BM →=23BC→=23b, ∴AM→=AB→+BM→=a+23b; (2)∵A,O,M 三点共线,设AO→=λAM→=λa+23λb, ∵D,O,N 三点共线, ∴DO→=μDN→,AO→-AD→=μAN→-μAD→, ∴AO→=μAN→+(1-μ)AD→=μ4a+(1-μ)b, ∵a,b不共线,所以 λ=14μ 2 3λ=1-μ 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得 λ=314 μ=67 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , AO→=314AM→,OM→=1114AM→,∴AO∶OM=3∶11. 第13练 平面向量的坐标表示及坐标运算 1.【答案】C 【解析】设c=xa+yb,则(-2,4)=x(1,1)+y(1,-1), ∴ -2=x+y4=x-y ,解得 x=1y=-3 , ∴c=a-3b.故选C. 2.【答案】A 【解析】AB→=(3,-4),所以|AB→|=5,与AB→ 同方向的单位 向量是 1 5AB →= 35,-45 .故选A. 3.【答案】C 【解析】由 BC→ =AC→ -AB→ = (1,t-3),|BC→|= 12+(t-3)2=1,得t=3,则 BC→=(1,0),AB→·BC→= (2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C. 4.【答案】D 【解析】∵|a|=5,|b|=6,a·b=-6,∴a·(a+b)= |a|2+a·b=52-6=19. |a + b | = (a+b)2 = a2+2a·b+b2 = 25-2×6+36=7, 因此,cos<a,a+b>= a·(a+b)|a|·|a+b|= 19 5×7= 19 35.故选D. 5.【答案】B 【解析】设A'(x,y),且x>0,y<0,则A'A→= -12-x, - 32-y ,OA'→=(x,y), 所以 -12-x 2+ - 32-y 2=2 x2+y2=1 ,解得 x= 32y=-12􀮠􀮢􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 则OA→= 32,-12 . 故选B. 6.【答案】D 【解析】根据题意,设OA→=a,OB→=b,OC→=c, 以O 为坐标原点,OA→ 的方向为x 轴的正方向,OB→ 的方向 为y 轴的正方向建立坐标系, 则A(1,0),B(0,1),设C(x,y),则c-a-b=(x-1,y-1), 若|c-a-b|=2,则有(x-1)2+(y-1)2=4, 则点C 在以(1,1)为圆心,半径为2的圆上, 设(1,1)为点 M,则|OM|= 2,则有r-|OM|≤|OC|≤ r+|OM|, 即2- 2≤|OC|≤2+ 2,则|c|的取值范围为[2- 2,2+ 2].故选D. 7.【答案】BD 【解析】由 题 意 得 a+b= (2,2 3),所 以|a+b|= 22+(23)2=4,故A错误;(a+b)-a=(2,23)·(1, 0)=2×1+2 3×0=2,故 B正 确;cos<a+b,a>= (a+b)·a |a+b|·|a|= 2 4×1= 1 2,又<a+b,a>∈[0,π],所以<a+ b,a>= π3,故 C错误;向量a+b 在a 上的投影向量为 a·(a+b) |a| · a |a|=2a,故D正确.故选BD. 8.【答案】AC 【解析】对于A,OP1→=(cos α,sin α),OP2→=(cos β,-sin β), 所以 |OP1→ | = cos2α+sin2α = 1,|OP2→ | = (cos β)2+(-sin β)2=1,故|OP1→|=|OP2→|,故A正确; 对于B,AP1→=(cos α-1,sin α),AP2→=(cos β-1,-sin β), 所 以 | AP1→ | = (cos α-1)2+sin2α = cos2α-2cos α+1+sin2α= 2(1-cos α)= 4sin2α2 = 2|sin α2|,同理|AP2 →|= (cos β-1)2+sin2β=2|sin β2|,故 |AP1→|,|AP2→|不一定相等,故B错误; 对于C,由题意得OA→·OP3→=1×cos(α+β)+0×sin(α+β)= cos(α+β),OP1→·OP2→=cos α·cos β+sin α·(-sin β)= cos(α+β),故C正确; 对于D,由题意得OA→·OP1→=1×cos α+0×sin α=cos α, OP2→·OP3→=cos β×cos(α+β)+(-sin β)×sin(α+β)= cos(β+(α+β))=cos(α+2β),故一般来说OA→·OP1→≠ OP2→·OP3→,故D错误;故选AC. 9.【答案】(-2,6) 【解析】设点C 的坐标为(x,y),则 AC→=OC→-OA→=(x+2,y-1),BC→=OC→-OB→=(x,y-2), 因为OA→=(-2,1),OB→=(0,2),所以 AB→=OB→-OA→= (2,1),