第11练 三角恒等变换-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

精英1号 学考笔记 数学 54 12.【解析】(1)由题意可知,12T= 5 4π- 1 4π=π,所以 T= 2π,ω=2πT=1, 又因为f(x)的图象过点 -π4,0 ,所以2sin -π4+ φ =0得φ=kπ+π4,k∈Z, 因为|φ|≤π2,所以φ= π 4,所以f(x)=2sin x+π4 . (2)由函数f(x)的图象过点 -π4,0 ,得 -π4ω+φ=k1π,k1∈Z,① 且f(x)关于直线l:x=π4对称,得 π 4ω+φ=k2π+ π 2,k2∈Z,② 由②—①得ω=2(k2-k1)+1,k2∈Z,k1∈Z, 所以ω 为正奇数, 又因为f(x)在 π42,2π21 上单调, 所以 1 2T= 1 2× 2π ω= π ω≥ 2 21π- π 42⇒ω≤14, 因为ω 为正奇数,取ω=13时, 由①得φ=k1π+13π4 ,k1∈Z, 又因为|φ|≤π2,所以φ= π 4, 此时,f(x)=2sin 13x+π4 ,直线x=π4是它图象的一 条对称轴, 又因为x∈ π42,2π21 ,13x+π4∈ 47π84,125π84 ⊆􀭠􀭡􀪁􀪁 π2,3π2􀭤􀭥􀪁􀪁 , 所以f(x)在 π42,2π21 上单调, 综上所述,ω 的最大值为13. 第11练 三角恒等变换 1.【答案】A 【解析】sin 50°cos 100°+cos 50°sin 100°=sin 150°= sin(180°-30°)=sin 30°=12.故选A. 2.【答案】A 【解 析 】原 式 = -sin 70°cos 70° cos225°-sin225°= - 1 2sin 140° cos 50° = - 1 2sin 40° sin 40° =- 1 2.故选A. 3.【答案】C 【解析】因为α,β∈ π2,π ,所以-β∈ -π,- π2 ,则 α-β∈ -π2,π2 , 因为sin α=255 ,sin(α-β)=- 3 5, 所 以 cos α= - 1- 255 2 = - 55,cos(α-β)= 1- -35 2=45, 则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α- β)=255 × 4 5- - 5 5 × -35 = 55.故选C. 4.【答案】A 【解析】由sin α+cos β= 52,得sin2α+cos2β+2sin αcos β= 5 4, 由cos α+sin β= 72,得cos2α+sin2β+2cos αsin β=74, 两式相加得2+2(sin αcos β+cos αsin β)=3,得sin(α+β)= 1 2.故选A. 5.【答案】B 【解析】因为f(x)的图象关于直线x=π3对称, 所以f(0)=f 2π3 ,即1= 32a-12,解得a= 3, 则f π4 = 3× 22+ 22= 6+ 22 .故选B. 6.【答案】D 【解析】因为不等式sin xcos x-cos2x+12+m≥0(m∈R) 对∀x∈􀭠􀭡 􀪁􀪁 -π4,π3 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 恒成立, 所以不等式-m≤ 22sin 2x-π4 对∀x∈􀭠􀭡􀪁􀪁 -π4,π3􀭤􀭥􀪁􀪁 恒 成立, 令f(x)= 22sin 2x-π4 ,因为x∈􀭠􀭡􀪁􀪁 - π4,π3􀭤􀭥􀪁􀪁 ,所以 2x-π4∈ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 -3π4,5π12 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,则sin 2x-π4 min=-1, 所以f(x)min=- 22,所以-m≤- 2 2,解得m≥ 2 2,所以 m 的最小值为 22,故选D. 7.【答案】BC 【解析】对于A,2sin 67.5°cos 67.5°=sin 135°= 22,不符合 题意;对于B,2cos2 π12-1=cos π 6= 3 2,符合题意;对于 C,1-2sin215°=cos 30°= 32,符 合 题 意;对 于 D, 2tan 22.5° 1-tan222.5°=tan 45°=1,不符合题意.故选BC. 8.【答案】BCD 【解析】由f(-x)+f(x)=2sin2ωx,ω>0,x∈R,f(-x)+ f(x)=0不恒成立,故不存在ω 使f(x)是奇函数,故 A 错误; 当ω=32时,由f(x)=sin2 3 2x+ 3sin 3 2x·cos 3 2x= sin 32x sin 3 2x+ 3cos 3 2x =0, 答案解析 55 得sin 32x=0,或sin 3 2x+ 3cos 3 2x=0,又x∈ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 0,π2 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 , 解得x1=0,x2=4π9,故B正确; 由f(x)=sin2ωx+ 3sin ωx·cos ωx=12(1-cos 2ωx)+ 3 2sin 2ωx=sin 2ωx-π6 +12, 由x∈ 0,π2 ,得-π6≤2ωx-π6≤πω-π6, 若f(x)在 0,π2 上恰有2个零点x1,x2, 令f(x)=sin2ωx-π6 +12=0,得sin 2ωx- π6 = -12,在- π 6≤2ωx- π 6≤πω- π 6仅有2个解,故 7π 6≤ πω-π6< 11π 6 ,所以 4 3≤ω<2,故C正确; 由x∈ 0,π6 得-π6≤2ωx-π6≤π3ω-π6, 又因为 4 3≤ω<2,所以 5π 18≤ π 3ω- π 6 < π 2,故f(x)在 0,π6 上单调递增,故D正确,故选BCD. 9.【答案】-2425 【解 析】由 tan α+π4 = - 43,得 tan π 4+tan α 1-tan π4·tan α = 1+tan α 1-tan α=- 4 3,解得tan α=7, 故cos 2α=cos 2α-sin2α cos2α+sin2α= 1-tan2α 1+tan2α= 1-49 1+49=- 24 25. 故答案为:-2425. 10.【答案】3 【解析】由三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式, 可得 tan 20°+4sin 20°=sin 20° cos 20°+4sin 20°= sin(60°-40°)+4sin 20°cos 20° cos 20° = 3 2cos 40°-12sin 40°+2sin 40° cos 20° = 3cos(60°-40°) cos 20° = 3. 11.【解析】(1)选择第四个式子计算:sin230°+cos230°-3sin 30°· cos 30°=14+ 3 4- 3 4= 1 4. (2)根 据(1)的 计 算 结 果,推 广 为 三 角 恒 等 式:sin2α+ cos2(60°-α)- 3sin2αcos(60°-α)=14. 证明:sin2α+cos2(60°-α)- 3sin αcos(60°-α) =sin2α+ 12cos α+ 32sin α 2- 3sin α 12cos α+ 3 2sin α =sin2α+14cos2α+ 3 2sin αcos α+34sin2α- 3 2sin αcos α- 3 2sin2α= 1 4. 12.【解析】(1)由题知,弧AB 长为π3×2= 2π 3,故扇形 AOB 的周长为 2π 3+4. (2)设∠AOC=θ,θ∈ 0,π3 ,OC=2,则OF=OC·cos θ, DE=CF=DC·sin θ,OE= DEtan 60°= 2sin θ 3 , 以EF=OF-OE=2cos θ=2sin θ 3 , 所以矩形CDEF 的面积S=EF·CF= 2cos θ-2sin θ 3 · 2sin θ=2sin 2θ-23(1-cos2θ)3 = 43 3 32sin 2θ+ 1 2cos 2θ -233 =433sin2θ+π6 -233 ≤233 , 2θ+π6∈ π 6, 5π 6 ,所以当θ=π6时,S 取得最大值233 , 即当C 在弧AB 中点时,矩形CDEF 的面积最大,最大值 为 23 3 . 第12练 平面向量的概念和线性运算 1.【答案】A 【解析】在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中 点,∴EB→=AB→-AE→=AB→-12AD→=AB→-12×12(AB→+ AC→)=34AB→-14AC→.故选A. 2.【答案】B 【解析】若AP→=λAB→+μAC→,且λ+μ=1,可知P,B,C 三 点共线, 若AP→=λAB→+μAC→,点P 在△ABC 内部(不含边界),则 0<λ+μ<1; 反之不成立,例如λ=-13,μ= 1 2时,此时 P 在△ABC 外部, 所以“0<λ+μ<1”是“点P 在△ABC 内(不含边界)”的必 要不充分条件.故选B. 3.【答案】B 【解析】因为点 D 在边AB 的延长线上,AB=2BD,所以 AB→=2BD→,即CB→-CA→=2(CD→-CB→), 所以CB→=13CA→+23CD→. 又CB→=mCA→+nCD→,由平面向量基本定理可得 m=13, n=23.故选B. 4.【答案】B 【解析】如图,连接 AO,由 O 为BC 的中 点,可得AO→=12(AB→+AC→)=m2AM→+ n 2AN →, ∵M,O,N 三点共线, 第11练 三角恒等变换 21 第11练 三角恒等变换 一、单选题 1.sin 50°cos 100°+cos 50°sin 100°= ( ) …… …………………………………… A.12 B. 3 2 C.-12 D.- 3 2 2.sin 110°cos 250° cos225°-sin2155°的值为 ( )………… A.-12 B. 1 2 C.32 D.- 3 2 3.若α,β∈ π2,π ,且sin α=255 ,sin(α-β)= -35,则sin β= ( )…………………… A.-11525 B.- 5 5 C.55 D. 115 25 4.已知sin α+cos β= 52,cos α+sin β= 72, 则sin(α+β)= ( )…………………… A.12 B. 3 2 C.-12 D.- 3 2 5.已知函数f(x)=asin x+cos x 的图象关 于直线x=π3对称,则f π 4 = ( )… A.3 B.6+ 22 C.- 3 D.2- 62 6.已知不等式sin xcos x-cos2x+12+m≥ 0(m∈R)对∀x∈[-π4, π 3]恒成立,则m 的最小值为 ( )……………………… A.2+ 34 B. 1 2 C.- 22 D. 2 2 二、多选题 7.下列各式的值等于 32的是 ( )……… A.2sin 67.5°cos 67.5° B.2cos2 π12-1 C.1-2sin215° D.2tan 22.5° 1-tan222.5° 8.已知f(x)=sin2ωx+ 3sin ωx·cos ωx, ω>0,若f(x)在􀭠􀭡 􀪁􀪁 0,π2 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 上恰有2个零点 x1,x2,且x1<x2,则下列说法正确的是 ( )………………………………… A.存在ω 使f(x)是奇函数 B.当ω=32时,x2= 4π 9 C.43≤ω<2 D.f(x)在􀭠􀭡 􀪁􀪁 0,π6 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 上单调递增 三、填空题 9.已知tanα+π4 =-43,则cos 2α= . 10.tan 20°+4sin 20°= . 22 四、解答题 11.已知以下四个式子的值都等于同一个 常数. sin226°+cos234°- 3sin 26°cos 34°; sin239°+cos221°- 3sin 39°cos 21°; sin2(-52°)+cos2112°- 3sin(-52°)· cos 112°; sin230°+cos230°- 3sin 30°cos 30°. (1)试从上述四个式子中选择一个,求出 这个常数; (2)根据(1)的计算结果,推广为三角恒等 式,并证明你的结论. 12.如图,圆心角为π3的扇形AOB 的半径为 2,点C 是弧AB 上一点,作这个扇形的内 接矩形CDEF. (1)求扇形AOB 的周长. (2)当点C 在什么位置时,矩形CDEF 的 面积最大? 并求出面积的最大值.