第10练 三角函数的图象与性质-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

精英1号 学考笔记 数学 52 对于D,若θ是第二象限角,则2kπ+π2<θ<2kπ+π,所以 kπ+π4< θ 2<kπ+ π 2(k∈Z), 当k=2n(n∈Z)时,则2nπ+π4< θ 2<2nπ+ π 2(n∈Z), 所以 θ 2为第一象限的角, 当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+5π4< θ 2<2nπ+ 3π 2(n∈Z), 所以 θ 2为第三象限的角, 综上,θ2为第一或第三象限角,故D正确.故选CD. 8.【答案】ABC 【解析】对于A,sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,故A正确; 对于B,cosA+B2 =cos π2-C2 =sin C2,故B正确; 对于C,sin(2A+2B)+sin 2C=sin[2(A+B)]+sin 2C= sin[2(π-C)]+sin 2C=sin(2π-2C)+sin 2C=-sin 2C+ sin 2C=0,故C正确; 对于D,cos(2A+2B)+cos 2C=cos[2(A+B)]+cos 2C= cos[2(π-C)]+cos 2C=cos(2π-2C)+cos 2C=cos 2C+ cos 2C=2cos 2C,故D错误.故选ABC. 9.【答案】75 【解析】因为sin x+cos x=15, 所以(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=125, 所以2sin xcos x=-2425, 所以(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=4925, 因为 π 2<x<π,所以sin x-cos x>0, 所以sin x-cos x= 4925= 7 5. 故答案为:75. 10.【答案】36 【解 析】f (x)= 1cos2x + 25 sin2x = sin2x+cos2x cos2x + 25(sin2x+cos2x) sin2x =1+ sin2x cos2x+25+ 25cos2x sin2x =26+ sin2x cos2x+ 25cos2x sin2x ≥26+2 sin2x cos2x· 25cos2x sin2x =36,当且仅 当 sin2x cos2x= 25cos2x sin2x ,即tan 2x=5时,等号成立,故函数 f(x)的最小值为36.故答案为:36. 11.【解 析 】(1)2cos 2α-1 1-2sin2α = 2cos2α-cos2α-sin2α cos2α+sin2α-2sin2α = cos2α-sin2α cos2α-sin2α=1. (2)(1+tan2α)cos2α=cos 2α+sin2α cos2α ·cos 2α=1. (3)tan2α-sin2α-tan2αsin2α=tan2α(1-sin2α)-sin2α= sin2α cos2α·cos 2α-sin2α=0. 12.【证明】左边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α=1+sin2α+ cos2α-2sin αcos α+2(cos α-sin α)=1+2(cos α-sin α)+ (cos α-sin α)2=(1-sin α+cos α)2=右边. 所以原等式成立. 第10练 三角函数的图象与性质 1.【答案】A 【解析】∵函数y=cos2x+π2 =-sin 2x, ∴函数y=cos2x+π2 =-sin 2x 为最小正周期为π的 奇函数.故选A. 2.【答案】D 【解析】由已知函数f(x)的最小正周期T 满足T4=5-3= 2,∴T=8,∴ω=2πT = π 4.又 函 数 f(x)过 点(3,0), ∴sin π4×3+φ =0,∴π4×3+φ=kπ,∴φ=kπ-3π4, k∈Z,∵-π≤φ<π,∴φ=-3π4或 π 4,又函数f(x)过点 (5,1),∴φ=-3π4.故选D. 3.【答案】D 【解析】∵对任意实数x 都有f π3+x =f π3-x 恒 成立, ∴x=π3是f(x)的一条对称轴,∴当x= π 3时,f(x)取得 最大值3或最小值-3.故选D. 4.【答案】C 【解析】由s=2cos 2 glt,得T= 2π 2 gl = π g l . 由函数的图象可知函数的周期为0.4, 所以 π g l =0.4,即l=0.16gπ2 ≈ 0.16×980 32 ≈17.4 cm. 故选C. 5.【答案】B 【解析】如果将y=2sinx-π6 先平移后伸缩,则为了得 到函数y=2sin2x-π3 ,需要先向右平移π6个单位,再 将横坐标缩短到原来的 1 2倍;如果先伸缩后平移,则为了 得到函数y=2sin2x-π3 ,需要先将横坐标缩短到原来 的 1 2倍,再向右平移 π 12个单位.故选B. 6.【答案】D 【解析】∵函数f(x)=2cos2ωx+π12 (ω>0),若对于任 意的实数x,f(x)≥f π3 恒成立, ∴f π3 是函数的最小值,故2ω×π3+π12=2kπ+π,k∈ Z,即ω=3k+118,k∈Z, 则令k=0,可得ω 的最小值为118.故选D. 答案解析 53 7.【答案】BCD 【解析】由题意,角速度ω=2π60= π 30(弧度/秒), 又由水轮的半径为2米,且圆心O 距离水面1米,可知半 径OP0 与水面所成角为 π 6,点 P 再次进入水中用时为 π+2×π6 π 30 =40(秒),故A错误; 当水轮转动50秒时,半径 OP0 转动了50× π30= 5π 3(弧 度),而5π3- π 6= 3π 2,点P 正好处于最低点,故B正确; 如图,以O 为原点,以与水平面平行的直线为x 轴建立平面 直角坐标系,设点P 距离水面的高度 H=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0), 由 Hmax=A+B=3 Hmin=-A+B=-1 ,得 A=2B=1 , 又角速度ω=2π60= π 30(弧度/秒),当t=0时,∠xOP0= π 6,所以ω= π 30,φ=- π 6, 所以点P 距离水面的高度H=2sin π30t- π 6 +1,当水轮 转动150秒时,将t=150代入,得 H=2,点P 距离水面2 米,故C正确; 将H=1+3代入 H=2sin π30t- π 6 +1中,得π30t-π6= 2kπ+π3,或 π 30t- π 6=2kπ+ 2π 3,即t=60k+15,或t=60k+ 25(k∈N). 所以点P 第二次到达距水面(1+ 3)米时用时25秒,故D 正确.故选BCD. 8.【答案】ACD 【解析】因为函数f(x)=2sin2x-π3 +1的最小正周期 为T=2π2=π,所以f(x+π)=f(x)恒成立,故A正确; 又f x+π6 =2sin 2x+1,所以f π6+π6 =2sin π3+ 1= 3+1,f -π6+ π 6 =2sin -π3 +1=- 3+1,所 以f π6+ π 6 ≠-f -π6+π6 ,所以f x+π6 的图 象不关于原点对称,故B错误; 当x∈ 0,5π12 时,2x-π3∈ -π3,π2 ,所以函数f(x)= 2sin2x-π3 +1在 0,5π12 上单调递增,故C正确; 因为 x∈ π3, π 2 ,所 以2x- π3 ∈ π3,2π3 ,故 32 ≤ sin2x-π3 ≤1,∴f(x)∈[3+1,3],又2(3+1)>3, 即2f(x)min>f(x)max,所以对∀x1,x2,x3∈ π3, π 2 ,有 f(x1)+f(x3)>f(x2)成立,故D正确.故选ACD. 9.【答案】f(x)=sin 32x- 3π 4 +2 【解析】由题图可知,A+2=3,所以A=1,又12T= 5π 6- π 6= 2π 3,得 T= 4π 3,所以 w= 2π T = 3 2.由f 5π 6 =3,得 sin 32× 5π 6+φ +2=3,所以32×5π6+φ=π2+2kπ,即 φ=-3π4+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=- 3π 4,故函数的 解析式为f(x)=sin 32x- 3π 4 +2. 故答案为:f(x)=sin 32x- 3π 4 +2. 10.【答案】17 【解析】由f π3 =0,且f(x)在 π3,5π12 上有最大值,没有 最小值,可得ωπ3+ π 3=2kπ(k∈Z),所以ω=6k-1(k∈Z). 由f(x)在 π3, 5π 12 上有最大值,没有最小值,可得14× 2π ω< 5π 12- π 3≤ 3 4× 2π ω ,解得6<ω≤18,又ω=6k-1(k ∈Z),当k=3时,ω=17,则ω 的最大值为17. 故答案为:17. 11.【解析】(1)由题意,因为x∈ π6, 7π 6 ,所以2x-π3∈[0, 2π], 列表如下: x π6 5π 12 2π 3 11π 12 7π 6 2x-π3 0 π 2 π 3π 2 2π y=3sin2x-π3 0 3 0 -3 0 描点、连线,得出所要求作的图象如下: 6π (2)把y=sin x 的图象向右平移 π3 个单位,可得y= sinx-π3 的图象; 再把所得图象的横坐标变为原来的 1 2倍,纵坐标不变,可 得y=sin2x-π3 的图象; 再把所得图象的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变,可 得y=3sin2x-π3 的图象. 精英1号 学考笔记 数学 54 12.【解析】(1)由题意可知,12T= 5 4π- 1 4π=π,所以 T= 2π,ω=2πT=1, 又因为f(x)的图象过点 -π4,0 ,所以2sin -π4+ φ =0得φ=kπ+π4,k∈Z, 因为|φ|≤π2,所以φ= π 4,所以f(x)=2sin x+π4 . (2)由函数f(x)的图象过点 -π4,0 ,得 -π4ω+φ=k1π,k1∈Z,① 且f(x)关于直线l:x=π4对称,得 π 4ω+φ=k2π+ π 2,k2∈Z,② 由②—①得ω=2(k2-k1)+1,k2∈Z,k1∈Z, 所以ω 为正奇数, 又因为f(x)在 π42,2π21 上单调, 所以 1 2T= 1 2× 2π ω= π ω≥ 2 21π- π 42⇒ω≤14, 因为ω 为正奇数,取ω=13时, 由①得φ=k1π+13π4 ,k1∈Z, 又因为|φ|≤π2,所以φ= π 4, 此时,f(x)=2sin 13x+π4 ,直线x=π4是它图象的一 条对称轴, 又因为x∈ π42,2π21 ,13x+π4∈ 47π84,125π84 ⊆􀭠􀭡􀪁􀪁 π2,3π2􀭤􀭥􀪁􀪁 , 所以f(x)在 π42,2π21 上单调, 综上所述,ω 的最大值为13. 第11练 三角恒等变换 1.【答案】A 【解析】sin 50°cos 100°+cos 50°sin 100°=sin 150°= sin(180°-30°)=sin 30°=12.故选A. 2.【答案】A 【解 析 】原 式 = -sin 70°cos 70° cos225°-sin225°= - 1 2sin 140° cos 50° = - 1 2sin 40° sin 40° =- 1 2.故选A. 3.【答案】C 【解析】因为α,β∈ π2,π ,所以-β∈ -π,- π2 ,则 α-β∈ -π2,π2 , 因为sin α=255 ,sin(α-β)=- 3 5, 所 以 cos α= - 1- 255 2 = - 55,cos(α-β)= 1- -35 2=45, 则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α- β)=255 × 4 5- - 5 5 × -35 = 55.故选C. 4.【答案】A 【解析】由sin α+cos β= 52,得sin2α+cos2β+2sin αcos β= 5 4, 由cos α+sin β= 72,得cos2α+sin2β+2cos αsin β=74, 两式相加得2+2(sin αcos β+cos αsin β)=3,得sin(α+β)= 1 2.故选A. 5.【答案】B 【解析】因为f(x)的图象关于直线x=π3对称, 所以f(0)=f 2π3 ,即1= 32a-12,解得a= 3, 则f π4 = 3× 22+ 22= 6+ 22 .故选B. 6.【答案】D 【解析】因为不等式sin xcos x-cos2x+12+m≥0(m∈R) 对∀x∈􀭠􀭡 􀪁􀪁 -π4,π3 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 恒成立, 所以不等式-m≤ 22sin 2x-π4 对∀x∈􀭠􀭡􀪁􀪁 -π4,π3􀭤􀭥􀪁􀪁 恒 成立, 令f(x)= 22sin 2x-π4 ,因为x∈􀭠􀭡􀪁􀪁 - π4,π3􀭤􀭥􀪁􀪁 ,所以 2x-π4∈ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 -3π4,5π12 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,则sin 2x-π4 min=-1, 所以f(x)min=- 22,所以-m≤- 2 2,解得m≥ 2 2,所以 m 的最小值为 22,故选D. 7.【答案】BC 【解析】对于A,2sin 67.5°cos 67.5°=sin 135°= 22,不符合 题意;对于B,2cos2 π12-1=cos π 6= 3 2,符合题意;对于 C,1-2sin215°=cos 30°= 32,符 合 题 意;对 于 D, 2tan 22.5° 1-tan222.5°=tan 45°=1,不符合题意.故选BC. 8.【答案】BCD 【解析】由f(-x)+f(x)=2sin2ωx,ω>0,x∈R,f(-x)+ f(x)=0不恒成立,故不存在ω 使f(x)是奇函数,故 A 错误; 当ω=32时,由f(x)=sin2 3 2x+ 3sin 3 2x·cos 3 2x= sin 32x sin 3 2x+ 3cos 3 2x =0, 第10练 三角函数的图象与性质 19 第10练 三角函数的图象与性质 一、单选题 1.函数y=cos2x+π2 是 ( )………… A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 2.函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,-π≤ φ<π)的部分图象如图所示,则 ( )… A.ω=π2,φ=-π B.ω= π 2,φ=0 C.ω=π4,φ= π 4 D.ω= π 4,φ=- 3π 4 3.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意的x 都有f π3+x =f π3-x ,则f π3 = ( ) … ………………………………… A.3或0 B.-3或0 C.0 D.-3或3 4.将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗,再挂 在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗 下方放一块纸板,板的中间画一条直线作 为坐标系的横轴,把漏斗灌上细沙并拉离 平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸 板,这样就可以在纸板上得到一条曲线,它 就是简谐运动的图象.它表示了漏斗对平 衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐 标)变化的情况.如图所示,已知一根长为 l cm的线一端固定,另一端悬一个漏斗, 漏斗摆动时离开平衡位置的位移s(单位: cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s= 2cos 2 glt,其中g≈980 cm/s2,π≈3,则 估计线的长度应当是(精确到0.1 cm) ( ) … ………………………………… A.15.4 cm B.16.4 cm C.17.4 cm D.18.4 cm 5.已知函数y=2sinx-π6 记作φ,为了得 到函数y=2sin2x-π3 ,只需 ( )… A.先将φ 的横坐标缩短到原来的2倍,再 向右平移π6个单位 B.先将φ 的横坐标缩短到原来的12倍,再 向右平移π12个单位 C.先将φ 向右平移π12个单位,再将横坐标 缩短到原来的12 D.先将φ 向右平移π6个单位,再将横坐标 缩短到原来的2倍 6.设函数f(x)=2cos2ωx+π12 (ω>0),若 对于任意的实数x,f(x)≥f π3 恒成立, 则ω 的最小值为 ( )………………… A.0 B.1 C.1124 D. 11 8 20 二、多选题 7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工 具,因其经济又环保,至今还在农业生产中 得到使用(图1),明朝科学家徐光启在《农 政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理 (图2).一半径为2米的筒车水轮如图3所 示,水轮圆心O 距离水面1米,已知水轮每 60秒逆时针匀速转动一圈,如果当水轮上 点P 从水中浮现时(图3中点P0)开始计 时,则下列说法正确的是 ( )………… A.点P 再次进入水中时用时30秒 B.当水轮转动50秒时,点P 处于最低点 C.当水轮转动150秒时,点 P 距离水面 2米 D.点P 第二次到达距水面(1+ 3)米时用 时25秒 8.已知函数f(x)=2sin2x-π3 +1,则下列 说法正确的是 ( )…………………… A.f(x+π)=f(x) B.fx+π6 的图象关于原点对称 C.若0<x1<x2<5π12,则f(x1)<f(x2) D.对∀x1,x2,x3∈ π3, π 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁􀪁 ,有f(x1)+ f(x3)>f(x2)成立 三、填空题 9.如图是函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一部分,则 函数f(x)的解析式为 . 10.已知函数f(x)=2sinωx+π3 (ω>0), 若f π3 =0,且f(x)在 π3,5π12 上有最大 值,没有最小值,则ω的最大值为 . 四、解答题 11.已知函数y=3sin2x-π3 .(1)用五点作图在下面坐标系中作出上述 函数在􀭠􀭡 􀪁􀪁 π6, 7π 6 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 的图象. 请先列表,再 描点,图中每个小矩形的宽度为π12 (2)请描述上述函数图象可以由函数y= sin x 怎样变换而来? 12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0, |φ|≤π2 的图象过点 -π4,0 且关于直 线l:x=π4对称. (1)若直线l':x=5π4是函数f(x)的图象 中与直线l相邻的一条对称轴,请确 定函数f(x)的解析式; (2)若函数f(x)在区间 π42,2π21 上单调, 求ω 的最大值.