第9练 三角函数的概念与诱导公式-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

答案解析 51 即 x = lg 59 lg 0.9 = lg 5-lg 9 lg 9-lg 10 = (1-lg 2)-2lg 3 2lg 3-1 = 1-lg 2-2lg 3 2lg 3-1 ≈ 1-0.301-0.954 0.954-1 =5.54. 所以刚泡好的乌龙茶大约放置5.54 min能达到最佳饮用 口感. 12.【解析】(1)因为f(x)=log2(4x+1)-bx 是偶函数, 所以f(-x)=log2(4-x+1)+bx=log2(4x+1)-bx=f(x), 所以2bx=log2(4x+1)-log2(4-x+1)=log2 4 x+1 4-x+1=2x, 所以b=1. (2)设g(x)=log2(4x+1)-2x-sin πx2 =log2 4x+1 4x - sin πx2=log2 1+ 1 4 x -sin πx2, 因为y=1+ 14 x 是[0,1]上的单调递减函数,所以由复 合函数单调性可知y=log2 1+ 14 x 是[0,1]上的单 调递减函数,因为y=-sin πx2 是[0,1]上的单调递减函 数,所以g(x)是[0,1]上的单调递减函数, 又因为g(0)=1>0,g(1)=log25-3<0, 所以方程f(x)=x+sin πx2 在x∈[0,1]有唯一的实数 根x0, 即g(x0)=log2 1+ 14 x0 -sin πx02 =0, 所以log2 1+ 14 1 -sin πx02 <0, 即sin πx02 >log2 5 4. 方程f(x)=x+sin πx2在x∈[0,1]有唯一的实数根x0, 且2sin πx0 2 >54得证. 第9练 三角函数的概念与诱导公式 1.【答案】D 【解析】由 角 度 制 与 弧 度 制 的 互 化 公 式,可 得-116π= -330°, 与角-330°终边相同的角的集合为 A={α|α=-330°+ k·360°,k∈Z}, 令k=2,可得α=390°, 所以与角α=-330°终边相同的角是α=390°.故选D. 2.【答案】D 【解析】由图知, 角α的取值集合为 α α=2kπ+3π4,k∈Z ∪ α α= 2kπ-π4,k∈Z = αα=(2k+1)π-π4,k∈Z ∪ α α= 2kπ-π4,k∈Z = αα=kπ-π4,k∈Z .故选D. 3.【答案】C 【解析】由 函 数 f(x)= 1-2cos x +lnsin x- 22 有 意义, 则满足 1-2cos x≥0 sin x- 22>0 ,其中x∈[0,2π],即 cos x≤12sin x> 22􀮠􀮢􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,其 中x∈[0,2π], 解得 π 3≤x< 3π 4,即函数f(x)的定义域为 π 3, 3π 4 .故 选C. 4.【答案】A 【解 析 】f (α ) = sin(2π-α)·cos π2+α cos -π2+α ·tan(π+α) = -sin α·(-sin α) sin α·tan α = sin2α sin α·sin α cos α =cos α,则 f π3 = cos π3= 1 2.故选A. 5.【答案】A 【解析】因为1-2sin αcos α cos2α-sin2α = cos2α+sin2α-2sin αcos α cos2α-sin2α = (cos α-sin α)2 (cos α+sin α)(cos α-sin α)= cos α-sin α cos α+sin α= 1-tan α 1+tan α= 1 2,解得tan α=13.故选A. 6.【答案】C 【解析】f(x)=sin x+cos x+sin 2x=sin x+cos x+ 2sin xcos x, 令t=sin x+cos x= 2sinx+π4 ,所以t∈[- 2,2], 则t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x, 所以2sin xcos x=t2-1,所以原函数可化为y=t2+t-1, t∈[- 2,2], 对称轴为t=-12,所以当t= 2时,y=t2+t-1取得最 大值, 所以函数的最大值为(2)2+ 2-1= 2+1,即f(x)= sin x+cos x+sin 2x 的最大值为1+ 2.故选C. 7.【答案】CD 【解析】对于A,经过30分钟,钟表的分针转过-π弧度,不 是π弧度,故A错误; 对于B,1°化成弧度是 π180 rad,故B错误; 对于C,由sin θ>0,可得θ为第一、第二及y轴正半轴上的角; 由cos θ<0,可得θ为第二、第三及x 轴负半轴上的角. 取交集可得θ是第二象限角,故C正确; 精英1号 学考笔记 数学 52 对于D,若θ是第二象限角,则2kπ+π2<θ<2kπ+π,所以 kπ+π4< θ 2<kπ+ π 2(k∈Z), 当k=2n(n∈Z)时,则2nπ+π4< θ 2<2nπ+ π 2(n∈Z), 所以 θ 2为第一象限的角, 当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+5π4< θ 2<2nπ+ 3π 2(n∈Z), 所以 θ 2为第三象限的角, 综上,θ2为第一或第三象限角,故D正确.故选CD. 8.【答案】ABC 【解析】对于A,sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,故A正确; 对于B,cosA+B2 =cos π2-C2 =sin C2,故B正确; 对于C,sin(2A+2B)+sin 2C=sin[2(A+B)]+sin 2C= sin[2(π-C)]+sin 2C=sin(2π-2C)+sin 2C=-sin 2C+ sin 2C=0,故C正确; 对于D,cos(2A+2B)+cos 2C=cos[2(A+B)]+cos 2C= cos[2(π-C)]+cos 2C=cos(2π-2C)+cos 2C=cos 2C+ cos 2C=2cos 2C,故D错误.故选ABC. 9.【答案】75 【解析】因为sin x+cos x=15, 所以(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=125, 所以2sin xcos x=-2425, 所以(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=4925, 因为 π 2<x<π,所以sin x-cos x>0, 所以sin x-cos x= 4925= 7 5. 故答案为:75. 10.【答案】36 【解 析】f (x)= 1cos2x + 25 sin2x = sin2x+cos2x cos2x + 25(sin2x+cos2x) sin2x =1+ sin2x cos2x+25+ 25cos2x sin2x =26+ sin2x cos2x+ 25cos2x sin2x ≥26+2 sin2x cos2x· 25cos2x sin2x =36,当且仅 当 sin2x cos2x= 25cos2x sin2x ,即tan 2x=5时,等号成立,故函数 f(x)的最小值为36.故答案为:36. 11.【解 析 】(1)2cos 2α-1 1-2sin2α = 2cos2α-cos2α-sin2α cos2α+sin2α-2sin2α = cos2α-sin2α cos2α-sin2α=1. (2)(1+tan2α)cos2α=cos 2α+sin2α cos2α ·cos 2α=1. (3)tan2α-sin2α-tan2αsin2α=tan2α(1-sin2α)-sin2α= sin2α cos2α·cos 2α-sin2α=0. 12.【证明】左边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α=1+sin2α+ cos2α-2sin αcos α+2(cos α-sin α)=1+2(cos α-sin α)+ (cos α-sin α)2=(1-sin α+cos α)2=右边. 所以原等式成立. 第10练 三角函数的图象与性质 1.【答案】A 【解析】∵函数y=cos2x+π2 =-sin 2x, ∴函数y=cos2x+π2 =-sin 2x 为最小正周期为π的 奇函数.故选A. 2.【答案】D 【解析】由已知函数f(x)的最小正周期T 满足T4=5-3= 2,∴T=8,∴ω=2πT = π 4.又 函 数 f(x)过 点(3,0), ∴sin π4×3+φ =0,∴π4×3+φ=kπ,∴φ=kπ-3π4, k∈Z,∵-π≤φ<π,∴φ=-3π4或 π 4,又函数f(x)过点 (5,1),∴φ=-3π4.故选D. 3.【答案】D 【解析】∵对任意实数x 都有f π3+x =f π3-x 恒 成立, ∴x=π3是f(x)的一条对称轴,∴当x= π 3时,f(x)取得 最大值3或最小值-3.故选D. 4.【答案】C 【解析】由s=2cos 2 glt,得T= 2π 2 gl = π g l . 由函数的图象可知函数的周期为0.4, 所以 π g l =0.4,即l=0.16gπ2 ≈ 0.16×980 32 ≈17.4 cm. 故选C. 5.【答案】B 【解析】如果将y=2sinx-π6 先平移后伸缩,则为了得 到函数y=2sin2x-π3 ,需要先向右平移π6个单位,再 将横坐标缩短到原来的 1 2倍;如果先伸缩后平移,则为了 得到函数y=2sin2x-π3 ,需要先将横坐标缩短到原来 的 1 2倍,再向右平移 π 12个单位.故选B. 6.【答案】D 【解析】∵函数f(x)=2cos2ωx+π12 (ω>0),若对于任 意的实数x,f(x)≥f π3 恒成立, ∴f π3 是函数的最小值,故2ω×π3+π12=2kπ+π,k∈ Z,即ω=3k+118,k∈Z, 则令k=0,可得ω 的最小值为118.故选D. 第9练 三角函数的概念与诱导公式 17 第9练 三角函数的概念与诱导公式 一、单选题 1.下列角中与-116π终边相同的角是 ( ) …… …………………………………… A.-30° B.-40° C.20° D.390° 2.若角α的终边在直线y=-x 上,则角α的 取值集合为 ( )……………………… A.αα=2kπ-π4,k∈Z B.αα=2kπ+3π4,k∈Z C.αα=kπ-3π4,k∈Z D.αα=kπ-π4,k∈Z 3.在[0,2π]内函数f(x)= 1-2cos x+ lnsin x- 22 的定义域是 ( )……… A.π4, π 3 􀭠 􀭡 􀪁􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁􀪁 B.3π4, 5π 3 􀭠 􀭡 􀪁􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁􀪁 C.π3, 3π 4 􀭠 􀭡 􀪁􀪁􀪁 D.π3,3π4􀭠􀭡􀪁􀪁􀪁 􀭤􀭥􀪁􀪁􀪁 4.已知f(α)= sin(2π-α)·cosπ2+α cos-π2+α ·tan(π+α),则 f π3 = ( )…………………………… A.12 B. 2 2 C.32 D.- 1 2 5.已知1-2sin αcos α cos2α-sin2α = 1 2,则tan α= ( ) …… …………………………………… A.13 B. 1 2 C.13或1 D. 1 2或1 6.函数f(x)=sin x+cos x+sin 2x 的最大 值为 ( )……………………………… A.1 B.1- 2 C.1+ 2 D.3 二、多选题 7.下列说法正确的有 ( )……………… A.经过30分钟,钟表的分针转过π弧度 B.1°=180π rad C.若sin θ>0,cos θ<0,则θ 为第二象 限角 D.若θ 为第二象限角,则θ2为第一或第三 象限角 8.在△ABC 中,下列关系式恒成立的有 ( ) … …………………………………… A.sin(A+B)=sin C B.cosA+B2 =sin C2 C.sin(2A+2B)+sin 2C=0 D.cos(2A+2B)+cos 2C=0 三、填空题 9.已知π2<x<π,sin x+cos x=15,则sin x- cos x= . 10.函数f(x)= 1cos2x+ 25 sin2x的最小值为 . 18 四、解答题 11.化简:(1)2cos 2α-1 1-2sin2α; (2)(1+tan2α)cos2α; (3)tan2α-sin2α-tan2αsin2α. 12.求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+ cos α)2.