第7练 指数函数、对数函数和幂函数-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

第7练 指数函数、对数函数和幂函数 13 第7练 指数函数、对数函数和幂函数 一、单选题 1.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)= logax,g(x)=a-x,h(x)=xa 的图象可能 是 ( )………………………………… A B C D 2.已 知 a=log0.20.5,b=log0.50.2,c= 0.50.2,则a,b,c的大小关系为 ( )…… A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 3.函数f(x)= 3 x-3-x |x+2|+|x-2|的大致图象 是 ( )………………………………… A B C D 4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3 000英里 游回它们出生的地方产卵繁殖.研究鲑鱼 的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可 以表示为v=12log3 O 100,其中O 表示鲑鱼 的耗氧量的单位数.则该鲑鱼游速为2 m/s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为 ( ) … ………………………………… A.8 100 B.900 C.81 D.9 5.已知函数f(x)= 1ex+1- 1 2,则关于t的 不等式f(ln t)+2fln 1t >0的解集为 ( )………………………………… A.(0,+∞) B.0,12 C.(0,1) D.(1,+∞) 6.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x, 若f(x1)=g(x2)=t,则x1+x2+2-t2 的最大值为 ( )……………………… A.94 B.2 C.2e-12 D. 3e-1 e2 二、多选题 7.已知2m=3n=6,则下列说法正确的是 ( ) … …………………………………… A.m+n=mn B.m2+n2=8 C.m+n>4 D.(m-1)2+(n-1)2>2 8.设定义在 R上的函数f(x)满足f(x)+ f(x+2)=0,f(x+1)为奇函数,当x∈ [1,2]时,f(x)=a·2x+b,若f(0)=-1, 则 ( )………………………………… A.f(1)=0 B.a+b=-12 C.f(log2 4)=-12 D.f(x+2)为偶函数 三、填空题 9.计算log3 27+lg 25+lg 4-7log72+log38· log433= . 14 10.若关于x 的不等式2logax>(x-1)2 恰 有1个 整 数 解,则 实 数a 的 取 值 范 围 是 . 四、解答题 11.已知函数f(x)=ln mxx+1-1 (其中m∈ R且m≠0)是奇函数. (1)求m 的值; (2)若对任意的x∈[ln 2,ln 4],都有不等 式f(ex)-x+ln k≥0恒成立,求实 数k的取值范围. 12.已知函数f(x)=log2(2x+1)-ax. (1)若函数f(x)为定义域上的偶函数,求 实数a 的值; (2)当a=1时,对∀x∈(-∞,1),不等式 f(x)>log2(m·2x-3m)恒成立,求 实数m 的取值范围. 答案解析 47 令f(x)=4,解得x=2或x=-2-22,令f(x)=-4, 解得x=-2或x=2+22, 由图象可知,要使值域为[-4,4],则|m-n|max=|-2- 22-(2+22)|=4+42. 故答案为:4+42. 11.【解析】(1)由f(x)为偶函数,得f(-x)=f(x), ∴ 12 |-x-m|= 12 |x-m|,即|-x-m|=|x-m|, ∴m=0. (2)由题意,在x1≥2>x2 上都有q(x1)=q(x2), ∴p(x)在x≥2上的值域包含于2f(x)在x<2上的 值域, ∴当m≤0时,在x≥2上p(x)≤0,而在x<2上2f(x)= 2· 12 |x-m|>0,不合题意; 当0<m≤2时,在x≥2上p(x)= mx2x2+8= m 2x+8x ≤ m 2 2x·8x =m8,当且仅当x=2时,等号成立,即p(x)∈ 0,m8 ,而在x<2上2f(x)=2· 12 |x-m|∈(0,2], ∴m8≤2,即m≤16,则0<m≤2; 当m>2时,同样p(x)∈ 0,m8 ,而在x<2上2f(x)= 2· 12 m-x∈(0,23-m),又当m=4时有m8=23-m=12, ∴m8<23-m,可得2<m<4. 综上,m∈(0,4). 12.【解析】(1)当a=0时,f(x)=|x2|+|x|,定义域为 [-1,1],且对任意x∈[-1,1],有f(-x)=|(-x)2|+ |-x|=|x2|+|x|=f(x)恒成立,所以函数f(x)为 偶数. (2)当a≤0时,因为x∈[-1,1],所以f(x)=|x2-a|+ |a2-x|=x2-a+|a2-x|≤x2-a+|a2|+|x|=a2- a+|x|+x2≤a2-a+2,得证. (3)①当a≤0时,由(2)知f(x)≤a2-a+2, 又f(x)≤4恒成立,则a2-a+2≤4,解得-1≤a≤2, 又因为a≤0,所以-1≤a≤0; ②当0<a<1时,因为x∈[-1,1],所以f(x)=|x2-a|+ |a2-x|≤|x2|+|a2|+|x|≤4恒成立,故0<a<1; ③当a≥1时,因为x∈[-1,1],所以f(x)=|x2-a|+ |a2-x|=a-x2+a2-x=- x+12 2+a2+a+14, 又f(x)≤4恒成立,则当x=12时,f(x)max=a2+a+ 1 4≤4,解得- 5 2≤a≤ 3 2, 又因为a≥1,所以1≤a≤32. 综上,若f(x)≤4恒成立,实数a的取值范围为 -1,32 . 第7练 指数函数、对数函数和幂函数 1.【答案】C 【解析】因为在同一坐标系中,所以函数 f(x)=logax, g(x)=a-x= 1a x 的单调性一定相反,且图象均不过原 点,故排除A,D; 在B,C中,过原点的图象为幂函数h(x)=xa 的图象,且由 图象可知0<a<1, 所以f(x)=logax 单调递减,g(x)=a-x= 1a x 单调递 增,故排除B,C正确.故选C. 2.【答案】A 【解析】由对数的运算性质,可得0=log0.21<log0.20.5< log0.2 0.2=12,可得0<a< 1 2, 且b=log0.50.2>log0.50.25=2, 又由指数函数的性质,可得12=0.51<0.50.2<0.50=1, 所以b>c>a.故选A. 3.【答案】A 【解析】因为f(x)= 3 x-3-x |x+2|+|x-2|的定义域为R, 且f(-x)= 3 -x-3x |-x+2|+|-x-2|= 3-x-3x |x+2|+|x-2|= -f(x), 所以函数f(x)为奇函数,故图象关于原点成中心对称,故 B,C错误; 当x 趋向正无穷时,显然f(x)= 3 x-3-x |x+2|+|x-2|的分子 增长快于分母增长,y 趋向正无穷,故A正确,D错误. 故选A. 4.【答案】C 【解析】设鲑鱼游速为2 m/s时的耗氧量为O1,则 2=12log3 O1 100,解得O1=8 100, 设鲑鱼游静止时的耗氧量为O2,则 0=12log3 O2 100,解得O2=100, 所以 O1 O2= 8 100 100 =81.故选C. 5.【答案】D 【解析】f(-x)= 1e-x+1- 1 2= ex ex+1- 1 2, 则f(-x)+f(x)= e x ex+1- 1 2+ 1 ex+1- 1 2=1-1=0, 由ln t+ln 1t=ln t-ln t=0,故f(ln t)+fln 1t =0, 故f(ln t)+2fln 1t =fln 1t , 精英1号 学考笔记 数学 48 又f(x)= 1ex+1- 1 2,y=ex+1随x 增大而增大, 故f(x)在R上单调递减,又f(0)=12- 1 2=0, 故f(ln t)+2fln 1t >0可转化为fln 1t >f(0), 则有ln 1t<0,即0< 1 t<1,即t>1,故t∈(1,+∞). 故选D. 6.【答案】A 【解析】因为函数y=ex,y=x 均为 R上的增函数,所以函 数f(x)=ex+x 为R上的增函数, g(x)=x+ln x=eln x+ln x=f(ln x),因为f(x1)= g(x2)=f(ln x2)=t,其中t∈R, 所以x1=ln x2,故x1+x2+2-t2=ln x2+x2+2-t2= t+2-t2=- t-12 2+94≤94, 当且仅当t=12时等号成立,故x1+x2+2-t2 的最大值 为 9 4.故选A. 7.【答案】ACD 【解析】因为2m=3n=6,所以m=log26>0,n=log36>0, 即 1 m+ 1 n=log62+log63=1,故m+n=mn(m≠n),故 A 正确; 因为m>0,n>0,m+n=mn< m+n2 2, 所以m+n>4,故C正确; 16<(m+n)2=m2+n2+2mn<m2+n2+2 m 2+n2 2 = 2(m2+n2),故m2+n2>8,故B错误; (m-1)2+(n-1)2=m2+1-2m+n2+1-2n=m2+n2- 2(m+n)+2=m2+n2-2mn+2=(m-n)2+2>2成立, 故D正确.故选ACD. 8.【答案】ABD 【解析】对于 A,因为f(x+1)为奇函数,所以f(x+1)+ f(-x+1)=0, 即f(x)关于(1,0)对称,又f(x)是定义在 R上的函数,则 f(1)=0,故A正确; 对于B,由f(0)=-1可得f(2)=1,则有 2a+b=04a+b=1 ⇒ a=12 b=-1 ⇒a+b=-12,故B正确; 对于C,因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)= f(x),即f(x)的周期为4; 因为4<log224<5⇒0<log224-4<1,即0<log2 32<1, 所以f(log224)=flog232 ; 因为f(x)关于(1,0)对称,所以f(x)=-f(2-x), 则flog232 =-f 2-log232 =-f log283 =-13, 故C错误; 对于D,由f(x+2)=-f(x),f(2-x)=-f(x)得 f(x+2)=f(2-x),即f(x+2)为偶函数,故 D正确. 故选ABD. 9.【答案】2 【解析】log3 27+lg 25+lg 4-7log72+log38·log433 =12log327+(lg 25+lg 4)-2+log323·log223 1 3 =12log333+lg 100-2+3log32×16log23 =32+2-2+ 1 2=2.故答案为:2. 10.【答案】[3,4) 【解析】当0<a<1时,作出y=2logax 和y=(x-1)2 的 图象, 由图象可知,2logax>(x-1)2 没有整数解,不符合题意; 当a>1时,作出y=2logax 和y=(x-1)2 的图象, 因为2logax>(x-1)2 恰有1个整数解, 所以x=2是不等式的整数解, 所以 2loga2>(2-1)2 2loga3≤(3-1)2 ,解得 3≤a<4, 即实数a的取值范围是[3,4). 故答案为:[3,4). 11.【解析】(1)因为函数f(x)=ln mxx+1-1 (其中m∈R且 m≠0)是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 即ln -mx-x+1-1 =-ln mxx+1-1 恒成立, 也即ln -mx+x-1-x+1 =ln x+1 mx-x-1恒成立, 所以 -mx+x-1 -x+1 = x+1 mx-x-1恒成立, 整理得x2=(m-1)2x2 恒成立,∴(m-1)2=1,解得 m=0(舍去)或m=2, 当m=2时,f(x)=ln 2xx+1-1 =ln x-1x+1, 由 x-1 x+1>0,可得x<-1或x>1,关于原点对称, f(-x)=ln -x-1-x+1=ln x+1 x-1=-ln x-1 x+1=-f(x),满 足f(x)是奇函数, 所以m=2. (2)对任意的x∈[ln 2,ln 4],都有不等式f(ex)-x+ ln k≥0恒成立, 答案解析 49 ∴ln e x-1 ex+1-x+ln k≥0在x∈[ln 2,ln 4]上恒成立,即 ln e x-1 ex+1-ln ex+ln k≥0在x∈[ln 2,ln 4]上恒成立, 也即k≥e x(ex+1) ex-1 在x∈[ln 2,ln 4]上恒成立, 令t=ex-1,t∈[1,3], ∴e x(ex+1) ex-1 = (t+1)(t+2) t =t+ 2 t+3, 令g(t)=t+2t+3,t∈[1,3], 根据对勾函数的性质可得g(t)在[1,2]上单调递减,在 (2,3]上单调递增, 又g(1)=6,g(3)=203,所以g(t)在[1,3]上的最大值为 20 3,∴k≥ 20 3, 即实数k的取值范围是 203,+∞ . 12.【解析】(1)f(x)的定义域为x∈R,由题知f(-x)=f(x), 即log2(2-x+1)+ax=log2(2x+1)-ax, 化简得2ax=log2 2 x+1 2-x+1=log22 x=x, 即2ax=x 对任意x∈R恒成立,得a=12. (2)当a=1时,f(x)=log22 x+1 2x , 因为不 等 式log22 x+1 2x >log2(m·2 x -3m)对∀x∈ (-∞,1)恒成立, 所以m(2x-3)>0①,且2 x+1 2x >m·(2 x-3)②对∀x∈ (-∞,1)恒成立. 由①得m<0. 由②得m> 2 x+1 2x(2x-3)对∀x∈(-∞,1)恒成立, 令t=2x+1∈(1,3), 则g(t)= t(t-1)(t-4)= t t2-5t+4= 1 t+4t-5 ≤-1, 当且仅当t=2时g(t)max=g(2)=-1,所以m>-1, 综上,m 的取值范围是(-1,0). 第8练 函数的应用 1.【答案】C 【解析】f(3)=log33-8+2×3=-1<0,f(4)=log34- 8+2×4=log34>0, 又因为函数y=log3x,y=2x-8在区间(0,+∞)上都是 增函数, 所以f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,所以其零点一定位 于区间(3,4).故选C. 2.【答案】D 【解析】令f(x)= 11-x+ln x=0. 从而有ln x= 1x-1,此方程的解即为函数f(x)的零点. 在同一坐标系中作出函数y=ln x 与y= 1x-1的图象,如 图所示. 由图象易 知, 1 x1-1>ln x1,从 而ln x1- 1x1-1<0,故 ln x1+ 11-x1<0,即f(x1)<0. 同理f(x2)>0.故选D. 3.【答案】C 【解析】作出散点图,由图可知函数模型满足:①定义域为 [0,120];②在定义域单调递增且单位增长率变快;③函数 图象过原点. 对于A,函数Q=0.5v+a在定义域内单调递减,故A不符 合题意; 对于B,函数Q=av+b的单位增长率恒定不变,故B不符 合题意; 对于C,Q=av3+bv2+cv满足上述三点,故C符合题意; 对于D,函数Q=klogav+b在v=0处无意义,故D不符合 题意.故选C. 4.【答案】A 【解析】对于B,当x>1时,f(x)=e x-e-x 3-4x ,易知ex-e-x>0, 3-4x<0,则f(x)<0,不满足图象,故B不符合题意; 对 于 C,f(x)=e x+e-x 4|x|-3,定 义 域 为 -∞,- 3 4 ∪ -34, 3 4 ∪ 34,+∞ , 又f(-x)= e -x+ex 4|-x|-3= ex+e-x 4|x|-3=f(x),则f(x)的图 象关于y 轴对称,故C不符合题意; 对于D,当x>1时,f(x)= x|x|-1= x x-1=1+ 1 x-1, 由反比例函数的性质可知,f(x)在(1,+∞)上单调递减, 故D不符合题意; 检验A,f(x)=e x-e-x 4|x|-3满足图中性质,故A符合题意. 故选A. 5.【答案】C 【解析】由题意可得y=ma5=4m5 ,即a5= 4 5,解得a= 5 4 5 ,mat= m 8,即 5 4 5 t=18,两边取对数得tlg 5 45 = lg 18,所以 t 5(lg 8-lg 10)=-lg 8,即t5(3lg 2-1)= -3lg 2,解得t=-15lg 2 3lg 2-1= -4.5 -0.1=45.故选C.