第6练 函数的性质-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

精英1号 学考笔记 数学 46 第6练 函数的性质 1.【答案】D 【解析】因为f(x)=x2-4|x|+3= x 2-4x+3,x≥0 x2+4x+3,x<0 , 作出f(x)的图象,如图所示, 由图象可知,函数f(x)的单调递增区间是(-2,0)和(2, +∞).故选D. 2.【答案】A 【解析】因f(x)= x 2-4x,x≥0 g(x),x<0 是奇函数, 故g(-2)=f(-2)=-f(2)=-(22-4×2)=4.故选A. 3.【答案】B 【解析】由函数 f(x)= ax 2-2x-a,x≥1 (a+3)x-1,x<1 在 R 上 单 调 递减, 根据 分 段 函 数 单 调 性 的 判 定 方 法,则 满 足 a<0 且 a+3<0 1 a≤1 a+2≥a-2-a 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得-4≤a<-3, 所以实数a的取值范围为[-4,-3).故选B. 4.【答案】D 【解析】f(x)=12x2-x+5的对称轴为x=1,则f(1)= 1 2×12-1+5= 9 2≤4m,解得m≥ 9 8, 则f(x)在[m,n]上单调递增, 所以 f (m)=4m f(n)=4n ,即 12m2-m+5=4m1 2n2-n+5=4n 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,所以 m,n 为方 程 1 2x2-x+5=4x,即x2-10x+10=0的两个根,所以 m+n=10.故选D. 5.【答案】B 【解析】因为f(x)是定义在 R 上的奇函数,令 F(x)= xf(x),则F(-x)=-xf(-x)=xf(x)=F(x),所以 F(x)是定义在R上的偶函数, 且F(x)在[0,+∞)上单调递增,f(3)=3, 由题意不妨设0≤x1<x2,则F(x1)-F(x2)=x1f(x1)- x2f(x2)<0, 所以F(x)在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递 减,F(3)=3f(3)=9,(x+2)f(x+2)<9⇔F(x+2)< F(3)⇔|x+2|<3,解得-5<x<1, 即关于x 的不等式(x+2)f(x+2)<9的解集为(-5,1). 故选B. 6.【答案】B 【解析】当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),由f(x+1)= 2f(x),得f(x)=2f(x-1), 即函数f(x)的图象每向右平移1个单位,图象上对应点的 纵坐标变为原来的2倍,如图, 当2<x≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3), 令4(x-2)(x-3)=-89,整理得9x2-45x+56=0,解 得x1=73,x2= 8 3, 观察 图 象 知,当 m≤ 73 时,对 任 意 x∈(-∞,m]时, f(x)≥-89成立, 所以m 的取值范围是 -∞,73 .故选B. 7.【答案】BCD 【解析】因为f(x)是定义在 R上的偶函数,g(x)是定义在 R上的奇函数,且f(x),g(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以f(1)<f(2),g(2)>g(1)>g(0)=0,f(x)在(-∞, 0)上单调递减,g(x)在R上单调递增, 对于A,因为f(1),f(2)的正负无法确定,若f(1)<f(2)< 0,则f(f(1))>f(f(2)),故A错误; 对于B,由g(2)>g(1)>g(0)=0,f(x)在[0,+∞)上单 调递增,则f(g(1))<f(g(2)),故B正确; 对于C,由 f(1)<f(2),g(x)在 R 上 单 调 递 增,则 g(f(1))<g(f(2)),故C正确; 对于D,由 g(1)<g(2),g(x)在 R 上 单 调 递 增,则 g(g(1))<g(g(2)),故D正确.故选BCD. 8.【答案】BCD 【解析】因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+ 2),又因为f(x)是奇函数,所以f(-x+2)=-f(x-2), 所以f(x+2)=-f(x-2),所以f(x+4)=-f(x),所 以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的最小正周 期为8,故A错误; 又当x∈[0,2]时,f(x)=x2+2x,所以f(-3)=f(5)= -f(1)=-3,故B正确; f(2 023)=f(7+252×8)=f(7)=f(-1)=-f(1)= -3,故C正确; f(2 025)=f(1+253×8)=f(1)=3,故 D 正 确. 故选BCD. 9.【答案】-x(1+x) 【解析】设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-x(1+x), ∵函数f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-x(1+x)(x<0). 故答案为:-x(1+x). 10.【答案】4+42 【解析】由f(-x)=-f(x)对于一切x∈R 恒成立得 f(1)=-f(-1),代入得-1+a=-(1-4)⇒a=4,由奇 函数知f(0)=0,所以当x≥0时,f(x)=-x2+4x= -(x-2)2+4,当x<0时,f(x)=x2+4x,画出f(x)的 图象,如图, 答案解析 47 令f(x)=4,解得x=2或x=-2-22,令f(x)=-4, 解得x=-2或x=2+22, 由图象可知,要使值域为[-4,4],则|m-n|max=|-2- 22-(2+22)|=4+42. 故答案为:4+42. 11.【解析】(1)由f(x)为偶函数,得f(-x)=f(x), ∴ 12 |-x-m|= 12 |x-m|,即|-x-m|=|x-m|, ∴m=0. (2)由题意,在x1≥2>x2 上都有q(x1)=q(x2), ∴p(x)在x≥2上的值域包含于2f(x)在x<2上的 值域, ∴当m≤0时,在x≥2上p(x)≤0,而在x<2上2f(x)= 2· 12 |x-m|>0,不合题意; 当0<m≤2时,在x≥2上p(x)= mx2x2+8= m 2x+8x ≤ m 2 2x·8x =m8,当且仅当x=2时,等号成立,即p(x)∈ 0,m8 ,而在x<2上2f(x)=2· 12 |x-m|∈(0,2], ∴m8≤2,即m≤16,则0<m≤2; 当m>2时,同样p(x)∈ 0,m8 ,而在x<2上2f(x)= 2· 12 m-x∈(0,23-m),又当m=4时有m8=23-m=12, ∴m8<23-m,可得2<m<4. 综上,m∈(0,4). 12.【解析】(1)当a=0时,f(x)=|x2|+|x|,定义域为 [-1,1],且对任意x∈[-1,1],有f(-x)=|(-x)2|+ |-x|=|x2|+|x|=f(x)恒成立,所以函数f(x)为 偶数. (2)当a≤0时,因为x∈[-1,1],所以f(x)=|x2-a|+ |a2-x|=x2-a+|a2-x|≤x2-a+|a2|+|x|=a2- a+|x|+x2≤a2-a+2,得证. (3)①当a≤0时,由(2)知f(x)≤a2-a+2, 又f(x)≤4恒成立,则a2-a+2≤4,解得-1≤a≤2, 又因为a≤0,所以-1≤a≤0; ②当0<a<1时,因为x∈[-1,1],所以f(x)=|x2-a|+ |a2-x|≤|x2|+|a2|+|x|≤4恒成立,故0<a<1; ③当a≥1时,因为x∈[-1,1],所以f(x)=|x2-a|+ |a2-x|=a-x2+a2-x=- x+12 2+a2+a+14, 又f(x)≤4恒成立,则当x=12时,f(x)max=a2+a+ 1 4≤4,解得- 5 2≤a≤ 3 2, 又因为a≥1,所以1≤a≤32. 综上,若f(x)≤4恒成立,实数a的取值范围为 -1,32 . 第7练 指数函数、对数函数和幂函数 1.【答案】C 【解析】因为在同一坐标系中,所以函数 f(x)=logax, g(x)=a-x= 1a x 的单调性一定相反,且图象均不过原 点,故排除A,D; 在B,C中,过原点的图象为幂函数h(x)=xa 的图象,且由 图象可知0<a<1, 所以f(x)=logax 单调递减,g(x)=a-x= 1a x 单调递 增,故排除B,C正确.故选C. 2.【答案】A 【解析】由对数的运算性质,可得0=log0.21<log0.20.5< log0.2 0.2=12,可得0<a< 1 2, 且b=log0.50.2>log0.50.25=2, 又由指数函数的性质,可得12=0.51<0.50.2<0.50=1, 所以b>c>a.故选A. 3.【答案】A 【解析】因为f(x)= 3 x-3-x |x+2|+|x-2|的定义域为R, 且f(-x)= 3 -x-3x |-x+2|+|-x-2|= 3-x-3x |x+2|+|x-2|= -f(x), 所以函数f(x)为奇函数,故图象关于原点成中心对称,故 B,C错误; 当x 趋向正无穷时,显然f(x)= 3 x-3-x |x+2|+|x-2|的分子 增长快于分母增长,y 趋向正无穷,故A正确,D错误. 故选A. 4.【答案】C 【解析】设鲑鱼游速为2 m/s时的耗氧量为O1,则 2=12log3 O1 100,解得O1=8 100, 设鲑鱼游静止时的耗氧量为O2,则 0=12log3 O2 100,解得O2=100, 所以 O1 O2= 8 100 100 =81.故选C. 5.【答案】D 【解析】f(-x)= 1e-x+1- 1 2= ex ex+1- 1 2, 则f(-x)+f(x)= e x ex+1- 1 2+ 1 ex+1- 1 2=1-1=0, 由ln t+ln 1t=ln t-ln t=0,故f(ln t)+fln 1t =0, 故f(ln t)+2fln 1t =fln 1t , 第6练函数的性质 第6练 函数的性质 一、单选题 6.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x十1) 1.函数f(x)=x2一4|x|+3的单调递增区 2f(x),且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x-1), 间是 若对任意x∈(-©，m],都有f(x)≥-8 A.(-∞，-2) B.(一∞，-2)和(0,2) 则m的取值范围是……( C.(-2,2) D.(-2,0)和(2，+∞) x2-4.x,x≥0 2.设函数f(x)= 若f(x)为 C.( g(x),x<0 二、多选题 奇函数，则g(一2)= 7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x) A.4 B.2 是定义在R上的奇函数，且f(x),g(x)在 C.-2 D.-4 [0,十0∞)上单调递增，则…() a.x2-2x-a,x≥1 3.已知函数f(x)= 在 A.f(f(1)<f(f(2)) (a+3)x-1,x<1 B.f(g(1)<f(g(2)) R上单调递减，则实数a的取值范围是… C.g(f(1)<g(f(2) D.g(g(1))<g(g(2)) A.(-∞，-3) B.[-4.-3) 8.已知f(x)是R上的奇函数，f(x+2)是R C.[-4,0) D.(-4,0) 上的偶函数，且当x∈[0,2]时，f(x)= 4.已知函数)--+5在[mm]上 x”十2x,则下列说法正确的是…() 的值域为[4m,4n],则m十n=…( A,f(x)的最小正周期为4 B.f(-3)=-3 A.4 B.5 C.8 D.10 C.f(2023)=-3 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)=3, D.f(2025)=3 对Vx1,x2∈[0，+o∞)，且x1≠x2有 三、填空题 x1·fx)-xe·fx>0,则关于x的 9.已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时， TI-T2 f(x)=x(1一x),则当x<0时，该函数的 不等式(x+2)f(x十2)<9的解集为… 解析式为f(x)= x2十4x,x<0 10.已知f(x)= 且f(-x)= A.(-∞，1) -x2+a.x,x> B.(-5,1) 一f(x)对于一切x∈R恒成立，f(x)在 C.(-∞，-5)U(1,+∞) [m,n]上的值域为[一4,4]，则m一n的 D.(-o∞，-1)U(1,十) 最大值为 精求？ 学考笔记数学 四、解答题 12.设a∈R,已知函数f(x)=|x2-a|十 1.已知函数fx)=()”,其中m∈R a2-xl,x∈[-1,1]. (1)当a=0时，判断函数f(x)的奇偶性： (1)当函数f(x)为偶函数时，求m的值： (2)当a≤0时，证明：f(x)≤a2-a+2: (2)设函数p(x)= 2x+8'9(x)= (3)若f(x)≤4恒成立，求实数a的取值 范围 p(x),x≥2 若对每一个不小于2 2f(x),x<2 的实数x1,都有小于2的实数x2,使 得g(x1)=q(x2)成立，求实数m的 取值范围 12