第5练 函数的概念和表示-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

精英1号 学考笔记 数学 44 因为 1 z1= z1 z1·z1为虚数,z1·z1 为实数,所以z1 为虚数, 则z1 也为虚数,故C正确; 设z1=x+yi,由|z1+i|=1,则在复平面内点(x,y)表示 以(0,-1)为圆心,1为半径的圆,则|z1|max=2,故D错误. 故选ABC. 9.【答案】12,26 【解析】因为2i-3是关于x 的方程2x2+px+q=0的一 个根,且p,q∈R,所以-2i-3是关于x 的方程2x2+ px+q=0的另一个根,而且 -3+2i+(-3-2i)=-p2 (-3+2i)(-3-2i)=q2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒ p=12 q=26 ,故答案为:12,26. 10.【答案】 3π4 [2-1,5] 【解析】因为z1=1-i,所以z1=1+i, 所以z=z1·z2=(1+i)(cos θ+isin θ)=(cos θ-sin θ)+ i(cos θ+sin θ), 因为复数z为实数,所以cos θ+sin θ=0,即2sinθ+π4 =0, 所以θ+π4=kπ(k∈Z), 因为θ∈[0,π],所以θ=3π4. 因为z1+z2=(1+cos θ)+i(sin θ-1), 所以|z1+z2|= (1+cos θ)2+(sin θ-1)2= 3+2cos θ-2sin θ= 3-22sinθ-π4 , 因为θ∈[0,π],θ-π4∈ - π 4, 3π 4 , 所以sinθ-π4 ∈ - 22,1􀭠􀭡􀪁􀪁 􀭤􀭥􀪁􀪁 , 所以|z1+z2|∈[2-1,5]. 故答案为:3π4;[2-1,5]. 11.【解析】(1)因为OB→=OA→+OC→,所以OB→ 所对应的复数 z1=(2+i)+(-1+3i)=1+4i, 所以OB→=(1,4),|OB→|= 12+42= 17, 因为CA→=OA→-OC→, 所以CA→ 所对应的复数z2=(2+i)-(-1+3i)=3-2i. 所以CA→=(3,-2),|CA→|= 32+(-2)2= 13. (2)由题知θ=<CB→,CO→>,因为CB→=OA→=(2,1),CO→= -OC→=(1,-3), 所以CB→·CO→=2×1+1×(-3)=-1, |CB→|= 22+12= 5,|CO→|= 12+(-3)2= 10, 所以cos θ=cos<CB→,CO→>= CB →·CO→ |CB→|·|CO→|=- 2 10. 12.【解析】(1)由题意可知,z1z2= 32 cos π 6+isin π 6 × 2cos π3+isin π 3 = 32 × 2 cos π6+π3 + isin π6+ π 3 =3cos π2+isin π2 =3i. (2)由题意可得cos 3x+isin 3x=ei(3x)=(eix)3=(cos x+ isin x)3=cos3x+3cos2x(isin x)+3cos x(isin x)2+ (isin x)3=cos3x-3cos xsin2x+i(3cos2xsin x-sin3x)= cos3x-3cos x(1-cos2x)+i[3(1-sin2x)sin x-sin3x]= 4cos3x-3cos x+i(3sin x-4sin3x),所以sin 3x=3sin x- 4sin3x,cos 3x=4cos3x-3cos x. 第5练 函数的概念和表示 1.【答案】C 【解析】令t=x2-1,则x=2t+2, 所以f(t)=2(2t+2)+3=4t+7,即f(x)=4x+7, 所以f(6)=4×6+7=31.故选C. 2.【答案】C 【解析】f(x)= xx2+1,定义域为[0,+∞),且f(0)=0, 取x∈(0,+∞),则化简得f(x)= xx2+1= 1 x+1x , 令t(x)=x+1x,x∈(0,+∞), 利用对勾函数的性质知,当x∈(0,1)时,函数单调递减;当 x∈(1,+∞)时,函数单调递增; ∴t(x)min=t(1)=2,即t(x)≥2,∴x∈(0,+∞)时,0< f(x)≤12, 又f(0)=0,所以,x∈[0,+∞)时,函数f(x)的值域为 0,12 .故选C. 3.【答案】A 【解析】设此人购物总金额为x 元,可获得购物折扣金额为 y 元, 由题意知,y= 0,0<x≤500 0.1(x-500),500<x≤900 0.2(x-900)+40,x>900 , 当x=900时,y=0.1×(900-500)=40, ∵60>40,∴x>900, ∴0.2(x-900)+40=60,解得x=1 000, 所以此人购物实际所付金额 为1 000-60=940元.故 选A. 4.【答案】C 【解析】满足条件的函数的定义域为{2,3},{2,-3},{-2, 3},{-2,-3},{2,-2,-3},{2,-2,3},{2,-3,3},{-2, -3,3},{-2,2,-3,3},共9个.故选C. 5.【答案】B 【解析】根据题意知,f(x)=1+x1-x,则f2(x)=f(f(x))= 1+1+x1-x 1-1+x1-x =-1x,f3(x)=f(f2(x))= 1-1x 1+1x =-1-x1+x, f4(x)=f(f3(x))=x,则fn+4(x)=fn(x),故f2 024(x)= f4(x)=x,故选B. 6.【答案】D 【解析】由f(8)=1逆推,得 f(8)=1→f(7)=2→f(6)=4→f(5)=8→f(4)=16→ f(3)=32→f(2)=64→f(1)=128; f(8)=1→f(7)=2→f(6)=4→f(5)=8→f(4)=16→ f(3)=32→f(2)=64→f(1)=21; 答案解析 45 f(8)=1→f(7)=2→f(6)=4→f(5)=8→f(4)=16→ f(3)=5→f(2)=10→f(1)=20; f(8)=1→f(7)=2→f(6)=4→f(5)=8→f(4)=16→ f(3)=5→f(2)=10→f(1)=3; f(8)=1→f(7)=2→f(6)=4→f(5)=1→f(4)=2→ f(3)=4→f(2)=8→f(1)=16; f(8)=1→f(7)=2→f(6)=4→f(5)=1→f(4)=2→ f(3)=4→f(2)=1→f(1)=2, 所以f(4)≤16.故选D. 7.【答案】BCD 【解析】因为函数f(x)= 1,x 为有理数0,x 为无理数 , 所以f(x)的值域为{0,1},故A错误; 因为函数f(x)= 1,x 为有理数0,x 为无理数 , 所以f(x)的定义域为R,故B正确; 因为∀x∈R,f(x)∈{0,1},所以f(f(x))=1,故C正确; 对于任意一个非零有理数T,若x 是有理数,则x+T 是有 理数,若x 是无理数,则x+T 是无理数,根据函数的解析 式,任取一个不为零的有理数T,都有f(x+T)=f(x)对 任意x∈R恒成立,故D正确.故选BCD. 8.【答案】BD 【解析】因为f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1对任意实 数x,y 都成立,所以令x=y=0得,f(0)=2f(0)-1,解 得f(0)=1,故 A错误,B正确;令x=y=1,得f(2)= 2f(1)+1,令x=y=2,得f(4)=2f(2)+7,所以f(4)=2 [2f(1)+1]+7=4f(1)+9,所以f(4)-4f(1)=9.故C 错误,D正确.故选BD. 9.【答案】[1,2) (-1,2) 【解析】当x≥0时,函数y=2x+1x+1=2- 1 x+1在[0,+∞) 上是增函数,故当x=0时,函数取得最小值为1, 又y<2,故函数f(x)的值域为[1,2),对称中心为(-1, 2).故答案为:[1,2);(-1,2). 10.【答案】(-∞,-2]∪[2,+∞) 【解析】“对任意x1∈[0,4],总存在x2∈[0,4],使f(x1)= g(x2)成立”等价于“函数f(x)在[0,4]上的值域包含于 g(x)在[0,4]上的值域”,函数f(x)=(x-2)2-1,当 x∈[0,4]时,f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(0)= f(4)=3,即f(x)在[0,4]上的值域A=[-1,3]. 当m=0时,g(x)=3,不符合题意; 当m>0时,g(x)在[0,4]上单调递增,其值域B1= [3-2m,3+2m],于是有A⊆B1,即有 3-2m≤-13+2m≥3 , 解得m≥2,则m≥2; 当m<0时,g(x)在[0,4]上单调递减,其值域B2= [3+2m,3-2m],于是有A⊆B2,即有 3+2m≤-13-2m≥3 , 解得m≤-2,则m≤-2. 综上得m≤-2或m≥2, 所以实数m 的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞). 故答案为:(-∞,-2]∪[2,+∞). 11.【解析】(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0,且f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-f(-x),设x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-x2-4x, ∴f(x)=-f(-x)=-(-x2-4x)=x2+4x, 故函数f(x)的解析式为f(x)= -x 2+4x,x>0 x2+4x,x≤0 . (2)可画出分段函数的图象(如图所示),令f(x)=-4,可 解得x1=-2,x2=2+22. 结合图象可知: ①当-4<a≤-2时,f(x)min=f(a)=a2+4a; ②当-2<a≤2+22时,f(x)min=f(-2)=-4; ③当a>2+22时,f(x)min=f(a)=-a2+4a. 故f(x)min= a2+4a,x∈(-4,-2) -4,x∈[-2,2+22] -a2+4a,x∈(2+22,+∞) 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 . 12.【解析】(1)由已知P(x,1-x),则根据“曼哈顿距离”定义 得|PO|=|x|+|1-x|, ∵|PO|≤1,∴|x|+|1-x|≤1, 当x≤0时,-x+1-x≤1成立,解得x=0; 当0<x<1时,x+1-x≤1,解得0<x<1; 当x≥1时,x+x-1≤1,解得x=1, 综上所述,点P 的横坐标x 的取值范围是[0,1]. (2)设出动点 P(x1,2x1-2),Q(x2,x22),则||PQ||= |x1-x2|+|2x1-2-x22|, 又x2- 1+x 22 2 =- 12(x2-1)2- 12<0,所以x2< 1+x 22 2, 当x1≥1+x 22 2时,|PQ|=x1-x2+2x1-2-x22=3x1- x22-x2-2, 此时|PQ|min=31+x 22 2 -x22-x2-2=12x22-x2+1; 当x2<x1<1+x 22 2时,|PO|=x1-x2-(2x1-2-x22)= -x1+x22-x2+2, 此时|PQ|>- 1+x 22 2 +x22-x2+2=x222-x2+1, 当x1≤x2 时,|PQ|=-(x1-x2)-(2x1-2-x22)= -3x1+x22+x2+2, 此时|PQ|min=-3x2+x22+x2+2=x22-2x2+2, 又x22-2x2+2- x 22 2-x2+1 =x222-x2+1=12(x2- 1)2+12>0, 所以x22-2x2+2>x 22 2-x2+1, 综合得|PQ|≥x 22 2-x2+1≥ 1 2,当x2=1,x1=1+ x22 2= 3 2时取等号. 即|PQ|的最小值为12. 第5练 函数的概念和表示 9 第5练 函数的概念和表示 一、单选题 1.已知f x2-1 =2x+3,则f(6)的值为 ( )…………………………………… A.15 B.7 C.31 D.17 2.已知函数f(x)= xx2+1的定义域为[0, +∞),则函数f(x)的值域为 ( )…… A.[0,+∞) B.[2,+∞) C.0,12 􀭠 􀭡 􀪁􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁􀪁 D.12,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁􀪁 3.某超市元旦期间搞促销活动,规定:顾客购 物总金额不超过500元,不享受任何折扣; 如果顾客购物的总金额超过500元,则超 过的部分享受一定的折扣优惠,并按下表 折扣分别累计计算: 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为60元, 则此人购物实际所付金额为 ( )…… A.940元 B.1 000元 C.1 140元 D.1 200元 4.若一系列的函数解析式相同,值域相同但 定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”. 那么函数的解析式为y=x2,值域为{4,9} 的“孪生函数”共有 ( )……………… A.12个 B.10个 C.9个 D.8个 5.设f(x)=1+x1-x,又记f1(x)=f(x),fk+1(x)= f(fk(x)),k=1,2,3,…,则f2 024(x)= ( )………………………………… A.-1x B.x C.x-1x+1 D. 1+x 1-x 6.已 知 函 数 f(x)>0,且 f(x+1)= 1 2f(x),当f(x)是偶数时 3f(x)+1,当f(x)是奇数时 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 .若f(8)= 1,则 ( )……………………………… A.f(1)≥3 B.f(2)≤10 C.f(3)≤31 D.f(4)≤16 二、多选题 7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就 显著,是解析数论的创始人之一,以其命名 的函数f(x)= 1,x 为有理数0,x 为无理数 被称为狄利 克雷函数.则下列说法正确的是 ( ) ………… ………………………………… A.f(x)的值域为[0,1] B.f(x)的定义域为R C.∀x∈R,f(f(x))=1 D.任取一个非零有理数T,若有f(x+T)= f(x)对任意x∈R恒成立 8.已知函数f(x)的定义域为R,若f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy-1对任意实数x,y都成 立,则 ( )……………………………… A.f(0)=0 B.f(0)=1 C.f(4)-4f(1)=6 D.f(4)-4f(1)=9 三、填空题 9.函数y=2x+1x+1在x∈[0,+∞)上的值域 是 ,对称中心为 . 10.已知函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=mx+ 3-2m,若 对 任 意 x1 ∈ [0,4],总 存 在 x2∈[0,4],使f(x1)=g(x2)成立,则实 数m 的取值范围为 . 10 四、解答题 11.已知f(x)为定义在 R上的奇函数,且当 x>0时,f(x)=-x2+4x. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在区间[-4,a](a> -4)上的最小值. 12.在平面直角坐标系中,两点 P(x1,y1), Q(x2,y2)的“曼哈顿距离”定义为|x1- x2|+|y1-y2|,记为|PQ|.如,点P(-1, -2),Q(2,4)的“曼哈顿距离”为9,记为 |PQ|=|(-1)-2|+|(-2)-4|=9. (1)动点P 在直线y=1-x 上,点O(0, 0),若|PO|≤1,求点P 的横坐标x 的取值范围; (2)动点P 在直线y=2x-2上,动点Q 在函数y=x2 图象上,求|PQ|的最 小值.