第4练 复数的概念和四则运算-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

第4练 复数的概念和四则运算 7 第4练 复数的概念和四则运算 一、单选题 1.复数z= 3sin 2π3+icos 2π 3 化为代数形 式为 ( )……………………………… A.32+ 3 2i B.- 3 2+ 3 2i C.-32- 3 2i D. 3 2- 3 2i 2.已知复数z=(1-2i)(4-3i),则复数z 在 复平面内对应的点位于 ( )………… A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知复数z满足1-zz =1-i,则z= ( ) …… …………………………………… A.-25+ 1 5i B.- 2 5- 1 5i C.25+ 1 5i D. 2 5- 1 5i 4.若复数z=(1+i) 2 3+4i,则|z|= ( )…… A.45 B. 3 5 C.25 D. 2 5 5.已知非零复数z 满足|z-1|=|z-i|,则 z z= ( )……………………………… A.1 B.-1 C.i D.-i 6.已知i是虚数单位,复数z 的共轭复数为 z,下列说法正确的是 ( )…………… A.如果z1+z2∈R,则z1,z2 互为共轭 复数 B.如果复数z1,z2 满足|z1+z2|=|z1- z2|,则z1·z2=0 C.如果z2=z,则|z|=1 D.|z1z2|=|z1||z2| 二、多选题 7.已知复数z 满足|z|=|z-1|=1,且复数 z 对应的点在第一象限,则下列结论正确 的是 ( )……………………………… A.复数z的虚部为32 B.1z= 1 2- 3 2i C.z2=z-1 D.复数z的共轭复数为-12+ 3 2i 8.设z1,z2 为复数,则下列结论正确的是 ( ) … …………………………………… A.|z1z2|=|z1z2| B.|z1-z2|≤|z1|+|z2| C.若1z1为虚数,则z1 也为虚数 D.若|z1+i|=1,则|z1|的最大值为 2 三、填空题 9.已知2i-3是关于x 的方程2x2+px+ q=0的 一 个 根,则 实 数 p,q 的 值 分 别 为 . 10.设复数z1=1-i,z2=cos θ+isin θ,其中 θ∈[0,π],若复数z=z1·z2 为实数,则 θ= ,|z1 +z2|的 取 值 范 围 为 . 8 四、解答题 11.在复平面内,平行四边形OABC 的顶点 O,A,C 对应复数分别为0,2+i,-1+3i. (1)求OB→,CA→ 及|OB→|,|CA→|; (2)设∠OCB=θ,求cos θ. 12.eix=cos x+isin x 被称为“欧拉公式”,之 后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: z1=r1eiθ1 =r1(cos θ1+isin θ1),z2= r2eiθ2=r2(cos θ2+isin θ2),则我们可以简 化复数乘法z1z2=r1r2ei(θ1+θ2)=r1r2· [cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. (1)已 知z1=32 cos π 6+isin π 6 ,z2= 2cos π3+isin π 3 ,求z1z2. (2)利用欧拉公式可推出二倍角公式,过 程如下: cos 2x+isin 2x=ei(2x)= (eix)2= (cos x+isin x)2=cos2x-sin2x+i· 2sin xcos x,所以cos 2x=cos2x- sin2x,sin 2x=2sin xcos x. 类比上述过程,求出sin 3x,cos 3x. (将sin 3x 表示成sin x 的式子,将 cos 3x 表示成cos x 的式子)(参考公 式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3) 答案解析 43 所 以 x2-2x+2 2x-1 = t2-2t+5 4t = 1 4 t+ 5 t-2 ≥ 1 4 2 t× 5 t -2 = 5-12 ,当且仅当t=5t,即t= 5, x= 5+12 时,取“=”,所以a< 5-1 2 , 故实数a的取值范围为 -∞,5-12 . 12.【解析】(1)∵x=1时,y=1,∴a+b+2=1,即b=-1-a, ∵∀x∈(2,5),y>0恒成立,即ax2-(1+a)x+2>0恒 成立,∴ax(x-1)>x-2恒成立, ∵x∈(2,5),∴a> x-2x(x-1)对∀x∈(2,5)恒成立, ∴a> x-2x(x-1) max. 令t=x-2,则t∈(0,3), 则 x-2 x(x-1)= t (t+2)(t+1)= t t2+3t+2= 1 t+2t+3 ≤ 1 22+3=3-22, 当且仅当t=2t,即t= 2,此时x=2+ 2时,取“=”, 所以实数a的取值范围是(3-22,+∞). (2)∵x=1时,y=1,∴a+b+2=1,即b=-1-a, ∵∀a∈[-2,-1],y>0恒成立,即ax2-(1+a)x+2> 0对∀a∈[-2,-1]恒成立, ∴(x2-x)a-x+2>0对∀a∈[-2,-1]恒成立. ∴ -2x 2+x+2>0 -x2+2>0 ,解得1- 174 <x<1+ 174 , 所以实数x 的取值范围是 1- 174 , 1+ 17 4 . 第4练 复数的概念和四则运算 1.【答案】D 【解析】z=3sin 2π3+icos 2π 3 =3× 32+3× -12 i= 3 2- 3 2i.故选D. 2.【答案】C 【解析】z=(1-2i)(4-3i)=-2-11i,复数z 在复平面内 对应的点为(-2,-11),所以复数z 在复平面内对应的点 位于第三象限.故选C. 3.【答案】C 【解析】因为1-z z =1-i,所以z= 1 2-i= 2+i (2-i)(2+i)= 2 5+ 1 5i,z= 2 5- 1 5i.故选C. 4.【答案】C 【解析】由 题 得 z= (1+i) 2 3+4i = 2i 3+4i= 2i(3-4i) (3+4i)(3-4i)= 8+6i 25 ,所以|z|= 8 25 2+ 625 2=1025=25.故选C. 5.【答案】D 【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则由|z-1|=|z-i|知 |a-1+bi|=|a+(b-1)i|. 从而(a-1)2+b2=a2+(b-1)2,展开即得a=b. 由z 非零,知a=b≠0,故 zz = a-bi a+bi= a b -i a b +i =1-i1+i= (1-i)2 (1+i)(1-i)= -2i 2 =-i.故选D. 6.【答案】D 【解析】对于 A,设z1=1+i,z2=2-i,z1+z2=3∈R,但 z1,z2 不互为共轭复数,故A错误; 对于B,设z1=a1-b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R). 由|z1+z2|=|z1-z2|,得|z1+z2|2=(a1+a2)2+(b1+ b2)2=|z1-z2|2=(a1-a2)2+(b1-b2)2, 则a1a2+b1b2=0,而z1·z2=(a1+b1i)(a2+b2i)= (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i=2a1a2+(a1b2+a2b1)i 不一定等于0,故B错误; 对于C,当z=0时,有z2=z,故C错误; 对于 D,设 z1 =a +bi,z2 =c+di,则|z1z2|= (ac-bd)2+(ad+bc)2 = (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2 = (a2+b2)(c2+d2)=|z1||z2|,故D正确.故选D. 7.【答案】BC 【解析】设z=a+bi(a>0,b>0), 由|z|=|z-1|=1,得 a 2+b2=1 (a-1)2+b2=1 ,解得 a=12 b= 32 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 a=12 b=- 32 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (舍去). ∴z=12+ 3 2i,复数z的虚部为 3 2,故A错误; 1 z= 1 1 2+ 3 2i = 1 2- 3 2i 1 2+ 3 2i 12- 32i = 12 - 32i,故 B 正确; z2= 12+ 3 2i 2=14+ 32i+34i2=-12+ 32i=12+ 3 2i-1=z-1,故C正确; z -=12- 3 2i,故D错误.故选BC. 8.【答案】ABC 【解析】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则z1z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i, z1z2=(a+bi)·(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i, 得|z1z2|= (ac-bd)2+(ad+bc)2= (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2, |z1z2|= (ac+bd)2+(bc-ad)2= (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2, 所以|z1z2|=|z1z2|,故A正确; 设z1,z2 对应的向量分别为OZ→1,OZ2→,则由向量三角不等 式得|OZ1→-OZ2→|≤|OZ1→|+|OZ2→|, 所以|z1-z2|≤|z1|+|z2|恒成立,故B正确; 精英1号 学考笔记 数学 44 因为 1 z1= z1 z1·z1为虚数,z1·z1 为实数,所以z1 为虚数, 则z1 也为虚数,故C正确; 设z1=x+yi,由|z1+i|=1,则在复平面内点(x,y)表示 以(0,-1)为圆心,1为半径的圆,则|z1|max=2,故D错误. 故选ABC. 9.【答案】12,26 【解析】因为2i-3是关于x 的方程2x2+px+q=0的一 个根,且p,q∈R,所以-2i-3是关于x 的方程2x2+ px+q=0的另一个根,而且 -3+2i+(-3-2i)=-p2 (-3+2i)(-3-2i)=q2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒ p=12 q=26 ,故答案为:12,26. 10.【答案】 3π4 [2-1,5] 【解析】因为z1=1-i,所以z1=1+i, 所以z=z1·z2=(1+i)(cos θ+isin θ)=(cos θ-sin θ)+ i(cos θ+sin θ), 因为复数z为实数,所以cos θ+sin θ=0,即2sinθ+π4 =0, 所以θ+π4=kπ(k∈Z), 因为θ∈[0,π],所以θ=3π4. 因为z1+z2=(1+cos θ)+i(sin θ-1), 所以|z1+z2|= (1+cos θ)2+(sin θ-1)2= 3+2cos θ-2sin θ= 3-22sinθ-π4 , 因为θ∈[0,π],θ-π4∈ - π 4, 3π 4 , 所以sinθ-π4 ∈ - 22,1􀭠􀭡􀪁􀪁 􀭤􀭥􀪁􀪁 , 所以|z1+z2|∈[2-1,5]. 故答案为:3π4;[2-1,5]. 11.【解析】(1)因为OB→=OA→+OC→,所以OB→ 所对应的复数 z1=(2+i)+(-1+3i)=1+4i, 所以OB→=(1,4),|OB→|= 12+42= 17, 因为CA→=OA→-OC→, 所以CA→ 所对应的复数z2=(2+i)-(-1+3i)=3-2i. 所以CA→=(3,-2),|CA→|= 32+(-2)2= 13. (2)由题知θ=<CB→,CO→>,因为CB→=OA→=(2,1),CO→= -OC→=(1,-3), 所以CB→·CO→=2×1+1×(-3)=-1, |CB→|= 22+12= 5,|CO→|= 12+(-3)2= 10, 所以cos θ=cos<CB→,CO→>= CB →·CO→ |CB→|·|CO→|=- 2 10. 12.【解析】(1)由题意可知,z1z2= 32 cos π 6+isin π 6 × 2cos π3+isin π 3 = 32 × 2 cos π6+π3 + isin π6+ π 3 =3cos π2+isin π2 =3i. (2)由题意可得cos 3x+isin 3x=ei(3x)=(eix)3=(cos x+ isin x)3=cos3x+3cos2x(isin x)+3cos x(isin x)2+ (isin x)3=cos3x-3cos xsin2x+i(3cos2xsin x-sin3x)= cos3x-3cos x(1-cos2x)+i[3(1-sin2x)sin x-sin3x]= 4cos3x-3cos x+i(3sin x-4sin3x),所以sin 3x=3sin x- 4sin3x,cos 3x=4cos3x-3cos x. 第5练 函数的概念和表示 1.【答案】C 【解析】令t=x2-1,则x=2t+2, 所以f(t)=2(2t+2)+3=4t+7,即f(x)=4x+7, 所以f(6)=4×6+7=31.故选C. 2.【答案】C 【解析】f(x)= xx2+1,定义域为[0,+∞),且f(0)=0, 取x∈(0,+∞),则化简得f(x)= xx2+1= 1 x+1x , 令t(x)=x+1x,x∈(0,+∞), 利用对勾函数的性质知,当x∈(0,1)时,函数单调递减;当 x∈(1,+∞)时,函数单调递增; ∴t(x)min=t(1)=2,即t(x)≥2,∴x∈(0,+∞)时,0< f(x)≤12, 又f(0)=0,所以,x∈[0,+∞)时,函数f(x)的值域为 0,12 .故选C. 3.【答案】A 【解析】设此人购物总金额为x 元,可获得购物折扣金额为 y 元, 由题意知,y= 0,0<x≤500 0.1(x-500),500<x≤900 0.2(x-900)+40,x>900 , 当x=900时,y=0.1×(900-500)=40, ∵60>40,∴x>900, ∴0.2(x-900)+40=60,解得x=1 000, 所以此人购物实际所付金额 为1 000-60=940元.故 选A. 4.【答案】C 【解析】满足条件的函数的定义域为{2,3},{2,-3},{-2, 3},{-2,-3},{2,-2,-3},{2,-2,3},{2,-3,3},{-2, -3,3},{-2,2,-3,3},共9个.故选C. 5.【答案】B 【解析】根据题意知,f(x)=1+x1-x,则f2(x)=f(f(x))= 1+1+x1-x 1-1+x1-x =-1x,f3(x)=f(f2(x))= 1-1x 1+1x =-1-x1+x, f4(x)=f(f3(x))=x,则fn+4(x)=fn(x),故f2 024(x)= f4(x)=x,故选B. 6.【答案】D 【解析】由f(8)=1逆推,得 f(8)=1→f(7)=2→f(6)=4→f(5)=8→f(4)=16→ f(3)=32→f(2)=64→f(1)=128; f(8)=1→f(7)=2→f(6)=4→f(5)=8→f(4)=16→ f(3)=32→f(2)=64→f(1)=21;