第3练 一元二次函数与一元二次方程、不等式-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

第3练 一元二次函数与一元二次方程、不等式 5 第3练 一元二次函数与一元二次方程、不等式 一、单选题 1.不等式x(4-x)<3的解集为 ( )… A.{x|x<1或x>3} B.{x|x<0或x>4} C.{x|1<x<3} D.{x|0<x<4} 2.若不等式x2-2x-m<0在x∈ 12,2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁􀪁 上 有解,则实数m 的取值范围是 ( )… A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.-34,+∞ D.(0,+∞) 3.已知α,β(α<β)是函数y=(x-a)(x-b)+ 2(a<b)的两个零点,则α,β,a,b的大小关系 是 ( )………………………………… A.a<α<β<b B.a<α<b<β C.α<a<b<β D.α<a<β<b 4.已知函数f(x)=4ax2+4x-1,∀x∈(-1, 1),f(x)<0恒成立,则实数a 的取值范 围是 ( )……………………………… A.a≤-34 B.a<-1 C.-1<a≤34 D.a≤-1 5.若关于x 的不等式(ax-1)2<x2 恰有2 个整数解,则实数a 的取值范围是 ( ) ……… ………………………………… A.-32<a≤- 4 3或 4 3<a≤ 3 2 B.-32<a≤- 4 3或 4 3≤a< 3 2 C.-32≤a<- 4 3或 4 3<a≤ 3 2 D.-32≤a<- 4 3或 4 3≤a< 3 2 6.已知a>0,b∈R,若x>0时,关于x 的不 等式(ax-2)(x2+bx-5)≥0恒成立,则 b+4a的最小值为 ( )………………… A.2 B.25 C.43 D.32 二、多选题 7.已知关于x 的不等式ax2+bx+3>0,关 于此不等式的解集有下列结论,其中正确 的是 ( )……………………………… A.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是 {x|x>3} B.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是R C.不等式ax2+bx+3>0的解集可以 是∅ D.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是 {x|-1<x<3} 8.已知函数f(x)=x2+ax+b,集合A={x| f(x)≤0},集合 B= x|f(f(x))≤54 , 若A=B≠∅,则实数a 的取值可以是 ( ) … ………………………………… A.2 B.3 C.4 D.5 三、填空题 9.不等式-6x2-x+2≤0的解集是 . 10.已知集合A={x|x2-2x+a≥0},B= {x|x2-2x+a+1<0},若B=∅,则实 数a 的取值范围为 ;若A∪B= R,则实数a 的取值范围为 . 6 四、解答题 11.已知函数f(x)=(a+1)x-2x-1 ,a 为常数. (1)若a=2,解关于x的不等式f(x)<1; (2)若不等式f(x)<x-a 对任意的x> 1恒成立,求实数a 的取值范围. 12.已知二次函数y=ax2+bx+2(a,b为实数). (1)若x=1时,y=1且对∀x∈(2,5), y>0恒成立,求实数a 的取值范围; (2)若x=1时,y=1且对∀a∈[-2,-1], y>0恒成立,求实数x的取值范围. 答案解析 41 对于B,(a+ b)2=a+b+2 ab=1+2 ab≤1+2× 1 4 =2,即 a+ b≤ 2,当且仅当a=b= 1 2时,等号成 立,所以 a+ b的最大值为 2,故B错误; 对于 C,ba + 1+b b = b a + a+b+b b = b a + a b +2≥ 2 ba · a b +2=4,当且仅当 b a = a b ,即a=b=12时,等 号成立,所以b a + 1+b b 的最小值为4,故C正确; 对 于 D, a 2 a+1 + b2 b+1 = (a+1)2-2(a+1)+1 a+1 + (b+1)2-2(b+1)+1 b+1 =a+1+ 1 a+1-2+b+1+ 1 b+1- 2= 1a+1+ 1 b+1-1, 而 1 a+1+ 1 b+1= 1 3 1 a+1+ 1 b+1 (a+1+b+1)= 1 3 b+1 a+1+ a+1 b+1+2 ≥13 2 b+1a+1·a+1b+1+2 =43, 当且仅当 b+1 a+1= a+1 b+1,即a=b= 1 2时,等号成立, 所以 a2 a+1+ b2 b+1的 最 小 值 为 4 3 -1= 1 3,故 D 正 确. 故选ACD. 9.【答案】4 1 【解析】由二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0,得42- 4ac=0,解得ac=4, 所以 1 a+ 1 c≥2 1 a ·1 c =2 1 4 =1, 当且仅当a=c时取等号,故答案为:4;1. 10.【答案】6 【解析】由题得y x + 16x 2x+y= y x + 16 2+yx , 设y x =t(t>0),则f(t)=t+ 16 2+t=t+2+ 16 2+t-2≥ 2 (t+2)· 162+t-2=8-2=6, 当且仅当t=2时取等号.所以yx + 16x 2x+y的最小值为6. 故答案为:6. 11.【解析】(1)因为a>0,b>0,且a+2b=ab,即2a+ 1 b=1, 所以a+b=(a+b) 2a+ 1 b =2+1+2ba +ab ≥3+ 2 2ba · a b =3+22, 当且仅当 2b a = a b ,即a= 2b,即a=2+ 2,b= 2+1 时,等号成立, 故a+b的最小值为3+22. (2)因为a>0,b>0,且a+2b=ab, 所以(a-2)(b-1)=2, 所以 2a a-2+ 8b b-1= 2(a-2)+4 a-2 + 8(b-1)+8 b-1 =10+ 4 a-2+ 8 b-1≥10+2 4 a-2· 8 b-1=18, 当且仅当 4 a-2= 8 b-1,即a=b=3时,等号成立, 故 2a a-2+ 8b b-1的最小值为18. 12.【解析】(1)证明:a+b+c3 2-a2+b2+c23 =(a+b+c) 2-3(a2+b2+c2) 9 =2ab+2bc+2ca-2a 2-2b2-2c2 9 =-19[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≤0, 故 a+b+c3 2≤a2+b2+c23 ,当且仅当a=b=c时,等号 成立. (2)当 x>0,y>0,z>0时,由(1)中 的 不 等 式 得, x+ y+ z 3 2≤x+y+z3 , 所以 x+ y+ z≤ 3(x+y+z), 即 x+ y+ z x+y+z ≤ 3, 当且仅当x=y=z 时等号成立.因此 x+ y+ z x+y+z 的最 大值为 3. 由 x + y + z ≤t x+y+z 恒 成 立 可 得t≥ x+ y+ z x+y+z max,因 x+ y+ zx+y+z 的最大值为 3,故 有t≥ 3,即实数t的最小值为 3. 第3练 一元二次函数与一元二次方程、不等式 1.【答案】A 【解析】不等式x(4-x)<3化简为x2-4x+3>0,所以 (x-1)(x-3)>0,解得x<1或x>3.故选A. 2.【答案】B 【解析】因为不等式x2-2x-m<0在x∈ 12,2 上有解, 所以不等式m>x2-2x 在x∈ 12,2 上有解, 令t=x2-2x=(x-1)2-1,则tmin=-1,所以 m>-1, 所以实数m 的取值范围是(-1,+∞).故选B. 3.【答案】A 【解析】设g(x)=(x-a)(x-b), 则g(x)向上平移2个单位长度得到y=(x-a)(x-b)+ 2的图象, 由图易知a<α<β<b.故选A. 4.【答案】B 【解析】f(x)=4ax2+4x-1<0,即4ax2<-4x+1, 当x=0时,不等式恒成立,a∈R;当x≠0时,x2>0,则 精英1号 学考笔记 数学 42 4a< -4x+ 1 x2 min,令t=1x∈(-∞,-1)∪(1,+∞), 则y=-4t+t2=(t-2)2-4∈[-4,+∞),即4a<-4, 解得a<-1.综上,实数a的取值范围为a<-1.故选B. 5.【答案】B 【解析】∵不等式(ax-1)2<x2,即[(a+1)x-1]·[(a- 1)x-1]<0恰有2个整数解, ∴(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1. 当a>1时,不等式的解集为 1a+1, 1 a-1 , 易知 1 a+1∈ 0, 1 2 ,∴2个整数解为1,2, ∴2< 1a-1≤3,即2a-2<1≤3a-3,解得 4 3≤a< 3 2; 当a<-1时,不等式的解集为 1a+1, 1 a-1 , 易知 1 a-1∈ - 1 2,0 ,∴2个整数解为-1,-2, ∴-3≤ 1a+1<-2,即-2(a+1)<1≤-3(a+1), 解得-32<a≤- 4 3. 综上所述,实数a 的取值范围是-32<a≤- 4 3或 4 3≤ a<32.故选B. 6.【答案】B 【解析】设y1=ax-2(x>0),y2=x2+bx-5(x>0), 因为a>0,所以当0<x<2a 时,y1=ax-2<0; 当x=2a 时,y1=ax-2=0; 当x>2a 时,y1=ax-2>0; 由不 等 式 (ax -2)(x2 +bx -5)≥0 恒 成 立,得 ax-2≤0 x2+bx-5≤0 或 ax-2≥0x2+bx-5≥0 , 即当0<x≤2a 时,x2+bx-5≤0恒成立,或当x≥ 2 a 时, x2+bx-5≥0恒成立, 所以当x=2a 时,y2=x2+bx-5=0,则 4 a2+ 2b a -5=0, 即b=5a2- 2 a , 则当 a>0 时,b+ 4a = 5a 2 - 2 a + 4 a = 5a 2 + 2 a ≥ 2 5a2× 2 a =25, 当且仅当 5a 2= 2 a ,即a=255 时,等号成立, 所以b+4a 的最小值为25.故选B. 7.【答案】BD 【解 析】对 于 A,假 设 结 论 成 立,则 a=03b+3=0 ,解 得 a=0 b=-1 ,则不等式为-x+3>0,解得x<3,与解集是 {x|x>3}矛盾,故A错误; 对于B,当a=1,b=0时,不等式x2+3>0恒成立,则解集 是R,故B正确; 对于C,当x=0时,不等式ax2+bx+3=3>0,则解集不 可能为∅,故C错误; 对于D,假设结论成立,则 a<0 a-b+3=0 9a+3b+3=0 ,解得 a=-1b=2 , 符合题意,故D正确.故选BD. 8.【答案】BCD 【解析】由题意知A={x|x2+ax+b≤0}, 由B= x f(f(x))≤54 知 f(f(x))≤ 54,即(x2+ ax+b)2+a(x2+ax+b)+b-54≤0①,由A=B≠∅可 知b=54且①为(x2+ax+b)x2+ax+a+ 5 4≤0,此时须 满足 Δ1=a2-4×54≥0 Δ2=a2-4a+54 ≤0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得 a 2≥5 -1≤a≤5 ,故实数a 的取值范 围 是[5,5],因 此 a 的 取 值 可 以 是 3,4,5. 故选BCD. 9.【答案】x x≤-23或x≥ 1 2 【解析】-6x2-x+2≤0可化为6x2+x-2≥0,即(2x-1)· (3x+2)≥0,解得x≥12或x≤- 2 3,所以原不等式的解集为 x x≤-23或x≥ 1 2 .故答案为:x x≤-23或x≥12 . 10.【答案】a≥0 a≥1 【解析】若B=∅,则a≥0; 若A∪B=R,设f(x)=x2-2x+a,g(x)=x2-2x+ a+1,则将f(x)的图象向上平移1个单位即为g(x)的 图象,当f(x)的图象与x 轴有两个交点时,如图: 由图可知A=(-∞,a]∪[d,+∞),B=(b,c)或B=∅, 此时A∪B≠R,即f(x)的图象与x 轴最多有1个交点, ∴Δ=4-4a≤0,解得a≥1.故答案为:a≥0;a≥1. 11.【解析】(1)由题意知,3x-2x-1<1,即 3x-2 x-1- x-1 x-1<0,也 即 2x-1 x-1<0,故(2x-1)(x-1)<0,解得 1 2<x<1, 故不等式f(x)<1的解集为 12,1 . (2)对任意x>1,f(x)<x-a 恒成立,即(a+1)x-2< (x-a)·(x-1)恒成立, 则a<x 2-2x+2 2x-1 对任意x>1恒成立, 所以a< x 2-2x+2 2x-1 min. 令t=2x-1,则t>1,x=12(t+1), 答案解析 43 所 以 x2-2x+2 2x-1 = t2-2t+5 4t = 1 4 t+ 5 t-2 ≥ 1 4 2 t× 5 t -2 = 5-12 ,当且仅当t=5t,即t= 5, x= 5+12 时,取“=”,所以a< 5-1 2 , 故实数a的取值范围为 -∞,5-12 . 12.【解析】(1)∵x=1时,y=1,∴a+b+2=1,即b=-1-a, ∵∀x∈(2,5),y>0恒成立,即ax2-(1+a)x+2>0恒 成立,∴ax(x-1)>x-2恒成立, ∵x∈(2,5),∴a> x-2x(x-1)对∀x∈(2,5)恒成立, ∴a> x-2x(x-1) max. 令t=x-2,则t∈(0,3), 则 x-2 x(x-1)= t (t+2)(t+1)= t t2+3t+2= 1 t+2t+3 ≤ 1 22+3=3-22, 当且仅当t=2t,即t= 2,此时x=2+ 2时,取“=”, 所以实数a的取值范围是(3-22,+∞). (2)∵x=1时,y=1,∴a+b+2=1,即b=-1-a, ∵∀a∈[-2,-1],y>0恒成立,即ax2-(1+a)x+2> 0对∀a∈[-2,-1]恒成立, ∴(x2-x)a-x+2>0对∀a∈[-2,-1]恒成立. ∴ -2x 2+x+2>0 -x2+2>0 ,解得1- 174 <x<1+ 174 , 所以实数x 的取值范围是 1- 174 , 1+ 17 4 . 第4练 复数的概念和四则运算 1.【答案】D 【解析】z=3sin 2π3+icos 2π 3 =3× 32+3× -12 i= 3 2- 3 2i.故选D. 2.【答案】C 【解析】z=(1-2i)(4-3i)=-2-11i,复数z 在复平面内 对应的点为(-2,-11),所以复数z 在复平面内对应的点 位于第三象限.故选C. 3.【答案】C 【解析】因为1-z z =1-i,所以z= 1 2-i= 2+i (2-i)(2+i)= 2 5+ 1 5i,z= 2 5- 1 5i.故选C. 4.【答案】C 【解析】由 题 得 z= (1+i) 2 3+4i = 2i 3+4i= 2i(3-4i) (3+4i)(3-4i)= 8+6i 25 ,所以|z|= 8 25 2+ 625 2=1025=25.故选C. 5.【答案】D 【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则由|z-1|=|z-i|知 |a-1+bi|=|a+(b-1)i|. 从而(a-1)2+b2=a2+(b-1)2,展开即得a=b. 由z 非零,知a=b≠0,故 zz = a-bi a+bi= a b -i a b +i =1-i1+i= (1-i)2 (1+i)(1-i)= -2i 2 =-i.故选D. 6.【答案】D 【解析】对于 A,设z1=1+i,z2=2-i,z1+z2=3∈R,但 z1,z2 不互为共轭复数,故A错误; 对于B,设z1=a1-b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R). 由|z1+z2|=|z1-z2|,得|z1+z2|2=(a1+a2)2+(b1+ b2)2=|z1-z2|2=(a1-a2)2+(b1-b2)2, 则a1a2+b1b2=0,而z1·z2=(a1+b1i)(a2+b2i)= (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i=2a1a2+(a1b2+a2b1)i 不一定等于0,故B错误; 对于C,当z=0时,有z2=z,故C错误; 对于 D,设 z1 =a +bi,z2 =c+di,则|z1z2|= (ac-bd)2+(ad+bc)2 = (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2 = (a2+b2)(c2+d2)=|z1||z2|,故D正确.故选D. 7.【答案】BC 【解析】设z=a+bi(a>0,b>0), 由|z|=|z-1|=1,得 a 2+b2=1 (a-1)2+b2=1 ,解得 a=12 b= 32 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 a=12 b=- 32 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (舍去). ∴z=12+ 3 2i,复数z的虚部为 3 2,故A错误; 1 z= 1 1 2+ 3 2i = 1 2- 3 2i 1 2+ 3 2i 12- 32i = 12 - 32i,故 B 正确; z2= 12+ 3 2i 2=14+ 32i+34i2=-12+ 32i=12+ 3 2i-1=z-1,故C正确; z -=12- 3 2i,故D错误.故选BC. 8.【答案】ABC 【解析】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则z1z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i, z1z2=(a+bi)·(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i, 得|z1z2|= (ac-bd)2+(ad+bc)2= (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2, |z1z2|= (ac+bd)2+(bc-ad)2= (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2, 所以|z1z2|=|z1z2|,故A正确; 设z1,z2 对应的向量分别为OZ→1,OZ2→,则由向量三角不等 式得|OZ1→-OZ2→|≤|OZ1→|+|OZ2→|, 所以|z1-z2|≤|z1|+|z2|恒成立,故B正确;