第2练 等式与不等式、基本不等式-【精英1号】2024-2025学年高中数学学考笔记·专题提升训练

第2练 等式与不等式、基本不等式 3 第2练 等式与不等式、基本不等式 一、单选题 1.若非零实数a,b满足a<b,则下列不等式 成立的是 ( )………………………… A.ab<1 B. b a+ a b>2 C.1ab2< 1 a2b D.a 2+a<b2+b 2.已知p:a>b>0,q:1a2< 1 b2 ,则p 是q的 ( )…………………………………… A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 ( )…………………………………… A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴,还因 其价值高,并且是一种稀少的资源,长久以 来也是一种投资工具.小李计划投资黄金, 根据自身实际情况,他决定分两次进行购 买,并且制定了两种不同的方案:方案一是 每次购入一定数量的黄金;方案二是每次 购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不 稳定,所以他预设两次购入的单价不同.现 假设他两次购入的单价分别为a1,a2,且 a1≠a2,则下列说法正确的是 ( )…… A.当且仅当a1>a2 时,方案一的平均购买 成本比方案二更低 B.当且仅当a1>a2 时,方案二的平均购买 成本比方案一更低 C.无论a1,a2 的大小关系如何,方案一的 平均购买成本比方案二更低 D.无论a1,a2 的大小关系如何,方案二的 平均购买成本比方案一更低 5.设x≥0,y≥0,x2+y 2 2=1,则x 1+y2的 最大值为 ( )………………………… A.1 B.22 C.324 D.2 6.已知正实数a,b满足1a+ 9 b=6,则(a+1)· (b+9)的最小值是 ( )……………… A.8 B.16 C.32 D.36 二、多选题 7.若a,b,c∈R,且a2+b2+c2=1,则 ( ) …… …………………………………… A.ab≥12 B.ab+bc+ca≤1 C.a+b+c≥ 3 D.(a+b+c)2≤3 8.已知a,b为正实数,a+b=1,则 ( ) ……… …………………………………… A.ab的最大值为14 B.a+ b的最小值为 2 C.ba+ 1+b b 的最小值为4 D.a 2 a+1+ b2 b+1的最小值为 1 3 三、填空题 9.二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0,则 ac= ;1a+ 1 c 的最小值为 . 10.已知x,y 为正实数,则yx+ 16x 2x+y的最小 值为 . 4 四、解答题 11.已知正数a,b满足a+2b=ab. (1)求a+b的最小值; (2)求 2aa-2+ 8b b-1的最小值. 12.我们知道,a+b2 2≤a2+b22 ,当且仅当 a=b时等号成立.即a,b 的算术平均数 的平方不大于a,b平方的算术平均数. 此结论可以推广到三元,即 a+b+c3 2≤ a2+b2+c2 3 ,当且仅当a=b=c 时等号 成立. (1)证明:a+b+c3 2≤a2+b2+c23 ,当且 仅当a=b=c时等号成立. (2)已知x>0,y>0,z>0.若不等式 x+ y+ z≤t x+y+z恒成立,利用 (1)中的不等式,求实数t的最小值. 精英1号 学考笔记 数学 40 构造抽屉{1,8},{2,9},{3,10},{4,11},{5},{6},{7}. ①5,6,7同时选,因为具有性质P(4)和P(7), 所以选5则不选1,9;选6则不选2,10;选7则不选3,11; 则只剩4,8.故1,2,3…,11中属于集合A 的元素个数不 超过5个. ②5,6,7选2个, 若只选5,6,则1,2,9,10,7不可选,又{4,11}只能选一个 元素,3,8可以选,故1,2,3…,11中属于集合A 的元素个 数不超过5个. 若选5,7,则只能从2,4,8,10中选,但4,8不能同时选, 故1,2,3…,11中属于集合A 的元素个数不超过5个. 若选6,7,则2,3,10,11,5不可选,又{1,8}只能选一个元 素,4,9可以选,故1,2,3…,11中属于集合A 的元素个数 不超过5个. ③5,6,7中只选1个, 又四个集合{1,8},{2,9},{3,10},{4,11}每个集合至多选 1个元素,故1,2,3…,11中属于集合A 的元素个数不超 过5个. 由上述①②③可知,连续11项自然数中属于集合A 的元 素至多只有5个, 如取1,4,6,7,9. 因为2 023=183×11+10,则把每11个连续自然数分组, 前183组每组至多选取5项; 从2 014开始,最后10个数至多选取5项,故集合A 的元 素最多有184×5=920个. 给出如下选取方法:从1,2,3…,11中选取1,4,6,7,9; 然后在这5个数的基础上每次累加11,构造183次. 此时集合 A 的元素为1,4,6,7,9;12,15,17,18,20;23, 26,28,29,31;…;2 014,2 017,2 019,2 020,2 022,共920 个元素. 经检验,该 集 合 符 合 要 求,故 集 合 A 的 元 素 最 多 有 920个. 第2练 等式与不等式、基本不等式 1.【答案】C 【解析】取a=-2,b=-1,满足a<b,而ab =2>1,A不成 立;取a=-2,b=1,满足a<b,而ba + a b =- 1 2+(-2)= -52<2,B不成立;因 1 ab2- 1 a2b= a-b a2b2 <0,即有 1 ab2< 1 a2b ,C成立;取a=-2,b=-1,满足a<b,而a2+a=2, b2+b=0,即a2+a>b2+b,D不成立.故选C. 2.【答案】A 【解析】当a>b>0时,a2>b2>0,所以1a2< 1 b2 ,所以充分 性满足; 当 1 a2< 1 b2 时,取a=-2,b=1,此时a>b>0不满足,所以 必要性不满足, 所以p 是q的充分不必要条件.故选A. 3.【答案】A 【解析】当a>0,b>0时,a+b≥2 ab,则当a+b≤4时, 有2 ab≤a+b≤4,解得ab≤4,充分性成立;当a=1, b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立. 综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故 选A. 4.【答案】D 【解析】方案一:设每次购入的黄金数量为m,则平均购买成 本x=ma1+ma22m = a1+a2 2 ; 方案二:设每次购入的黄金金额为n,则平均购买成本y= 2n n a1+ n a2 = 2nn(a1+a2) a1a2 =2a1a2a1+a2, 所以x-y=a1+a22 - 2a1a2 a1+a2= (a1+a2)2-4a1a2 2(a1+a2) = (a1-a2)2 2(a1+a2), 因为a1≠a2,所以x-y=(a1-a2) 2 2(a1+a2)>0,即x>y, 无论a1,a2 的大小关系如何,方案二的平均购买成本比方 案一更低.故选D. 5.【答案】C 【解析】因为x2+y 2 2=1,所以y2=2-2x2≥0,解得x∈ [0,1],故 x 1+y2 =x 1+2-2x2 =x 3-2x2 = 2 2 2x2(3-2x2)≤ 2 2× 2x2+3-2x2 2 = 32 4 ,当且仅当 2x2=3-2x2,即x= 32时,等号成立,故x 1+y2的最大 值为 32 4 .故选C. 6.【答案】B 【解析】因为正实数a,b满足1a+ 9 b=6, 所以6=1a+ 9 b ≥2 9 ab ,即 ab≥1,当且仅当1a = 9 b , 即a=13,b=3时取等号. 因为 1 a+ 9 b=6,所以b+9a=6ab,所以(a+1)(b+9)= 9a+b+ab+9=7ab+9≥7+9=16. 故(a+1)(b+9)的最小值是16.故选B. 7.【答案】BD 【解析】对于A,a2+b2+c2=1,得a2+b2=1-c2, 由a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立, 可得1-c2≥2ab,解得ab≤12- c2 2≤ 1 2,故A错误; 对于 B,a2 +b2 +c2 = 12 (a2 +b2)+ 1 2 (b2 +c2)+ 1 2(a2+c2)≥ab+bc+ac, 当且仅当a=b=c时,等号成立,则ab+bc+ac≤1,故B 正确; 对于C,D,由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca, 由题意及B可知(a+b+c)2=1+2(ab+bc+ac)≤3,且 a+b+c≤ 3,故C错误,D正确.故选BD. 8.【答案】ACD 【解析】由题意知,a,b为正实数,且a+b=1, 对于A,ab≤ a+b2 2= 12 2=14,当且仅当a=b=12 时,等号成立,所以ab的最大值为14,故A正确; 答案解析 41 对于B,(a+ b)2=a+b+2 ab=1+2 ab≤1+2× 1 4 =2,即 a+ b≤ 2,当且仅当a=b= 1 2时,等号成 立,所以 a+ b的最大值为 2,故B错误; 对于 C,ba + 1+b b = b a + a+b+b b = b a + a b +2≥ 2 ba · a b +2=4,当且仅当 b a = a b ,即a=b=12时,等 号成立,所以b a + 1+b b 的最小值为4,故C正确; 对 于 D, a 2 a+1 + b2 b+1 = (a+1)2-2(a+1)+1 a+1 + (b+1)2-2(b+1)+1 b+1 =a+1+ 1 a+1-2+b+1+ 1 b+1- 2= 1a+1+ 1 b+1-1, 而 1 a+1+ 1 b+1= 1 3 1 a+1+ 1 b+1 (a+1+b+1)= 1 3 b+1 a+1+ a+1 b+1+2 ≥13 2 b+1a+1·a+1b+1+2 =43, 当且仅当 b+1 a+1= a+1 b+1,即a=b= 1 2时,等号成立, 所以 a2 a+1+ b2 b+1的 最 小 值 为 4 3 -1= 1 3,故 D 正 确. 故选ACD. 9.【答案】4 1 【解析】由二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0,得42- 4ac=0,解得ac=4, 所以 1 a+ 1 c≥2 1 a ·1 c =2 1 4 =1, 当且仅当a=c时取等号,故答案为:4;1. 10.【答案】6 【解析】由题得y x + 16x 2x+y= y x + 16 2+yx , 设y x =t(t>0),则f(t)=t+ 16 2+t=t+2+ 16 2+t-2≥ 2 (t+2)· 162+t-2=8-2=6, 当且仅当t=2时取等号.所以yx + 16x 2x+y的最小值为6. 故答案为:6. 11.【解析】(1)因为a>0,b>0,且a+2b=ab,即2a+ 1 b=1, 所以a+b=(a+b) 2a+ 1 b =2+1+2ba +ab ≥3+ 2 2ba · a b =3+22, 当且仅当 2b a = a b ,即a= 2b,即a=2+ 2,b= 2+1 时,等号成立, 故a+b的最小值为3+22. (2)因为a>0,b>0,且a+2b=ab, 所以(a-2)(b-1)=2, 所以 2a a-2+ 8b b-1= 2(a-2)+4 a-2 + 8(b-1)+8 b-1 =10+ 4 a-2+ 8 b-1≥10+2 4 a-2· 8 b-1=18, 当且仅当 4 a-2= 8 b-1,即a=b=3时,等号成立, 故 2a a-2+ 8b b-1的最小值为18. 12.【解析】(1)证明:a+b+c3 2-a2+b2+c23 =(a+b+c) 2-3(a2+b2+c2) 9 =2ab+2bc+2ca-2a 2-2b2-2c2 9 =-19[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≤0, 故 a+b+c3 2≤a2+b2+c23 ,当且仅当a=b=c时,等号 成立. (2)当 x>0,y>0,z>0时,由(1)中 的 不 等 式 得, x+ y+ z 3 2≤x+y+z3 , 所以 x+ y+ z≤ 3(x+y+z), 即 x+ y+ z x+y+z ≤ 3, 当且仅当x=y=z 时等号成立.因此 x+ y+ z x+y+z 的最 大值为 3. 由 x + y + z ≤t x+y+z 恒 成 立 可 得t≥ x+ y+ z x+y+z max,因 x+ y+ zx+y+z 的最大值为 3,故 有t≥ 3,即实数t的最小值为 3. 第3练 一元二次函数与一元二次方程、不等式 1.【答案】A 【解析】不等式x(4-x)<3化简为x2-4x+3>0,所以 (x-1)(x-3)>0,解得x<1或x>3.故选A. 2.【答案】B 【解析】因为不等式x2-2x-m<0在x∈ 12,2 上有解, 所以不等式m>x2-2x 在x∈ 12,2 上有解, 令t=x2-2x=(x-1)2-1,则tmin=-1,所以 m>-1, 所以实数m 的取值范围是(-1,+∞).故选B. 3.【答案】A 【解析】设g(x)=(x-a)(x-b), 则g(x)向上平移2个单位长度得到y=(x-a)(x-b)+ 2的图象, 由图易知a<α<β<b.故选A. 4.【答案】B 【解析】f(x)=4ax2+4x-1<0,即4ax2<-4x+1, 当x=0时,不等式恒成立,a∈R;当x≠0时,x2>0,则